高等数学高数课件-31-微分中值定理.ppt

1、第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、中值定理一、中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则 三、泰勒公式三、泰勒公式 四、函数的单调性与凹凸性四、函数的单调性与凹凸性 五、函数的极值与函数图形的描绘五、函数的极值与函数图形的描绘 六、弧微分与曲率六、弧微分与曲率 二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理一、费马一、费马(Fermat)引理引理四、柯西四、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第一节第一节 中值定理中值定理首先我们观察一首先我们观察一个几何事实个几何事实:ab1 2 xyo)(xfy CAB如果如果f(x)在在

2、(a,b)上上可导，且在可导，且在(a,b)的内点上存在极的内点上存在极值点值点 1或或 2,即即),(),()(11Uxfxf),(),()(22Uxfxf换句话说在极值点处必有换句话说在极值点处必有，0)()(21ff则在曲线则在曲线AB上至少存在一点上至少存在一点C,C,在该点处的切线是在该点处的切线是水平的。水平的。如右图所示如右图所示费马引理费马引理设函数设函数)(xf在点在点0 x的某邻域的某邻域)(0 xU内有定义，内有定义，并且在并且在0 x处可导，处可导，如果对任意的如果对任意的),(0 xUx 有有)()(0 xfxf(或或)()(0 xfxf)证证 不妨设不妨设)(0 x

3、Ux 时，时，).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时，时，;0)()(00 xxfxxf当当0 x时，时，.0)()(00 xxfxxf则则.0)(0 xf由此几何事实，我们引出如下的费马定理：由此几何事实，我们引出如下的费马定理：费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时，时，).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时，时，;0)()(00 xxfxxf当当0 x时，时，.0)()(00 xxfxxf费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时

4、，时，).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时，时，;0)()(00 xxfxxf当当0 x时，时，.0)()(00 xxfxxf由极限的保号性，由极限的保号性，费马引理费马引理证证 不妨设不妨设)(0 xUx 时，时，).()(0 xfxf 则对则对),(00 xUxx 有有),()(00 xfxxf 从而从而当当0 x时，时，;0)()(00 xxfxxf当当0 x时，时，.0)()(00 xxfxxf由极限的保号性，由极限的保号性，0limx 0limx及函数及函数)(xf在在0 x处可导处可导;0)()(00 xfxf.

5、0)()(00 xfxf所以，所以，.0)(0 xf例例1 1.0)(),(,)()(,/fbabfafbaf使得至少存在一点证明异号与且上可导在设函数分析分析,0)(首先会想到费马定理的结论要证f证明的的可导的极值点，因此是在费马定理中f,的极值点。是函数使得上至少存在一点思路就转化为证明在)(,),(xfxba同本题要证的结论形式相因为费马定理的结论与证证0)()(lim)(,0)()(lim)(,0)(,0)(,/bxbfxfbfaxafxfafbfafbxax于是不妨设由已知条件),()(,),(,0),()(,),(,02211bfxfbbxafxfaax有时当有时当由极限的保号性知

6、，.),(,内取得的最小值必在述所证可知由上上必存在最值在上连续在又bafbafbaf。可知则由费马定理为函数的最小值设0)(,)(),(ffba.)(),(,)()(),()(,kfbabfafkbfaff使得点则至少存在一之间的任一实数与为介于且是可导函数若函数,此结论的意义在于区间上的导函数不论是否连续 一定有介值性质。()()fxfx反之由的介值性是推不出的连续性。()fx导函数的介值性质()(),F xf xkx xa b证证:只须令只须令应用例应用例1的结论的结论.罗尔罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数)(xf在在续，续，在开区间在开区间),(ba内可导，内可导，且在区间端点

7、的函数值且在区间端点的函数值相等，相等，即即),()(bfaf 则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点),(ba 使使.0)(f证证)(xf在在,ba连续，连续，必存在最大值必存在最大值M和最小和最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf,ba上连上连闭区间闭区间证证)(xf在在,ba连续，连续，必存在最大值必存在最大值M和最小和最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf 证证)(xf在在,ba连续，连续，必存在最大值必存在最大值M和最小和

8、最小值值.m)1(若若,mM 则则.)(Mxf 故故),(ba 都有都有.0)(f)2(若若,mM ),()(bfaf 最值不可能同时在端点取得最值不可能同时在端点取得.不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设),(afM 则在则在),(ba内内使使.)(Mf ),(bax 有有),

9、()(fxf 故由费马引理知故由费马引理知.0)(f证毕证毕.至少存在一点至少存在一点例如，例如，).1)(3(32)(2 xxxxxf在在3,1 上连续，上连续，在在)3,1(上可导，上可导，且且,0)3()1(ff),1(2)(xxf取取),3,1(1(1 则有则有.0)(f几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,的切线是水平的的切线是水平的在该点处在该点处少有一点少有一点上至上至在曲线弧在曲线弧CABCAB罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可

10、能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:易见函数易见函数)(xf断断,不满足闭区间连续的条件不满足闭区间连续的条件,10,0,1)(xxxxf1.在闭区间在闭区间 0,1 的左端点的左端点0 x处间处间尽管尽管)(xf 在开区间在开区间(0,1)内内存在存在,且且,1)1()0(ff切线切线.但显然没有水平但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的

11、三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:2.10,01,)(xxxxxf我们在第二章第一节中已证明过我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件因此不满足在开区间可导的条件,虽然虽然)(xf在在1,1 内是连续的内是连续的,且有且有),1()1(ff 但是没有水平切线但是没有水平切线.)(xf在在0 x函数函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有

12、一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:3.,)(xxf 1,0 x函数函数)(xf虽然满足在闭虽然满足在闭区间区间0,1上连续上连续,在开区在开区间间(0,1)内可导的条件内可导的条件,但但),1()0(ff 显然也没有水平切线显然也没有水平切线.例例2对函数对函数2()sinf xx 在区间在区间0,上上罗尔定理的

13、正确性罗尔定理的正确性.验证验证解解显然显然()f x在在0,上连续上连续,且且(0)()0,ff 而在而在 0,内确存在一点内确存在一点2 使使 22sincos0.2xfxx 在在 0,内可内可导导,不求导数，不求导数，()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解解 因为因为(1)(2)(3)0,fff所以所以()f x在闭在闭从而，从而，使使 1()0,f 1即即是是()fx 的一个零点；的一个零点；使使 2()0,f 例例3判断函数判断函数区间区间上满足罗尔定理的三个条件，上满足罗尔定理的三个条件，1,22,3、内至少存

14、在一点内至少存在一点1,在在(1,2)又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)不求导数，不求导数，()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例例3判断函数判断函数解解使使 2()0,f 又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)1即即是是()fx 的一个零点；的一个零点；即即 2是是()fx 的一个零点；的一个零点；又因为又因为()fx 为二次多项式，为二次多项式，故故()fx 恰好有两个零点，恰好有两个零点，不求导数，不求导数，()(1)(2)(3)f xxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有

15、几个零点及这些零点所在的范围.例例3判断函数判断函数解解使使 2()0,f 又在又在 2,内至少存在一点内至少存在一点(2,3)1是是()fx 的一个零点；的一个零点；最多只能有两个零点，最多只能有两个零点，和和分别在区间分别在区间(1,2)内内.(2,3)例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.设设5()511,f xxx则则()f x在在0,1上上连续连续,且且(0)1,(1)3.ff 由零点定理由零点定理,存在存在0(0,1),x 使使0()0,f x 即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.设另有设另有110(0,1),xxx

16、使使1()0.f x 因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点所以至少存在一点(在在01,xx之间之间),使得使得()0.f 但但4()5(1)0fxx(0,1),x 导致矛盾导致矛盾,故故0 x为唯一实根为唯一实根.例例4证证证明方程证明方程5510 xx有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为()f x在在01,xx之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔

17、定理的条件,例例5证证设设123,na aaa为为121(1)0321nnaaan 的实数的实数,试证明方程试证明方程12coscos3cos(21)0,naxaxanx在在(0,/2)内至少存在一个实根内至少存在一个实根.作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 满足满足证证 作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 证证 作辅助函数作辅助函数121()sinsin33f xaxax1sin(21),21nanxn 显然显然(0)(/2)0,ff 在在(0,/2)内可导内可导,故由罗尔定理

18、知故由罗尔定理知,存在一点存在一点(0,/2),使使()0,f 续续,在在 0,/2上连上连()f x至少至少即即12()coscos3faa 从而题设方程在从而题设方程在(0,/2)内至少有一个实根内至少有一个实根.cos(21)0nan 例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证 从结论倒推分析知从结论倒推分析知,可引进辅助函数可引进辅助函数()(),xxf x e 由于由于()()0,ab罗尔定理条件罗尔定理条件,易知易知()x在在,a b上满足上满足且且()(

19、)(),xxxfx ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证()()(),xxxfx ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,例例6设设()f x在在,a b上连续上连续,在在(,)a b内可导内可导,且且()()0.f af b证明证明:存在存在(,),a b 使使()()ff 成立成立.证证()()(),xxxfx

20、ef x e因此因此,在在(,)a b内至少存在一点内至少存在一点(,),a b 使使()0,即即()()0,fefe 因因0,e 所以所以()().ff 例例7证证设函数设函数()f x在在,a b上连续上连续,导导,在在(,)a b内可内可且且()()0.f af b若存在常数若存在常数(,),ca b 使得使得()()0,f af c试证至少存在一点试证至少存在一点(,),a b 使得使得()0.f 因因()()0,f af b故故()f a和和()f b同号同号,不妨设不妨设()0,f a ()0.f b 又因为又因为()()0,f af c所以所以()0.f c 在在,a c和和,c

21、 b上上()f x连续连续,证证不妨设不妨设()0,f a ()0.f b ()0.f c 在在,a c和和,c b上上()f x连续连续,证证()0,f a ()0.f b ()0.f c 在在,a c和和,c b上上()f x连续连续,设设由于由于()f a和和()f c异号异号,()f b()f c和和异号异号,所以所以,至少存在一点至少存在一点1(,),xa c 使使1()0;f x 至少存在一点至少存在一点2(,),xc b 使使2()0.f x 在区间在区间12,xx上上,()f x显然满足显然满足罗尔定理的三个条件罗尔定理的三个条件,即即()f x在在12,xx上连续上连续,在在

22、12(,)xx内可导内可导,12()(),f xf x 所以至少存所以至少存在一点在一点12(,)(,),xxa b 使使()0.f？能否用罗尔定理证明例1再证例再证例1)()(,)()(,0)(,0)(/bfafbfafbfaf不妨设罗尔定理得证。否则，则有若我们不妨设),()(,),(bfxfbabbx有时且当),(0 xac理，存在根据连续函数的介值定0)(),(,).()(fbcbcbfcf使知存在可上应用罗尔定理再在使使知，存在由,00)()()(lim/bfbxbfxfbx),()()(),(00afbfxfbbx使取练习练习 1,()()0,(,),()()0ff af ba b

23、ff设函数 可导 且证明至少存在一点使得分析分析0|)()(,0)()(xxfxfff即证要证或等于等于什么样的原函数的导数)()(xfxf()()().u xf xfx()()()().F xu xf xfx即()(,),()()()()0,()0,()()0F xa bFuffuff如果满足了罗尔定理的条件,则存在使得且不就证明了。练习练习 2.1)(),1,0(,)(),1,0(,0)1()0(,)1,0(,1,0000fxxfxfff使得证明一定存在一点使得且存在内可导在上连续在设函数证明证明由于设辅助函数,)()(xxfxF定理不能直接用RolleFFFF),1()0(,1)1(,0

24、)0(1)(0)()1,0(),0()(,0fFxF。此即，使得即存在运用罗尔定理。上对可微函数于是在.0)(),1,(,1,1)1(,0)()(00000FxxFxxfxF使至少存在上应用零点定理则在由条件例例8 8分析分析02021max3xxmin f xffff x ()(0)+(1)+(2)或xyf xf y若,即有11()(),nniiiif xf y()0,()()iiiifxxyf yf x若,即有11()(),nniiiif xf y这两种情况都构成矛盾，故(,),a b存在使得()0f.ab1 2 xoy)(xfy ABCD再看一个几何事实再看一个几何事实:.,ABCAB平

25、行于弦在该点处的切线上至少有一点在曲线弧如右图所示如右图所示，则即每点都存在导数处都有切线点上连续可导，且在每一在若曲线)(,)(baxf)()()()(的斜率弦切线斜率ABabafbff拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数)(xf在闭区在闭区间间,ba上连续上连续,),(ba 内至少有一点内至少有一点使得使得)()(abfaf 分析分析：条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差).()(bfaf 几何图中几何图中,弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy 曲线曲线)(xf减去弦减去弦,AB所

26、得曲线在所得曲线在ba,两端点上的两端点上的函数值相等函数值相等.在开区间在开区间),(ba内可导内可导,则在则在),(ba拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理于是于是,若作辅助函数若作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF 则则)(xF满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在),(ba内至少内至少存在一点存在一点,使使,0)(F即即0)()()(abafbff 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数)(xf在闭区在闭区间间,ba上连续上连续,),(ba 内至少有一点内至少有一点使得使得)()(abfaf 在开区间在开区

27、间),(ba内可导内可导,则在则在),(ba拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则则)(xF满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在),(ba内至少内至少存在一点存在一点,使使,0)(F即即0)()()(abafbff 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则则)(xF满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在),(ba内至少内至少存在一点存在一点,使使,0)(F即即0)()()(abafbff 或或).)()()(abfafbf 由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注注:拉格朗日公式拉格朗日公式的增量的增量精确地表达了函数在一

28、个区间上精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理0)()()(abafbff 或或).)()()(abfafbf 由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理0)()()(abafbff 或或).)()()(abfafbf 由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式设设)(xf在在),(ba内可导内可导,0 x),(0baxx 则有则有xxxfxfxxf )()()(000).10(即即x

29、xxfy )(0).10(增量增量的精确表达式的精确表达式y 拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理xxxfxfxxf )()()(000).10(即即xxxfy )(0).10(增量增量的精确表达式的精确表达式y 拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.当当 x0时，时，=(-x0)/x拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理xxxfxfxxf )()()(000).10(即即xxxfy )(0).10(增量增量的精确表达式的精确表达式y 拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式

30、又称有限增量公式有限增量公式.推论推论1如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数恒为零上的导数恒为零,那么那么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.推论推论1表明表明:导数为零的函数就是常数函数导数为零的函数就是常数函数.这一这一结论以后在积分学中将会用到结论以后在积分学中将会用到.由推论由推论1立即可得：立即可得：推论推论1如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数恒为零，上的导数恒为零，那么那么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.证证 在区间在区间I上任取两点上任取两点),(,2121xxxx 在区间在区间,21xx上上得得).()()()(212121xx

31、xxfxfxf 由假设由假设,0)(f于是于是),()(21xfxf 再由再由21,xx的任意性，的任意性，)(xf知知在区间在区间I上上的函数值都相等，的函数值都相等，即即)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，应用拉格朗日中值定理，任意点处任意点处拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理推论推论1如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数恒为零上的导数恒为零,那么那么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.推论推论1表明表明:导数为零的函数就是常数函数导数为零的函数就是常数函数.这一这一结论以后在积分学中将会用到结论以后在积分学中将会用

32、到.由推论由推论1立即可得：立即可得：推论推论2如果函数如果函数)(xf与与)(xg在区间在区间I上恒有上恒有),()(xgxf 在区间在区间I上上Cxgxf )()(C(为常数为常数).例例7解解验证函数验证函数()arctanf xx 在在0,1上满足拉上满足拉格朗日中值定理格朗日中值定理,并由结论求并由结论求 值值.()arctanf xx 在在0,1上连续上连续,在在(0,1)可导可导,故满足拉格朗日中值定理的条件故满足拉格朗日中值定理的条件.则则(1)(0)()(10)fff (01)即即2211arctan1arctan011xx 故故2141 (01).4 例例8证证证明证明ar

33、csinarccos(11).2xxx 设设()arcsinarccos,f xxx 1,1,x 即即,2C 2211()0,11fxxx (),f xC 1,1.x 又又(0)arcsin0arccos00,22farcsinarccos.2xx 例例9证证证明当证明当0 x 时时,ln(1).1xxxx 设设()ln(1),f xx足拉格朗日中值定理的条件足拉格朗日中值定理的条件.故故()(0)()(0)f xffx (0),x 从而从而ln(1)1xx (0),x 又由又由111x 111,11x 则则()f x在在0,x上满上满(0)0,f 1(),1fxx 例例9证证证明当证明当0

34、x 时时,ln(1).1xxxx()(0)()(0)f xffx (0),x ln(1)1xx (0),x 111,11x 例例9证证证明当证明当0 x 时时,ln(1).1xxxx()(0)()(0)f xffx (0),x ln(1)1xx (0),x 111,11x 即即ln(1).1xxxx,11xxxx 例例10证证设设()f x是在是在0,c上可导的函数上可导的函数,且且()fx 单调减少单调减少,(0)0.f 试证试证:对于对于0,ababc恒有恒有()()().f abf af b当当0a 时时,有有()0.f a 故不等式成立故不等式成立.当当0a 时时,在在0,a上应用拉氏

35、定理知上应用拉氏定理知,1(0,),a 使使1()()(0)()0f af affaa 在在,b ab 上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知2(,),b ab 证证在在,b ab 上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知2(,),b ab 使使2()()()()()()f abf bf abf bfaabb ()()()f abf bf aaa(0)a 所以所以()()().f abf af b证毕证毕.()fx 单调减少单调减少,12()()ff 例例1111不会有第一类间断点。内在证明导函数内可导在设函数),()(,),(baxfbaf证明：证明：,)(),(00的左右极限存在在若只需证明xxfbax

36、使得在中值定理的条件，故存上满足在由已知条件，),1,0(),(,)(00Lagrangebaxxxxf)()()(000 xxfxxfxxf则都存在即,)()(lim),()(lim0000 xfxfxfxfxxxx)()()(000 xfxfxf一定成立有)(lim)()(lim)(,0,)(000000/0 xxfxxfxxfxfxxfxx则有令两边取极限存在的右极限在又因为0)(xxf)()()(,)(00/00 xfxfxfxf必有存在若),()(lim)(lim0000 xfxfxxfxxx所以。因此)()()(00/0 xfxfxf存在，)()(lim00 xfxfxx,)(00

37、00的一种特殊方式是其中xxxxxx同理可证点处连续。在即都存在，则必有和若这就说明000000)(),()()()()(lim)()(lim,00 xxfxfxfxfxfxfxfxfxxxx,()fx换句话说没有第一类的间断点，它的间断点只能是第二类的。例如：21sin0()00 xxf xxx112 sincos0()00 xxfxxxx()()00f xfxxx处处可导,但在处不连续，且是第二类的无穷振荡间断点。是两个完全不同的概念和右极限与导函数的左极限和右导数的左导数点由此例可见函数在某一)(lim)(lim)()(000/0/0 xfxfxfxfxxxxx00/0/0lim()()

38、lim()()xxxxfxfxfxfx导函数的左极限存在左导数存在导函数的右极限存在右导数存在。0lim()()xxxfxAA0关于分段函数在分界点 的导数除用定义求外，若有限,则 就是分界点处的导数值。反之未必成立！存在则存在若,)(,)(lim00 xfxfxx000000(),lim()A()()xxf xxxfxfxfxx用同样的方法我们可以证明：若在 的某个邻域内连续，在去心邻域内可导，且有限数）,则存在，且在 点必连续.()fx回顾一般函数在某点存在极限时，可以在该点不连续。但如果导函数在某点存在极限，则它就在该点必连续，这里甚至事先可以不假设函数在该点可导。可见导函数的这个性质是

39、很独特的。000lim()()lim()().xxxxfxAfxfxA即若实数,则()(),iif xa baxyb设在,上可导,且则由推广的罗尔定理可得1,2,iix=y in证明：(1)若,命题显然成立；1,2,()()iixy i=nF xaf xbx(2)若,令11()=(),nniiiiF xF y容易算得(,),a bF存在使得()=0，即拉格朗日中值定理的推广11()()()().nniiiiiif yf xfyx11()(),().nniiiiiibf yf xayx其中()0afb(,),a b存在使得由(2),结论仍然成立.1,2,1,iiiixy i=k xy i=kn(

40、3)若,11()=(),kkiiiiF xF y则有11()()()()nniiiiiif yf xfyx从而成立.拉格朗日中值定理证明方法的探讨拉格朗日中值定理证明方法的探讨证明了结论证明了结论前面我们通过构造辅助函数前面我们通过构造辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF 点点),(ba使得使得abafbfccf)()()(，我们能否借鉴这种证明思路，来推广证明存在一我们能否借鉴这种证明思路，来推广证明存在一.)()(cfcf 或(c为常数为常数)的命题。的命题。通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）欲证欲证cf)(只需构

41、造如下的辅助函数只需构造如下的辅助函数)()(xfxF“一次多项式一次多项式”,要证要证cf)(猜想只需构造如下的辅助函数猜想只需构造如下的辅助函数)()(xfxF“二次多项式二次多项式”,要证要证cf )(只需构造如下的辅助函数只需构造如下的辅助函数)()(xfxF“三次多项式三次多项式”,而构造辅助函数而构造辅助函数F(x)的目的是将对它应用罗尔定理。的目的是将对它应用罗尔定理。构造辅助函数构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。的目的是对它应用罗尔定理。要证要证，cf)(F(x)需要满足如下的条件：需要满足如下的条件：F(x1)=F(x2)=F(x3)或或要证要证)()(21xFx

42、Fcf )(需要需要F(x)要有四个函数值相等要有四个函数值相等,即即F(x1)=F(x2)=F(x3)=F(x4)或或)()()(321xFxFxF如何确定如何确定F(x)中的多项式函数呢？中的多项式函数呢？存在三个点存在三个点x1,x2,x3,使得使得而这些条件，正是确定辅助函数而这些条件，正是确定辅助函数F(x)中的多项式中的多项式函数的依据和条件。函数的依据和条件。例例 设设)(xf在在 1,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数,且且0)1(f.0)0(,1)1(ff证明：在证明：在)1,1(内至少有一点内至少有一点 ,使使.3)(f分析：构造三次多项式分析：构造三次多项式)(1()

43、(2cbxaxxxP其中：其中：.1)(2cba此时有此时有).1()1(),1()1(PfPf再令再令0|)2)(1()()0(02xbaxxcbxaxP即即,0cb从而从而.21a为了确定为了确定b,c,需再补充条件需再补充条件).0()0(Pf故所求的三次多项式为故所求的三次多项式为)0()0(21)(1()(2fxfxxxP证明：证明：)1,0(),0,1(21令辅助函数令辅助函数0)()(21FF显然有显然有由此条件得由此条件得).0(),0(fbfc在在 1,001和，为了确定为了确定b,c,需再补充条件需再补充条件).0()0(Pf)()()(xPxfxF)1()0()1(FFF

44、上对上对F(x)应用罗尔定理，便得到应用罗尔定理，便得到使得使得)0()0(21)(1()()(2fxfxxxfxF即即注：此方法还可用来证明类似注：此方法还可用来证明类似和cf|)(|使得使得)1,0(),(21故故0)()0()(21FFF而而两次两次在在,0021和，)(xF.3)(xP上分别对导函数上分别对导函数于是便得到于是便得到.0)(F亦即亦即应用罗尔定理，便知存在应用罗尔定理，便知存在0)()()(PfF.3)(fcfbax|)(|max,的命题。的命题。柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开

45、区间),(ba内可导内可导,且且)(xg 在在),(ba内每一点处均不为零内每一点处均不为零,有一点有一点),(ba 使得使得)()()()()()(gfbgagbfaf 证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx 如果函数如果函数)(xf及及)(xg在在那么在那么在),(ba内至少内至少)(x 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx )(x 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,柯西柯西(Cauchy

46、)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx )(x 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在),(ba内至少存在内至少存在一点一点,使得使得.0)(x 即即,0)()()()()()(gagbgafbff.)()()()()()(gfagbgafbf 证毕证毕.显然显然,当当xxg)(时时,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx )(x 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在),(ba内至少存在内至少存在一点

47、一点,使得使得.0)(x.)()()()()()(gfagbgafbf 证毕证毕.显然显然,当当xxg)(时时,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx )(x 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在),(ba内至少存在内至少存在一点一点,使得使得.0)(x.)()()()()()(gfagbgafbf 证毕证毕.显然显然,当当xxg)(时时,)()(abagbg .1)(xg柯西中值定理化为拉格朗日中值定理柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.几何解释几何解释:如图可以看出：如图可以看出：)

48、(1 F)(2 FX0Y )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xF)(xf把平面曲线方程写成把平面曲线方程写成参数方程的形式参数方程的形式,)()(baxxfYxFX其中其中x为参数方程。为参数方程。在曲线弧在曲线弧AB上至少有一点上至少有一点C(F(),f(),在该点处在该点处的切线平行于弦的切线平行于弦AB.例例11解解验证柯西中值定理对函数验证柯西中值定理对函数3()1,f xx2()g xx 在区间在区间1,2上的正确性上的正确性.函数函数3()1,f xx2()g xx 连续连续,在开区间在开区间(1,2)内可导内可导,且且()20.g xx 于是于是(),f x()g

49、x满足柯西中值定理的条件满足柯西中值定理的条件.由于由于332(2)(1)(21)(11)7,(2)(1)321ffgg ()3,()2fxxg x 在区间在区间1,2上上解解由于由于332(2)(1)(21)(11)7,(2)(1)321ffgg ()3,()2fxxg x 解解 由于由于332(2)(1)(21)(11)7,(2)(1)321ffgg ()3,()2fxxg x 令令37,23x 得得14.9x 取取14(1,2),9(2)(1)()(2)(1)()fffxggg x 成立成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性上

50、的正确性.则等式则等式分析分析例例12设函数设函数()f x在在0,1上连续上连续,导导.(0,1)在在内可内可试证明至少存在一点试证明至少存在一点(0,1),使使()2 (1)(0).fff 结论可变形为结论可变形为2(1)(0)()().102()xffffxx 证证作辅助函数作辅助函数2(),g xx 则则(),f x()g x在在0,1上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的故在故在(0,1),内至少存在一点内至少存在一点条件条件,(1)(0)().102fff 使使例例12设函数设函数()f x在在0,1上连续上连续,导导.(0,1)在在内可内可试证明至少存在一点试证明至少存在一点(