第三章学案2-概率的基本性质课件.ppt

1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三1.1.一般地一般地,对于事件对于事件A A与事件与事件B B,如果事件如果事件A A发生发生,则事件则事件B B一定一定 发生发生,这时称这时称 (或称或称 ),),记作记作 (或或 ).).2.2.一般地一般地,若若 ,且且 ,那么称事件那么称事件A A与事件与事件B B相相 等等,记作记作A=BA=B.3.3.若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A A发生或事件发生或事件B B发生发生,则称此事则称此事 件为事件件为事件A A与事件与事件B B的的 (或或 )，记作，记作 (或或 ).).事件事件B B包含事件包含事件A A 事件

2、事件A A包含于事件包含于事件B B 和事件和事件 并事件并事件 AB BA AB BAA AB B A+B A+B 返回返回 4.4.若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A A发生且事件发生且事件B B发生发生,则称事件则称事件 为事件为事件A A与事件与事件B B的的 (或或 ),),记作记作 (或或 ).).5.5.若若A AB B为不可能事件为不可能事件(A AB B=),),那么称事件那么称事件A A与事件与事件 B B .6.6.若若A AB B为不可能事件，为不可能事件，A AB B为必然事件，那么称事件为必然事件，那么称事件A A 与事件与事件B B互为互为.7.7

3、.概率的加法公式：如果事件概率的加法公式：如果事件A A与事件与事件B B互斥，则互斥，则 .积事件积事件 交事件交事件 互斥互斥 对立事件对立事件 A AB B AB AB P P（A AB B）=P=P（A A）+P+P（B B）返回返回 学点一判断事件之间的关系学点一判断事件之间的关系 【分析【分析】本题考查互斥事件与对立事件的概念本题考查互斥事件与对立事件的概念.1.1.某小组有某小组有3 3名男生和名男生和2 2名女生名女生,从中任选从中任选2 2名同学参加演讲名同学参加演讲 比赛比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是如果是,再判断再判断 它们是不

4、是对立事件它们是不是对立事件.(1)(1)恰有恰有1 1名男生与恰有名男生与恰有2 2名男生名男生;(2)(2)至少有至少有1 1名男生与全是男生名男生与全是男生;(3)(3)至少有至少有1 1名男生与全是女生名男生与全是女生;(4)(4)至少有至少有1 1名男生与至少有名男生与至少有1 1名女生名女生.返回返回【解析【解析】(1)(1)因为因为“恰有恰有1 1名男生名男生”与与“恰有两名男生恰有两名男生”不可能同时发生不可能同时发生,所以它们是互斥事件所以它们是互斥事件;当恰有两名女生时当恰有两名女生时它们都不发生它们都不发生,所以它们不是对立事件所以它们不是对立事件.(2)(2)因为恰有两

5、名男生时因为恰有两名男生时“至少有至少有1 1名男生名男生”与与“全是全是男生男生”同时发生同时发生,所以它们不是互斥事件所以它们不是互斥事件.(3)(3)因为因为“至少有至少有1 1名男生名男生”与与“全是女生全是女生”不可能同不可能同时发生时发生,所以它们互斥所以它们互斥;由于它们必有一个发生由于它们必有一个发生,所以它们对所以它们对立立.(4)(4)由于选出的是一名男生一名女生时由于选出的是一名男生一名女生时“至少有至少有1 1名男名男生生”与与“至少有至少有1 1名女生名女生”同时发生同时发生,所以它们不是互斥事所以它们不是互斥事件件.返回返回【评析】互斥事件是概率知识中的重要概念【评

6、析】互斥事件是概率知识中的重要概念,必须正确必须正确理解理解.(1)(1)互斥事件是对两个事件而言的互斥事件是对两个事件而言的.若有若有A A,B B两个事件两个事件,当当事件事件A A发生时发生时,事件事件B B就不发生就不发生;当事件当事件B B发生时发生时,事件事件A A就不发就不发生生(即事件即事件A A,B B不可能同时发生不可能同时发生),),我们就把这种不可能同时发我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件生的两个事件叫做互斥事件,否则就不是互斥事件否则就不是互斥事件.(2)(2)对互斥事件的理解对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识也可以从集合的角度去加以认识.如

7、果如果A A,B B是两个互斥事件是两个互斥事件,反映在集合上反映在集合上,是表示是表示A,BA,B这两个事这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交件所含结果组成的集合彼此互不相交.如果事件如果事件A A1 1,A A2 2,A A3 3,A An n中的任何两个都是互斥事件中的任何两个都是互斥事件,即即称事件称事件A A1 1,A A2 2,A An n彼此互斥彼此互斥,反映在集合上反映在集合上,表现为由各个事表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交件所含的结果组成的集合彼此互不相交.返回返回【分析【分析】根据互斥事件与对立事件的定义进行判断根据互斥事件与对立事件的定义进行判断,判断

8、是否为互斥事件判断是否为互斥事件,主要看两事件是否同时发生主要看两事件是否同时发生;判断是判断是否为对立事件否为对立事件,首先看是否为互斥事件首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是然后再看两事件是否必有一个发生否必有一个发生,若必有一个发生若必有一个发生,则为对立事件则为对立事件,否则否则,不不是对立事件是对立事件.2.2.判断下列给出的每对事件判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件是否为互斥事件,是否为对立是否为对立 事件事件,并说明道理并说明道理.从从4040张扑克牌张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花红桃、黑桃、方块、梅花,点数从点数从1 1到到1010各各 1010张张)中中,任取一张任取

9、一张.(1)“(1)“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”;(2)“(2)“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”;(3)“(3)“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5 5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”.9”.返回返回【解析【解析】(1)(1)是互斥事件是互斥事件,不是对立事件不是对立事件.理由是理由是:从从4040张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1 1张张,“,“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”是不可能同时发生的是不可能同时发生的,所以是互斥事件所以是互斥事件,同时同时,不能保证其中必有一个发生不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出这

10、是由于还可能抽出“方块方块”或者或者“梅花梅花”,因此因此,两者不是对立事件两者不是对立事件.(2)(2)既是互斥事件既是互斥事件,又是对立事件又是对立事件.理由是理由是:从从4040张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1 1张张,“,“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生两个事件不可能同时发生,且其中必有且其中必有一个发生一个发生,所以它们既是互斥事件所以它们既是互斥事件,又是对立事件又是对立事件.(3)(3)不是互斥事件不是互斥事件,当然不可能是对立事件当然不可能是对立事件.返回返回【评析】搞清对立事件与互斥事件的区别与联系是解题【评析】搞清对立事件与

11、互斥事件的区别与联系是解题的关键的关键.理由是理由是:从从4040张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1 1张张,“,“抽出的牌点数抽出的牌点数为为5 5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”9”这两个事件可能同这两个事件可能同时发生时发生,如抽得点数为如抽得点数为10,10,因此因此,两者不是互斥事件两者不是互斥事件,当然不当然不可能是对立事件可能是对立事件.返回返回 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件记事件A A为为“只订甲只订甲报报”,事件事件B B为为“至少订一种报至少订一种报”,事件事件C C为为“至多订一种至多订一种报报”,事

12、件事件D D为为“不订甲报不订甲报”,事件事件E E为为“一种报也不订一种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是如果是,再判断它们是再判断它们是不是对立事件不是对立事件.(1)(1)A A与与C C;(2);(2)B B与与E E;(3);(3)B B与与D D;(4);(4)B B与与C C;(5);(5)C C与与E.E.解解:(1):(1)由于事件由于事件C C“至多订一种报至多订一种报”中有可能中有可能“只订甲只订甲报报”,即事件即事件A A与事件与事件C C有可能同时发生有可能同时发生,故故A A与与C C不是互斥事件不是互斥事件.(2)(2

13、)事件事件B B“至少订一种报至少订一种报”与事件与事件E E“一种报也不订一种报也不订”是不可能同时发生的是不可能同时发生的,故故B B与与E E是互斥事件是互斥事件.由于事件由于事件B B发生可发生可导致导致返回返回 事件事件E E一定不发生一定不发生,且事件且事件E E发生会导致事件发生会导致事件B B一定不发生一定不发生,故故B B与与E E还是对立事件还是对立事件.(3)(3)事件事件B B“至少订一种报至少订一种报”中有可能中有可能“只订乙报只订乙报”,即有即有可能可能“不订甲报不订甲报”,即事件即事件B B发生发生,事件事件D D也可能发生也可能发生,故故B B与与D D不不互斥

14、互斥.(4)(4)事件事件B B“至少订一种报至少订一种报”中有这些可能中有这些可能:“:“只订甲只订甲报报”“”“只订乙报只订乙报”“”“订甲、乙两种报订甲、乙两种报”;事件事件C C“至多订一种至多订一种报报”中有这些可能中有这些可能:“:“什么也不订什么也不订”“”“只订甲报只订甲报”“”“只订乙只订乙报报”.由于这两个事件可能同时发生由于这两个事件可能同时发生,故故B B与与C C不是互斥事件不是互斥事件.(5)(5)由由(4)(4)分析可知分析可知,事件事件E E“一种报也不订一种报也不订”只是事件只是事件C C的的一种可能一种可能,故事件故事件C C与事件与事件E E有可能同时发生

15、有可能同时发生,故故C C与与E E不互斥不互斥.返回返回(1)(1)至多至多2 2人排队等候的概率是多少？人排队等候的概率是多少？(2)(2)至少至少3 3人排队等候的概率是多少？人排队等候的概率是多少？2.2.经统计经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概 率如下率如下:【分析【分析】本题考查互斥事件求概率本题考查互斥事件求概率.【解析【解析】记事件在窗口等候的人数为记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5人人及及5 5人以上分别为人以上分别为A A,B B,C C,D D,E E,F F.(1)(1)至多至多2

16、2人排队等候的概率是人排队等候的概率是P P(A AB BC C)=)=P P(A A)+)+P P(B B)+)+P P(C C)=0.1+0.16+0.3=0.56.)=0.1+0.16+0.3=0.56.排队人员排队人员012345人及人及5人以上人以上概率概率0.10.160.30.30.10.04返回返回 学点二利用概率加法公式和学点二利用概率加法公式和 求概率求概率 )(1)(APAP(2)(2)方法一方法一:至少至少3 3人排队等候的概率是人排队等候的概率是P P(D DE EF F)=)=P P(D D)+)+P P(E E)+)+P P(F F)=0.3+0.1+0.04=0

17、.44.)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二方法二:因为至少因为至少3 3人排队等候与至多人排队等候与至多2 2人排队等候是对人排队等候是对立事件立事件,故由对立事件的概率公式故由对立事件的概率公式,至少至少3 3人排队等候的概率人排队等候的概率是是P P(D DE EF F)=1-)=1-P P(A AB BC C)=1-0.56=0.44.)=1-0.56=0.44.至多至多2 2人排队等候的概率是人排队等候的概率是0.56,0.56,至少至少3 3人排队等候的人排队等候的概率是概率是0.44.0.44.返回返回【评析】（【评析】（1 1）必须分析清楚事件）必须分析清楚事件A A

18、,B B互斥的原因，只互斥的原因，只9 9有互斥事件才可考虑用概率加法公式有互斥事件才可考虑用概率加法公式.(2)(2)所求的事件，必须是几个互斥事件的和所求的事件，必须是几个互斥事件的和.(3)(3)满足上述两点才可用公式满足上述两点才可用公式P P(A AB B)=)=P P(A A)+)+P P(B B).).(4)(4)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率可先转化为求其对立事件的概率.返回目录返回目录返回返回 如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的5252张扑克牌中随机抽取一张张扑克牌中随机抽取一张,那

19、么那么取到红心取到红心(事件事件A A)的概率是的概率是,取到方块取到方块(事件事件B B)的概率是的概率是,问问:(1)(1)取到红色牌取到红色牌(事件事件C C)的概率是多少的概率是多少?(1)(1)取到黑色牌取到黑色牌(事件事件D D)的概率是多少的概率是多少?4141解解:(1):(1)事件事件A A与事件与事件B B不可能同时发生不可能同时发生,所以事件所以事件A A与与B B是是互斥事件互斥事件,且且C=AC=AB B.故由互斥事件的概率加法公式得故由互斥事件的概率加法公式得P P(C C)=)=P P(A AB B)=)=P P(A A)+)+P P(B B)=)=取到红色牌的概

20、率是取到红色牌的概率是 .21414121返回返回(2)(2)当取一张牌时当取一张牌时,取到红色牌与取到黑色牌不可能取到红色牌与取到黑色牌不可能同时发生同时发生,所以事件所以事件C C,D D是互斥事件是互斥事件,又事件又事件C C与与D D必有一个必有一个发生发生,所以所以C C与与D D为对立事件为对立事件,P P(D D)=1-)=1-P P(C C)=)=取到黑色牌的概率是取到黑色牌的概率是 .2121121返回返回 学点三将较复杂的事件分解成互斥事件学点三将较复杂的事件分解成互斥事件试解释下列情况中概率的意义试解释下列情况中概率的意义:同时抛掷两枚骰子同时抛掷两枚骰子,求至少有一个求

21、至少有一个5 5点或点或6 6点的概率点的概率.【分析【分析】视其为等可能事件视其为等可能事件,进而求概率进而求概率.【解析【解析1 1】同时抛掷两枚骰子同时抛掷两枚骰子,可能结果如下表可能结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)返回返回【分析

22、【分析2 2】利用对立事件求概率利用对立事件求概率.共有共有3636个不同的结果，其中至少有一个个不同的结果，其中至少有一个5 5点或点或6 6点的结果有点的结果有2020个，所以至少有一个个，所以至少有一个5 5点或点或6 6点的概率点的概率P P（A A）=.953620【解析【解析2 2】至少有一个至少有一个5 5点或点或6 6点的对立事件是没有点的对立事件是没有5 5点或点或6 6点，如上表，没有点，如上表，没有5 5点或点或6 6点的结果共有点的结果共有1616个，则没有个，则没有5 5点或点或6 6点的概率为点的概率为 .至少有一个至少有一个5 5点或点或6 6点的概率为点的概率为

23、 .943616)A(P95941返回返回【评析【评析】(1)(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意，认为含意，认为含5 5的有的有6 6个，含个，含6 6的有的有6 6个，个，至少有一个至少有一个5 5点或点或6 6点点的共有的共有1212个，从而所求概率为；另一类是没有搞清个，从而所求概率为；另一类是没有搞清楚楚A,BA,B是否为互斥事件，直接利用公式是否为互斥事件，直接利用公式P P（A AB B）=P P(A A)+)+P P(B B)=.（2 2）解题时，将所有基本事件全部列出来是避免重复和）解题时，将所有基本事件全部列出来是避免重复和遗

24、漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得其概率立事件的概率，进而求得其概率.313666181136113611返回返回 一枚硬币连掷一枚硬币连掷3 3次次,求至少出现一次正面的概率求至少出现一次正面的概率.解解:记记A A1 1表示表示“掷掷3 3次硬币有一次出现正面次硬币有一次出现正面”,A A2 2表示表示“掷掷3 3次硬币有两次出现正面次硬币有两次出现正面”,A A3 3表示表示“掷掷3 3次硬币有三次硬币有三次出现正面次出现正面”,A A表示表示“掷掷3 3次硬币至少出现一次正面次硬币至少出现一次正面

25、”.因为每次掷硬币会出现正反面两种情况因为每次掷硬币会出现正反面两种情况,所以掷所以掷3 3次次硬币总情形数为硬币总情形数为2 22 22=8.2=8.又因为又因为A A1 1包含三个基本事包含三个基本事件件,A A2 2包含三个基本事件包含三个基本事件,A A3 3包含一个基本事件包含一个基本事件,且易知且易知A A1 1,A A2 2,A A3 3互斥互斥,所以所以P P(A A)=)=P P(A A1 1)+)+P P（A A2 2）+P P（A A3 3）返回返回 即至少出现一次正面的概率为即至少出现一次正面的概率为 .方法二：用方法二：用 表示表示“掷掷3 3次硬币，三次均出现反面次

26、硬币，三次均出现反面”的事件，且的事件，且 =18=18，根据对立事件的概率满足，根据对立事件的概率满足P P(A A)+=1.)+=1.所以所以P P(A A)=1-)=1-=即至少出现一次正面的概率为即至少出现一次正面的概率为 .8781838387A)(AP)(AP)(AP8787返回返回(1)(1)两个事件互斥是指由事件两个事件互斥是指由事件A A,B B所含的结果所组成的所含的结果所组成的集合的交集是空集集合的交集是空集.(2)(2)若事件若事件A A与与B B是互斥事件是互斥事件,那么在事件讨论的全过程那么在事件讨论的全过程中中,事件事件A A与与B B同时发生的机会一次都没有同时

27、发生的机会一次都没有,即事件即事件A A或或B B发生发生与否有三种可能与否有三种可能:A A发生发生,B B不发生不发生;A A不发生不发生,B B发生发生;A A,B B都不发生都不发生.(3)(3)两个事件互斥的定义可以推广到两个事件互斥的定义可以推广到n n个事件中去个事件中去,三三个或三个以上的事件彼此互斥是指它们中的任何两个事件个或三个以上的事件彼此互斥是指它们中的任何两个事件都是互斥的都是互斥的.1.1.如何理解互斥事件如何理解互斥事件?返回返回 2.2.如何理解对立事件如何理解对立事件?(1)(1)确定对立事件的条件确定对立事件的条件两事件不能同时发生两事件不能同时发生,即对立

28、事件是以两事件互斥为前即对立事件是以两事件互斥为前提提;在同一次试验中在同一次试验中,必有一个发生必有一个发生.(2)(2)事件事件A A与的结果构成集合间的关系与的结果构成集合间的关系A A =;A A =,两个对立事件的关系两个对立事件的关系,如图如图3-2-13-2-1所示所示.关于关于“对立事件对立事件”,应从以下三个方面加深对它的理解应从以下三个方面加深对它的理解.()()强调语句强调语句AAA图图3-2-1返回返回 对立事件的定义强调了两条对立事件的定义强调了两条:不可能同时发生不可能同时发生,即对即对立事件是以互斥事件为前提的立事件是以互斥事件为前提的;必有一个发生必有一个发生.

29、()()A A与与用表示用表示A A的对立事件的对立事件,从集合的角度看从集合的角度看,A A和所含的和所含的结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合,这时这时A A和和的交是不可能事件的交是不可能事件,A A和的并是必然事件，和的并是必然事件，即即A A=,A A=.AAAAAAA返回返回 3.3.如何理解对立事件的概率加法公式如何理解对立事件的概率加法公式?对立事件对立事件A A与与 的概率之和等于的概率之和等于1 1，即即P P(A A)+)+P P()=1.()=1.常见变形常见变形:P P()=1-()=1-P P(A A)或或P P(A A)

30、=1-)=1-P P().().(1)(1)A A,是互斥事件且是互斥事件且A A =,又又P P(A A )=)=P P()=1,)=1,P P(A A)+)+P P()=1.()=1.(2)(2)公式公式P P()=1-()=1-P P(A A)很有用很有用,常可使概率的计算得到简化常可使概率的计算得到简化,当直接求某一事件的概率较为复杂时当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转而去求其对立可转而去求其对立事件的概率事件的概率.AAAAAAAAA返回返回(1)(1)对立事件是针对两个事件来说的对立事件是针对两个事件来说的.一般地一般地,两个事件两个事件对立对立,则这两个事件是互斥事件则这两个

31、事件是互斥事件;反之反之,若两事件是互斥事件若两事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件则这两个事件未必是对立事件.如掷骰子试验中如掷骰子试验中,“,“出现奇数点出现奇数点”与与“出现偶数点出现偶数点”是对立事件是对立事件;“;“出现出现1 1点点”与与“出现出现2 2点点”是互斥事件是互斥事件,但不是对立事件但不是对立事件.(2)(2)对立事件是特殊的互斥事件对立事件是特殊的互斥事件.若若A A,B B是对立事件是对立事件,则则A A与与B B互斥互斥,并且并且A AB B为必然事件为必然事件.(3)(3)与集合类比与集合类比,可用图可用图3-2-23-2-2表示表示.事件事件A A的对立

32、事件的对立事件A A,4.4.互斥事件与对立事件有哪些区别与联系互斥事件与对立事件有哪些区别与联系?图图3-2-2返回返回 是全集中由事件是全集中由事件A A所含结果组成的集合的补集所含结果组成的集合的补集.(4)(4)在一次试验中在一次试验中,事件事件A A与它的对立事件只能发生其与它的对立事件只能发生其中之一中之一,并且必然发生其中之一并且必然发生其中之一.返回返回 1.1.从集合的角度看从集合的角度看,几个事件彼此互斥几个事件彼此互斥,是指由各个事是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交件所含的结果组成的集合彼此互不相交.事件事件A A的对立事件的对立事件所含的结果组成的集合所含的

33、结果组成的集合,是全集中由事件是全集中由事件A A所含的结果组成所含的结果组成的集合的补集的集合的补集.由于集合是可以进行运算的由于集合是可以进行运算的,故可用集合表示的事件故可用集合表示的事件也能进行某些运算也能进行某些运算.设设A A,B B是两个事件是两个事件,那么在同一试验那么在同一试验中中,A A或或B B中至少有一个发生就表示中至少有一个发生就表示A AB B发生发生.我们称事件我们称事件A AB B为事件为事件A A,B B的并的并.它可以推广如下它可以推广如下:在同一试验中在同一试验中,A A1 1,A A2 2，A An n中至少有一个发生即表示中至少有一个发生即表示A A1 1A A2 2A An n发生发生,A返回返回 事实上事实上,也只有其中的某一个会发生也只有其中的某一个会发生.2.2.概率加法公式都必须在各个事件彼此互斥的前提下概率加法公式都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用使用,因此使用公式前先要判断事件是否互斥因此使用公式前先要判断事件是否互斥.3.3.在求稍微复杂的概率时在求稍微复杂的概率时,通常有两种方法通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和率的和;二是直接求二是直接求P P(A A)有困难时有困难时,转化为求转化为求P P().).A返回返回