高中数学《导数及其应用》知识点讲解附真题课件.pptx

1、第四章 导数及其应用4.1 导数的概念及运算高考数学高考数学考点一导数的概念及几何意义考点一导数的概念及几何意义1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y,即f(x0)=.2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,即k=f(x0).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).3.导数的物理意义:函数s=s(t)在点t0处的导数s(t0)是物体的运动方程s=s(t)在t0时刻的瞬时速度v,即v=s(t0);v=v(t)在点t0处的导数v(t

2、0)是物体的运动方程v=v(t)在t0时刻的瞬时加速度a,即a=v(t0).0limxyx0limx00()-()f xx f xx0|x x0limx00()-()f xx f xx考点清单考点清单考点二导数的运算考点二导数的运算1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f(x)=0f(x)=xn(nQ*)f(x)=nxn-1 f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=cos xf(x)=-sin x f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=axln a f(x)=exf(x)=exf(x)=logax(a0,且a1)f(x)=f(x)=ln xf(x)=1lnx

3、a1x2.导数的运算法则3.复合函数的导数复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.运算法则加减f(x)g(x)=f(x)g(x)积f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)商=(g(x)0)f(x)g(x)2f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)考法一考法一与导数运算有关的问题与导数运算有关的问题知能拓展知能拓展例例1已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2,求f(x)的解析式.解题导引解题导引要求f(x)的解析式,需要求哪些量?解抽象函数问题常用哪些方

4、法?f(1),f(0)是常数,先对f(x)求导,再赋值,利用方程思想求出f(0)及f(1).12解析解析f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2,f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.分别令x=1,x=0,得解得因此f(x)=2eex-1-x+x2=2ex-x+x2.12-1(1)(1)-(0)1,(0)(1)e-(0)0,ffffff(0)1,(1)2e,ff1212方法总结方法总结与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解.例例2设函数f(x)=xm+ax的导函数f(x)=2x+1,则数列(nN*)的前n项和是()A.B.C.D.1()f n1nn21nn-1nn1nn解

5、题导引解题导引要求的前n项和,应先求出f(n),由f(x)=mxm-1+a,f(x)=2x+1,可得进而得f(x)=x2+x,因此=-,裂项相消法求和.1()f n2,1,ma1()f n21nn1(1)n n1n11n解析解析f(x)=xm+ax,f(x)=mxm-1+a,又f(x)=2x+1,f(x)=x2+x,=-,数列的前n项和为+=1-=,故选A.2,1,ma1()f n21nn1n11n1()f n11-21 1-2 311-1n n11n1nn答案答案 A考法二考法二与曲线的切线相关的问题与曲线的切线相关的问题例例3 (2019广东深圳二模,5)已知函数f(x)=ax2+(1-a

6、)x+是奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.2x434323解题导引解题导引由f(x)是奇函数,先求出a的值,再求导函数f(x),当x=1时,导函数值f(1)是曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率,进而求出倾斜角.解析解析由函数f(x)=ax2+(1-a)x+是奇函数,得f(-x)=-f(x),可得a=0,则f(x)=x+,则 f(x)=1-,故曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率k=1-2=-1,可得所求切线的倾斜角为,故选B.2x2x22x34答案答案 B方法总结方法总结求曲线的切线斜率的方法步骤:求导数求斜率根据范围得斜率.例例4 (2016课标,16

7、,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.解题导引解题导引与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用k表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解.解析解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y=,由y=ln(x+1)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A,B.A、B在直线y=kx+b上,1x11x 11x211x 1

8、k1k1,-ln2kk1-1,-lnkk12-ln,1-ln-1kkbkkkbk1-ln2,2.bk答案答案1-ln 2例例5设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)解析解析f(x)=x3+ax2,f(x)=3x2+2ax.曲线在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,3+2ax0=-1.由题意得x0+a=0,或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).故选D.20 x30

9、x20 x01,-2xa0-1,2.xa答案答案 D方法总结方法总结若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P(x1,f(x1);第二步:写出曲线在点P(x1,f(x1)处的切线方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点P(x0,

10、y0)的切线方程.注意注意切点(x0,y0)的三重身份的灵活应用,即切点在切线上;切点在曲线上;切线斜率k=f(x0).例例 (2019四川绵阳月考)过点A(2,1)作曲线f(x)=x3-3x的切线,最多有()A.3条 B.2条 C.1条 D.0条创新思维创新思维解题导引解题导引本题考查导数的几何意义,考查方式有所创新,求符合条件的切线最多有几条.创新之一:点A(2,1)不在曲线上,本质上是切点未知,因此设出切点,转化为切点未知的求切线方程问题;创新之二:体现了解法的灵活性,要确定切线的条数就是确定切线上切点的个数问题,可以用零点存在性定理求解,也可以用导数法,转化为确定方程根的个数问题;创新

11、之三:对切线定义的考查,切线与曲线相切时,切线与曲线的切点未必唯一,充分理解曲线的切线定义.解析解析解法一:f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3.设切点P(x0,-3x0),则切线斜率k=f(x0)=3-3,则曲线在点P处的切线方程是y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),点A(2,1)在切线上,上式可化简为2-6+7=0.设g(x)=2x3-6x2+7,因为g(-1)=-10,g(2)=-10,所以y=g(x)有3个零点,分别位于区间(-1,0),(0,2),(2,3)内,即g(x)=0有3个根,从而有3个切点,所以最多有3条切线.解法二:因为f(x)=x3-3x,所以f(x)=3x

12、2-3.设切点为P(x0,-3x0),则切线的斜率为f(x0)=3-3,30 x20 x30 x20 x30 x20 x30 x20 x切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0).点A(2,1)在切线上,2-6+7=0.设g(x)=2x3-6x2+7,则g(x)=6x2-12x.令g(x)=0,得x=0或x=2.当x=0时,g(0)=70;当x=2时,g(2)=-10f(x)在(a,b)内单调递增 f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)恒成立,“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.考点二导数与函数的极考点二导数与函数的极(最最)值值1.函数的极值与导数定义设函数f(x)在点x0附

13、近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作f(x)极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值结论设函数f(x)在点x0处连续.(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值 ;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;(3)如果在x0附近的左、右两侧导数值同号,那么 f(x0)不是极值利用导数求函数极值的步骤(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)求方程 f(x)=0 的根;(4)判断f(x)在方程的根的左、右两侧 值的符号;(5)利用结论求出极值注:(1)在函数的整个

14、定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值;(2)极大值与极小值没有必然的大小关系,极大值可能比极小值还小;(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:f(x)=x3,f(x)=3x2,当x=0时,f(0)=0,但x=0不是函数的极值点);(4)对于处处可导的函数,极值点的导数必为零.2.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上必有最大值与最小值 ;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.(2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:

15、(i)求f(x)在(a,b)内的极值 ;(ii)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.考点三导数的综合应用考点三导数的综合应用1.不等式恒成立(有解)问题的处理方法(1)形如f(x)g(x)(xD)恒成立,主要方法如下:法1:构造函数:F(x)=f(x)-g(x)(xD),使F(x)0(xD)恒成立,即F(x)min0(xD)恒成立.求F(x)的最小值即可.法2:参变量分离:a(x)或a(x)恒成立,即a(x)max或a(x)min(xD),求(x)的最大值或最小值即可.(2)形如f(x)g(x)(xD)有解问题的求解方法:法1:构造函数:F(

16、x)=f(x)-g(x)(xD),F(x)在xD时有解,即F(x)max0(xD)有解,即求F(x)的最大值即可.法2:参变量分离:a(x)或a(x)(xD)有解,即a(x)min或a(x)max(xD),即求(x)的最值问题.2.证明形如f(x)g(x)的不等式成立的方法法1:构造函数:F(x)=f(x)-g(x),即F(x)min0恒成立,转化为求F(x)的最小值问题.法2:若f(x)ming(x)max,则f(x)g(x)恒成立,证明f(x)的最小值大于或等于g(x)的最大值.法3:中间变量法:f(x)h(x)且h(x)g(x),则f(x)g(x)(h(x)为中间函数,且为一次函数较多)

17、.3.函数零点问题的处理f(x)=0的根等价于f(x)的图象与x轴交点的横坐标或转化为g(x)与h(x)图象交点的横坐标或转化为y=a与y=(x)图象的交点问题处理.4.生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,导数在这一类问题中有着重要的作用,它是求函数最大(小)值的有力工具.(2)解决优化问题的基本思路:考法一考法一利用导数解决函数单调性问题利用导数解决函数单调性问题知能拓展知能拓展例例1 (2019湖南郴州二模,21)已知函数f(x)=ex(ax2+x+a).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)ex(ax2+2x)

18、+1恒成立,求实数a的取值范围.解题导引解题导引 解析解析(1)函数f(x)的定义域为R,且f(x)=(ax+a+1)(x+1)ex,当a=0时,f(x)=ex(x+1),当x-1时,f(x)0,当x-1时,f(x)0时,-1-,所以函数f(x)的单调增区间为和(-1,+),单调减区间为.当a0时,-10时,函数f(x)的单调增区间为和(-1,+),单调减区1axa1aa1aa1-,-aa1-,-1aa1aa1-1,-aa1-,aa1-,-aa间为;当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+),单调减区间为(-,-1);当a0恒成立,令i(x)=ex-1-x,则i(x)=ex-1-1,当

19、x1时,i(x)0,当x1时,i(x)0),则j(x)=,当0 x1时,j(x)1时,j(x)0,故j(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以j(x)j(1)=0,即xln x+1(当且仅当x=1时取等号),f(x)=ex-1-ln x-1x-(ln x+1)0(当且仅当x=1时等号成立),f(x)在(0,+)上单调递增.-1xx方法总结方法总结用导数法证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤(1)求f(x).(2)确定f(x)在(a,b)内的符号.(3)得出结论.f(x)0(或0)时为增函数,f(x)0(或0,f(x)为增函数,当x(2,6)时,f(x)0,f(x)

20、为增函数,所以f(x)极大值=f(2)=32,f(x)极小值=f(6)=0,(2)f(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)(a1),所以f(x)在(0,a)上单调递增;在(a,3a)上单调递减;在(3a,+)上单调递增.当a3时,函数f(x)在0,3上单调递增,所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(3)=27-54a+27a2,由题意得27-54a+27a2=27,解得a=2或a=0,因为a3,所以此时a的值不存在,当1a3时,a33a,此时f(x)在(0,a)上递增,在(a,3)上递减,所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)=a3-6a3+9a3=4a3,由题意得

21、4a3=27,解得a=.综上,a=.33 2233 22方法总结方法总结解决函数极值问题的一般思路 考法三考法三利用导数研究函数的零点问题利用导数研究函数的零点问题例例4 (2018课标,21,12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.解题导引解题导引(1)要证f(x)1,只要证ex-x2-10,即(x2+1)e-x-10,设g(x)=(x2+1)e-x-1,证明g(x)max0即可.(2)若使f(x)在(0,+)上有一个零点,可以考虑使函数y=f(x)的图象在(0,+)上与x轴有一个交点,由于a为参数,

22、其取值变化影响着y=f(x)的单调性,因此,首先对a分类讨论,由于f(x)=ex-ax2的导数f(x)=ex-2ax不易判断函数值符号,所以将其转化为f(x)=ex,即讨论h(x)=1-a的零点问题,结合单调性分类讨论.21-exxa2exx解析解析(1)证明:当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点.(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.故h(2)

23、=1-是h(x)在0,+)的最小值.24ea若h(2)0,即a,h(x)在(0,+)没有零点;若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+)只有一个零点;若h(2),由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1-=1-1-=1-0.故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+)有两个零点.综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=.2e42e42e43416eaa32216(e)aa3416(2)aa1a2e4方法总结方法总结利用导数研究不等式恒成立问题,可以先构造函数,然后对构造的新函数求导,利用导数研究函数的单调性

24、,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可以先分离变量,再构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.研究函数的零点个数问题,可以通过导数研究函数的单调性、最值等.具体地,可画出函数图象,根据函数图象的走势规律,标出函数极值点、最值点的位置求解.这种用数形结合思想分析问题的方法,可以使问题有一个清晰、直观的整体展现.考法四考法四利用导数证明不等式问题利用导数证明不等式问题例例5 (2019陕西第二次质量检测,21)函数f(x)=ln x+,kR.(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)2+恒成立,求实数k的取值范围;(3)设g(x)=f(x)-+1,A(

25、x1,y1),B(x2,y2)为曲线y=g(x)上两点,且0 x1g(x0).kx1-exkx122xx解题导引解题导引(1)求f(x),判断f(x)在(0,+)上的正负,从而得单调区间,找出使f(x)=0的x是确定单调区的关键.(2)将恒成立问题等价变形,转化为求确定函数的最值问题,分离常数k时注意变量x(0,+)的限定.(3)将要证不等式明确为证明不等式成立(x2x10),再考虑如何变两元x1,x2为一元,此处是证明的关键,由对数运算性质ln x2-ln x1=ln不妨设=t,再构造函数证明即可.2121ln-ln-xxx x122xx21xx21xx解析解析(1)当k=1时,函数f(x)

26、=ln x+,x0.f(x)=-=.当f(x)0时,x1,当f(x)0时,0 x0,则h(x)=1-ln x,令h(x)=0,得x=e,所以h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.所以当x=e时,函数h(x)取得最大值h(e)=1,因此k1.(3)k=,因为x0=,所以g(x0)=(ln x+1)=.1x1x21x2-1xx1-exkx1-ex2121-y yx x2121ln-ln-xxx x122xx0|x x01x122xx要证kg(x0),即证,因为0 x1,设t=1,即证ln t=2-,也就是要证ln t+-20,其中t(1,+),设k(t)=ln t+-2(t(1,

27、+),则k(t)=-=0,所以k(t)在(1,+)上单调递增,因此k(t)k(1)=0.即kg(x0).2121ln-ln-xxx x122xx21122(-)x xxx21xx2(-1)1tt 41t 41t 41t 1t24(1)t 22(1)-4(1)ttt t22(-1)(1)tt t 方法总结方法总结解决不等式恒成立问题的常见方法:分离参数,化为af(x)恒成立(af(x)max即可)或af(x)恒成立(af(x)min即可);数形结合(y=f(x)图象在y=g(x)图象上方(或下方)即可);讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立;讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符

28、合题意的参数范围.例例为了满足广大人民群众日益增长的体育需求,为了纪念北京奥运会成功举办,国务院批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2 km,AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计),将隔离出的BEF作为健身场所.则BEF面积S的最大值为 (单位:km2).实践探究实践探究解析解析以A为坐标原点,

29、AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,可得C(2,4).设边缘线AC所在的抛物线为y=ax2,把C(2,4)代入得a=1,所以抛物线的方程为y=x2.设点P(t,t2),因为y=2x,所以过点P的切线EF的方程为y=2tx-t2,令y=0,得E;令x=2,得F(2,4t-t2),02t所以BEF的面积为S=(4t-t2),即S=(t3-8t2+16t),t(0,2,故S=(3t2-16t+16)=(t-4).由S0,得t,由S0,得t,所以S在t上是增函数,在t上是减函数,所以S在t(0,2上的最大值在t=处取到,为.122-2t1414344-3t40,34,2340,34,234364

30、27答案答案 6427如何学好高中数学1、培养良好的学习兴趣。兴趣是最好的老师。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢?(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。(2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。(3)思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。(4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问

31、为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的?(5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。2、建立良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的

32、脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3、有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想

33、，转化思想，变换思想。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神;正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质;在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、认真听好每一节。在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。