《画法几何与阴影透视》课件第2章点、直线、平面的投影.ppt

1、1 2.1.12.1.1点在两面投影体系、点在两面投影体系、三面投影体系中的投影三面投影体系中的投影HVXO水平投影面水平投影面 H H 垂直投影面垂直投影面 V V 投投 影影 轴轴 OX OX V V面和面和H H面将空间面将空间分成四个分角。处在分成四个分角。处在前、上侧的那个分角前、上侧的那个分角称为第一分角，反时称为第一分角，反时针方向依次为第二、针方向依次为第二、三、四分角。我们通三、四分角。我们通常把物体放在第一分常把物体放在第一分角中来研究。角中来研究。2.12.1点的投影点的投影 画法几何与阴影透视第 章 点、直线、平面的投影2（1 1）点的两面投影）点的两面投影HVOXA

2、A点的水平投影点的水平投影 a aA A点的垂直投影点的垂直投影 a a aAZYXaax实际上实际上,根据两个投影根据两个投影,可以知道该点的可以知道该点的X X、Y Y、Z Z的坐标的坐标 画法几何与阴影透视3 点的两面投影点的两面投影图的画法图的画法HHVOXa aAaxXHVOa aaxxzy 画法几何与阴影透视4点的两面投影点的两面投影图的图的性质性质1)aa OX 2)a ax=Aa,aax=Aa HVOXa aAaxXHVOa aaxxzy 点的点的V V面投影与面投影与H H面投影之间的连线面投影之间的连线aaaa垂直于垂直于投影轴投影轴0X 0X；点的一个投影到；点的一个投影

3、到0X0X投影轴的距离等于投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。画法几何与阴影透视5通常不画出投影图的范围通常不画出投影图的范围XOa aaxxzy 画法几何与阴影透视6H 点在其他分角中的投影点在其他分角中的投影VXBbxHbbbbbx B B点是二分角的点，V、H两个投影面的投影，都落在了投影轴的上方，同理，四分角的C点的两个投影都落在投影轴的下方，这正是不采用二、四分角的原因OCcccxcc 画法几何与阴影透视7 特殊位置点的投影特殊位置点的投影HVOXb bc cHVOXCcca bBb Aaa aB B点在点在V V面上面

4、上A A点在点在H H面上面上C C点在点在OXOX轴上轴上 画法几何与阴影透视8三面投影面体系的建立三面投影面体系的建立HVXO水平投影面水平投影面 -H H H H V V-OXOX正面投影面正面投影面 -V V Y Y W W-OZOZ 侧面侧面投影投影面面 -W W H H Z Z -OYOY ZYW（2 2）点的三面投影）点的三面投影 画法几何与阴影透视9三面投影面体系中点的投影三面投影面体系中点的投影A A点点的的水平投影水平投影 a a A A点点的的正面投影正面投影 a a A A点点的侧面的侧面投影投影 a a Ha aa VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA 画法几何与

5、阴影透视10【例例2.12.1】已知点已知点A A的的正面与侧面投影，求正面与侧面投影，求点点A A的水平投影的水平投影。XZYWYHOa a a 画法几何与阴影透视11 Aa Aa=a a az az=aay aay=ax O ax O=x=x Aa Aa =a a az az=aax aax=ay O ay O=y y Aa Aa =a a ax ax=a a a y a y=azaz O O=z=z a a a a oxox a a a a ozozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazayAzzzxxxyyyy三面投影面体系中点的投影规律三面投

6、影面体系中点的投影规律 画法几何与阴影透视12【例例2.22.2】已知已知A A、B B、C C三点的各三点的各一个投影一个投影a a、bb、c c，且：，且：Aa=10Aa=10，B B点距点距V V面面2020，C C点在点在A A点点的右方的右方1515，完成，完成三个点的三面投三个点的三面投影。影。aXZYHYWbc10aa20bb15cc 画法几何与阴影透视13 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（则点的空间位置可用其（X X、Y Y、Z Z）三个坐标来确定，点的投影就反映）三个坐标来确

7、定，点的投影就反映点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X X、Y Y、Z Z 三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。点的任意两个投影即可求出其第三投影。因此，我们在描述一个空间点的位置时，可以用多种方式：因此，我们在描述一个空间点的位置时，可以用多种方式：距投影面的距离（距投影

8、面的距离（A A点距点距V V面面15mm)15mm)点的三个坐标点的三个坐标(15,20,8)(15,20,8)与另一个点的相对关系与另一个点的相对关系(在在B B点的正前方点的正前方10mm)10mm)投影连线的长度投影连线的长度(Aa=15mm)(Aa=15mm)画法几何与阴影透视14XOZYWYHHVXZYWO20 【例2.32.3】已知点已知点A A的坐标为的坐标为X X1515，Y Y1010，Z Z2020，作点，作点A A的三面的三面 投影图，并用直观图来表达点投影图，并用直观图来表达点A A的空间位置。的空间位置。a aa 1510aaaax1520ayaz10A 画法几何与

9、阴影透视15【例2.42.4】已知已知A A点距点距H H面面40mm,40mm,距距V V面面20mm,20mm,axax在距原点在距原点30mm30mm处处,试完成试完成A A点两面投影。点两面投影。20mm40mm30mmOXaaax 画法几何与阴影透视16XOZY 两点的相对位置两点的相对位置两点中两点中X X 值大值大的点的点 在左在左两点中两点中Y Y 值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z Z 值大值大的点的点 在上在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA 画法几何与阴影透视17 【例2.52.5】已知已知A A点在点在B B 点之前点之前5 5毫米，之上

10、毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右8 8毫米，毫米，C C点在点在A A点点的正后方的正后方5 5毫米毫米,求求A A、C C点的投影。点的投影。a(c)a aXZYWYHOb bb 985cc 画法几何与阴影透视18【例2.62.6】已知已知点的正投影位置，且点的正投影位置，且、两点等高，又知两点等高，又知点距点距面面2020，点距面点距面1010，、两点间的水平距离为，、两点间的水平距离为3030。求、两点的投影。有几解？。求、两点的投影。有几解？a20a1030bb1bb1 画法几何与阴影透视19判断重影点的可见性判断重影点的可见性dc(d)cDCa(b)abAB 画法几何与阴影透视2

11、0重影点及可见性判别重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。投影面的重影点。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之

12、不可见，不可见点的投影加括号点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。表示。画法几何与阴影透视21a(b)abcdc(d)画法几何与阴影透视22注：因为平面是无限大的，所注：因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。以一般不画出平面边框。ZYXYOa aa 画法几何与阴影透视23各种位置点的投影各种位置点的投影空间点空间点 点的点的X X、Y Y、Z Z三个坐标均不为零，其三个投三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。影都不在投影轴上。投影面上的点投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。与投影面重合，另

13、外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。与原点重合。画法几何与阴影透视242.2.1 各种位置直线的投影各种位置直线的投影 直线的投影仍为直线直线的投影仍为直线(类似性类似性)，特殊情况下为一点，特殊情况下为一点(积聚性积聚性)。特。特殊情况下为等长（全等性）殊情况下为等长（全等性）HabDCc(d)AB2.2 直线的投影直线的投影 画法几何与阴影透视25

14、 因为直线的投影仍为直线因为直线的投影仍为直线,所以所以直线的投影可由属于直线上任意两点的投影来决直线的投影可由属于直线上任意两点的投影来决定。定。作图时先作出直线上任意两点的投影作图时先作出直线上任意两点的投影,然后作两点然后作两点同面投影的连线同面投影的连线即可。即可。aa aXZYWYHOb bb 求直线的投影求直线的投影 画法几何与阴影透视26（1 1）投影面的平行线）投影面的平行线 空间位置空间位置 平行于一个投影面，倾斜于另两平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。个投影面。水平线水平线H H 倾斜于倾斜于V V、W W 正平线正平线V V 倾斜于倾斜于H H、W W 侧平线侧平线W

15、 W 倾斜于倾斜于H H、V V 画法几何与阴影透视27 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：投影特性：a.a.a a b b OX OX;a a b b OYOYW W b.b.abab=ABABc.c.反映反映、角的真实大小角的真实大小SCABSCAB 画法几何与阴影透视28XZYO 正平线正平线 平行于正立投影面的直线平行于正立投影面的直线aabbabXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性：a.a.ab ab OX OX;a a b b OZOZ b.b.a a b b=ABAB c.

16、c.反映反映、角的真实大小角的真实大小SCABSCAB 画法几何与阴影透视29XZYO 侧平线侧平线 平行于侧立投影面的直线平行于侧立投影面的直线XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性：a.a.a a b b OZOZ;ab ab OYOYH H b.b.a a b b =ABABc.c.反映反映 、角的真实大小角的真实大小SCABSCAB 画法几何与阴影透视30从属于V 面的平行线线ZXabaOYHYWabb从属于从属于V V 面的直线是与面的直线是与V V投影面零距离的正平线。投影面零距离的正平线。OXZYABbbabaa从属于投影面的直线从属于投影面的直线

17、 画法几何与阴影透视31（2 2）投影面的垂直线）投影面的垂直线空间位置空间位置 垂直于一个投影面，平行于另两垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。个投影面。铅垂线铅垂线H VH V、W W 正垂线正垂线V HV H、W W 侧垂线侧垂线W VW V、H H 画法几何与阴影透视32OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：a.a.abab 积聚积聚 成一点成一点 b.b.a a b bOXOX ;a a b b O O Y YW W c.c.a a b b =a a b b =ABABAB 铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线 画法

18、几何与阴影透视33 正垂线正垂线 垂直于正立投影面的直线垂直于正立投影面的直线OXZYb（a）baba投影特性：投影特性：a.a.a a b b 积聚积聚 成一点成一点 b.b.abab OXOX ;a a b b O OZ Z c.c.abab=a a b b =ABABABzX（a）b baOYHYWab 画法几何与阴影透视34 侧垂线侧垂线 垂直于侧立投影面的直线垂直于侧立投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性：a.a.a a b b 积聚积聚 成一点成一点 b.b.ab ab OYOYH H ;a a b b O OZ Z c.c.b b=a a b b =ABABbaa（b）ab

19、ZXa（b）baOYHYWab 画法几何与阴影透视35从属于从属于V V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa 画法几何与阴影透视36直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A CA C:C B=a c:c b=a:C B=a c:c b=a c c :c:c b b =a=a c c :c:c b b 根据这两个特性根

20、据这两个特性,我们可以判断一个点是否属于一条直线我们可以判断一个点是否属于一条直线,也可以求属于线也可以求属于线上点的投影上点的投影2.2.2 2.2.2 直线上的点直线上的点ABbb aa XOcc Cc（1 1）直线上的一般点）直线上的一般点 画法几何与阴影透视37bXaabcc【例2.72.7】已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成1 1：2 2两段，两段，求分点求分点C C的的ABAB。画法几何与阴影透视38【例2.82.8】已知点已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbb aacCcH

21、V 画法几何与阴影透视39ABbbaaXO 定义定义 迹点是直线与投影面的交迹点是直线与投影面的交点。直线与点。直线与H H面的交点，称为水面的交点，称为水平迹点，用平迹点，用M M表示；直线与表示；直线与V V面面的交点，称为正面迹点，用的交点，称为正面迹点，用N N表表示。示。空间位置特点空间位置特点 直线迹点既属于直线，又属于投影直线迹点既属于直线，又属于投影面。直线的水平迹点面。直线的水平迹点M M既属于直线，又属既属于直线，又属于于H H投影面；直线的正面迹点投影面；直线的正面迹点N N既属于直既属于直线，又属于线，又属于V V投影面。投影面。M，mN，nmnHV（2）直线上的迹点）

22、直线上的迹点 画法几何与阴影透视40 直线迹点的一个直线迹点的一个投影属于直线同面投投影属于直线同面投影，另二投影必属于影，另二投影必属于相应的投影轴。相应的投影轴。投影特点投影特点ABbbaaXOM，mN，nmnHV 直线的水平迹点直线的水平迹点M M的的H H投影投影m m属于直线的属于直线的H H投影，投影，V V投影投影mm属于属于OXOX轴，轴，W W 投影投影mm属于属于OYOYW W轴；轴；直线的正面迹点直线的正面迹点N N的的V V投影投影nn属于直线的属于直线的V V投影，投影，H H投影投影n n属于属于OXOX轴，轴，W W投影投影nn属于属于OZOZ轴。轴。WmnabY

23、ZO 画法几何与阴影透视41求作正面迹点求作正面迹点N N a.a.延长直线的水平投影延长直线的水平投影与与OXOX轴相交于轴相交于n n；b.b.过过n n作垂直于作垂直于OXOX轴的投影连线轴的投影连线,与直线的正面投影与直线的正面投影a abb的延长线相交的延长线相交,即确定即确定了了nn 的位置的位置 。投影作图投影作图bbaaXO 求作直线求作直线ABAB的水平迹点的水平迹点M M及正面迹点及正面迹点N N。求作水平迹点求作水平迹点M M a.a.延长直线的正面投影延长直线的正面投影与与OXOX轴轴 相交于相交于mm；b.b.过过mm作垂直于作垂直于OXOX轴的投影连线轴的投影连线,

24、与直线的水平投影与直线的水平投影ab ab 的延长线相交的延长线相交,即确定了即确定了m m的位置。的位置。mmnn 画法几何与阴影透视42从属于投影轴的直线从属于投影轴的直线ZXabaOYHYWa（b）bOOXZYABbba（b）aa 画法几何与阴影透视43(1)(1)直角三角形法求一般位置线段实长及其对直角三角形法求一般位置线段实长及其对投影面倾角的空间分析投影面倾角的空间分析(2)(2)直角三角形法的运用直角三角形法的运用2.2.3 2.2.3 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角一般位置线段的实长及其对投影面的倾角 画法几何与阴影透视44OXZY一般位置直线的一般位置直线的投影特性投影

25、特性ABbbabaaZXaaaOYYbbb特性：特性：a ba b、a a b b、a a b b 均小于实长均小于实长 a ba b、a a b b、a a b b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 不反映不反映 、真实大小真实大小 画法几何与阴影透视45|zA-zB|ABABbbaaXO（1 1）直线与）直线与H H投影面的倾角投影面的倾角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abHB0V 画法几何与阴影透视46（2 2）直线与）直线与V V投影面的倾角投影面的倾角ABbbaaB0XO|YA-YB|aXab ba bAB|YA-YB|AB|YA-YB|AB a b|Y

26、A-YB|HVA0 画法几何与阴影透视47XOZYHVWABbbabaaZXa a aOYHYWbbb|XA-XB|XA-XB|A0（3 3）直线与）直线与W W投影面的倾角投影面的倾角 画法几何与阴影透视48 直角三角形法直角三角形法 用线段在某一投影面上的投影长作为一用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角解

27、决的空间几何问题解决的空间几何问题 求空间直线的实长、倾角、以及通过求空间直线的实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等求坐标差来求空间直线的投影等直角三角形法的实质直角三角形法的实质 是求解一般位置线段的实长及倾角等是求解一般位置线段的实长及倾角等空间几何问题的空间几何问题的几何作图方法几何作图方法。解题时，只要是。解题时，只要是全等的直全等的直角三角形，无论画在何位置，都不影响解题结果角三角形，无论画在何位置，都不影响解题结果。但用什。但用什么长度来作直角边不能弄错，如求么长度来作直角边不能弄错，如求角角就应以其就应以其水平投影水平投影长长为为直角边。直角边。直角三角形法直角三角形

28、法 画法几何与阴影透视49|zA-zB|【例2.92.9】已知已知 线段的实长线段的实长ABAB和正面投影及和正面投影及B B点的水平投影，求它的水平投影。点的水平投影，求它的水平投影。abb Xa bAB|zA-zB|abaa1作图方法一作图方法一abAB 画法几何与阴影透视50|yA-yB|【例2.92.9】已知已知 线段的实长线段的实长ABAB和正面投影及和正面投影及B B点的水平投影，求它的水平投影。点的水平投影，求它的水平投影。（续）（续）aa1|yA-yB|a b ABb Xa bABO|yA-yB|作图方法二作图方法二 画法几何与阴影透视51bbXaaBC(L)cLABc zA-

29、zBabSC【例2.102.10】已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的点的点C C的投影，的投影，使使BCBC 的实的实长等于已知长度长等于已知长度L L。画法几何与阴影透视52 所述直角三角形的四要素：所述直角三角形的四要素：实长、倾角、投影长、坐标实长、倾角、投影长、坐标差差。四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要。四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要素，但须清楚诸要素之间的关系。素，但须清楚诸要素之间的关系。注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面 坐标差坐标差 X实长实长投影投影 W

30、面投影面投影 ab倾角倾角 直角三角形法小结直角三角形法小结 坐标差坐标差 Y投影投影 V面投影面投影 ab倾角倾角 坐标差坐标差 Z投影投影 H面投影面投影 ab倾角倾角 用细实线用细实线画直角三画直角三角形（不角形（不是画直角是画直角三角形的三角形的投影，而投影，而是一个几是一个几何作图的何作图的方法）方法）画法几何与阴影透视532.2.4 2.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线在空间所处的相对位置有三种：两直线在空间所处的相对位置有三种：平行平行、相交相交和和相叉相叉（即异面）。以下分别讨论（即异面）。以下分别讨论它们的投影特性。它们的投影特性。画法几何与阴影透视54（1

31、1）平行的两直线）平行的两直线 两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若反之，若两直线在同一投影面上的投影均相互平行，则此二直线平行。两直线在同一投影面上的投影均相互平行，则此二直线平行。平行两线段之比等于其同面投影之比。平行两线段之比等于其同面投影之比。Xbaadb dccXbaabdcdcABCD 画法几何与阴影透视55 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两反之，若两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点属于两直线，或者说同面投影的交点连直线在同一投影面上的投影

32、均相交，且交点属于两直线，或者说同面投影的交点连线均垂直于相应投影轴，则该两直线相交。线均垂直于相应投影轴，则该两直线相交。（2）相交的两直线相交的两直线bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk 画法几何与阴影透视56（3 3）相叉的两直线）相叉的两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b Xa abc d dc11(2)2XOBDACbb aa c cdd 211(2)21 画法几何与阴影透视57判断交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性 判断重影点的可见判断重影点的可见性时，需要看重影点在性时，需要看重影点在另

33、一投影面上的投影，另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。点的投影加括号表示。投影图中通常可从投影图中通常可从重合投影处开始，向上重合投影处开始，向上或向下（或向左）作投或向下（或向左）作投影连线，先遇到的点，影连线，先遇到的点，坐标值较小，应加括号坐标值较小，应加括号。XOBDACbb aac cdd 3 4 1 2431 2()()画法几何与阴影透视58【例2.112.11】判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3 434121 2()()画法几何与阴影透视59 首先观看两侧平线各投

34、影字母顺序是否一致，不一致者首先观看两侧平线各投影字母顺序是否一致，不一致者肯定是交叉二线，一致者再作图判断。肯定是交叉二线，一致者再作图判断。主要方法主要方法补补W W投影投影定比定比利用相交、平行直线利用相交、平行直线均共面均共面oYWYHz【例2.122.12】判断两直线判断两直线ABAB和和CDCD是否平行。是否平行。Xaacddcbbabcd不平行不平行 画法几何与阴影透视60zoYWYHXaacddcbb 1 2 ()23 ()【例2.132.13】判断两直线的相对位置。dacb 补补W W投影判断投影判断二线交叉二线交叉31 2(判别判别重影点的重影点的可见性。可见性。)V V投

35、影重影处一投影重影处一般位置线在前般位置线在前;H H投影重影处侧投影重影处侧平线在上。平线在上。画法几何与阴影透视61（）baacddcbXO2（）【例2.142.14】判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置。用定比性判别重影点的可见性同前。V面投影重影处一般位置直线在前，侧平线在后。H面投影重影处一般位置直线在下，侧平线在上。点点、属属于侧平线于侧平线;点点属于属于一般位置直线一般位置直线。判别重影点的可见性判别重影点的可见性。定比判断定比判断两直线交叉两直线交叉1312判别前后判别前后判别上下判别上下3 画法几何与阴影透视62XZOYHYWacbabc【例2.152.15】（表示方法（

36、表示方法1 1）过点过点A A作直线与直线作直线与直线BCBC及及OZOZ轴相交。轴相交。还可换成（还可换成（与与OXOX或或OYOY轴相交）轴相交）ee 因因OZOZ是铅垂线是铅垂线,水水平投影积聚成平投影积聚成点点,位位置在置在O O处处,所以应先过所以应先过a a作水平投影作水平投影.分析：分析：画法几何与阴影透视63XZOYHYWacbabc【例2.162.16】（表示方法（表示方法2 2）过点过点A A作直线与直线作直线与直线BCBC及及Z Z 轴相交。轴相交。eeddmm 直线直线ADAD的的AMAM段在段在分角，分角，MDMD段在段在分角。分角。ff 点点F F是直线是直线ADA

37、D上与上与H H、V V等距的点等距的点 画法几何与阴影透视642.2.5 2.2.5 直角投影定理直角投影定理 定理一：定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。影面上的投影仍反映直角。定理二：定理二：相交两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投相交两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理三：定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投相互垂直的两

38、直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。影面上的投影仍反映直角。定理四：定理四：两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。，则空间两直线的夹角必是直角。直角投影定理直角投影定理 若空间二直线相互垂直（相交或交叉）其中只要有一条直线平行于若空间二直线相互垂直（相交或交叉）其中只要有一条直线平行于某一投影面，则此二直线在该投影面上的投影相互垂直；反之，若二直线在某一投某一投影面，则此二直线在该投影面上的投影相互垂直；反之，若二直线在某一投影面上的投影相互

39、垂直，且只要其中一直线平行于该投影面，则此二直线在空间必影面上的投影相互垂直，且只要其中一直线平行于该投影面，则此二直线在空间必然垂直。然垂直。或者叙述为若直角有一条边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影反或者叙述为若直角有一条边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影反映直角。映直角。画法几何与阴影透视65AHBCcb垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影HcXbacbaABAB垂直于垂直于AC,AC,且且ABAB平行平行于于H H面面,则有则有ab ab ac ac已知：已知：ABACABAC，ABHABH面面求证求证cabcab9090证明：证明：AB H AB H 而而AaH A

40、BAa AaH ABAa 又又ABAC ABCcaAABAC ABCcaA平面平面 ABab ab CcaAABab ab CcaA 故故 abbc abcabbc abc9090aDEe(d)()cee(d)()画法几何与阴影透视66交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线的投影BHAbaMNnmXb a bamnn mABAB垂直于垂直于MN,MN,且且ABAB平行于平行于H H面面,则有则有ab ab mn mn 画法几何与阴影透视67【例2.172.17】过点过点A A 作作EF EF 线段的垂线线段的垂线ABAB。bbaaOfeefX包含包含A A点的点的P P平面平面EF,EF,P

41、P平面上平面上过过A A点点EFEF的直线的直线有无数的解有无数的解!相叉垂直相叉垂直APEF 画法几何与阴影透视68f【例2.182.18】过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的垂线的垂线EFEF。fOcbaabXcddee注意注意:EFEF不是不是ABAB、CDCD的公垂线的公垂线,投投影中垂直相交处上影中垂直相交处上下不对正下不对正 画法几何与阴影透视69ABb【例2.192.19】作三角形作三角形ABCABC，ABCABC为直角，使为直角，使BCBC在在MNMN上，且上，且BCBC AB AB=2=2 3 3。bcbc=BCnmaaXmnc 画法几何与阴影透视70【例2.

42、202.20】作已知线段作已知线段ABAB、CD CD 公垂线公垂线EF EF 的投影及实的投影及实长。长。a(b)abcddc（e）eSCff分析分析:注意公垂线注意公垂线 EFAB(AB V)EFAB(AB V)EFVEFV又又 EF CD EF CD 而而EFVEFV e ef fcd cd efXefX轴轴 画法几何与阴影透视71【例2.212.21】作已知线段作已知线段ABAB、CD CD 公垂线公垂线EF EF 的投影的投影及实长。及实长。Ocbaa(b)Xcdd分析分析:注意公垂线注意公垂线 EFAB(AB H)EFAB(AB H)EFHEFH又又 EF CD EF CD 而而E

43、FHEFH(e)eSCff efefcd cd efXefX 画法几何与阴影透视72【例2.222.22】已知已知BCBC与与ABAB垂直，垂直，BCBC等于定长等于定长L L，点，点C C属于属于H H面，面，aboxabox，求作求作BCBC的的V V、H H投影。投影。ababLLZB-ZCcccc分析分析 由已知条件可知由已知条件可知：ABABH H面，面，H H投影中反映投影中反映ABABBCabbcBCabbc。又点。又点C C属于属于H H面，即面，即Z ZC C=0=0，则，则Z ZB B-Z-ZC C能能确定，以实长确定，以实长L L作直角三作直角三角形求得角形求得BCBC的

44、的H H投影长。投影长。投影作图投影作图 过过b b作作abab的垂线的垂线以定长以定长L L为斜边，以为斜边，以Z ZB B-Z-ZC C为为直角边作直角三角形，求出直角边作直角三角形，求出bcbc长度长度完成完成BCBC的的V V、H H投影投影 。两解两解本讲较难题本讲较难题bc 画法几何与阴影透视73【例2.222.22】（续）（续）已知已知BC BC 与与ABAB垂直，垂直，BCBC等于定长等于定长L L，点，点C C属属于于H H面，面，aboxabox，求作求作BCBC的的V V、H H投影。投影。ababLLZB-ZCcccc分析分析 由已知条件可知：由已知条件可知：ABABH

45、 H面，面，H H投影中反映直角。又点投影中反映直角。又点C C属属于于H H面，即面，即Z ZC C=0=0，则，则Z ZB B-Z-ZC C能确定能确定，以实长，以实长L L作直角三角形求得作直角三角形求得BCBC的的H H投影长。投影长。投影作图投影作图 过过b b作作abab的垂线的垂线以定长以定长L L为斜边，以为斜边，以Z ZB B-Z-ZC C为直角边作为直角边作直角三角形，求出直角三角形，求出bcbc长度长度完成完成BCBC的的V V、H H投影投影 。两解两解本讲较难题本讲较难题 画法几何与阴影透视aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd2.3.2.3

46、.平面的投影平面的投影 （1 1）几何元素表示平面）几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五用几何元素表示平面有五种形式：种形式：不在一直线上的三个点；不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；一直线和直线外一点；相交二直线；相交二直线；平行二直线；平行二直线；任意平面图形。任意平面图形。742.3.1 2.3.1 平面的表示法平面的表示法 画法几何与阴影透视（2 2）用平面的迹线表示平面）用平面的迹线表示平面VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ75 画法几何与阴影透视2.3.2 2.3.2 各种位置的平面的投影各种位置的平面的投影 空间平面与投影面的相对位置，可分为空间平面与投影面的

47、相对位置，可分为特殊位置特殊位置与与一般位置一般位置两类两类 （）（）特殊位置平面特殊位置平面;空间位置空间位置:对一个投影面平行对一个投影面平行或者垂直的平面，简称特殊面。或者垂直的平面，简称特殊面。空间平面与投影面之一垂直称为投影面垂直面空间平面与投影面之一垂直称为投影面垂直面，分别有正垂面、，分别有正垂面、铅垂面、侧垂面。这类平面在某一投影面上的投影符合第一章中所述的积铅垂面、侧垂面。这类平面在某一投影面上的投影符合第一章中所述的积聚性。聚性。空间平面与投影面之一平行称为投影面平行面空间平面与投影面之一平行称为投影面平行面，分别有正平面、，分别有正平面、水平面、侧平面。这类平面在某一投影

48、面上的投影符合第一章中所述的全水平面、侧平面。这类平面在某一投影面上的投影符合第一章中所述的全等性。等性。（2 2）一般位置平面）一般位置平面:空间位置空间位置:既不垂直又不平行任一投影面，与投影面处于倾斜状态，既不垂直又不平行任一投影面，与投影面处于倾斜状态，称为一般位置平面。这种平面在各投影面的投影符合第一章里所述的类似称为一般位置平面。这种平面在各投影面的投影符合第一章里所述的类似性。性。76 画法几何与阴影透视VWHPPH铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：a.a.abc abc积聚为一条线积聚为一条线b.b.a a b b c c、a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似

49、形c.c.abc abc与与OXOX、OYOY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 ABCacbababbaccc 投影的垂直面投影的垂直面（1 1）特殊位置平面）特殊位置平面77 画法几何与阴影透视VWH铅垂面迹线表示法铅垂面迹线表示法PHPPH78 画法几何与阴影透视VWHQQV正垂面正垂面 投影特性：投影特性：a.a.a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线 b.b.abcabc、a a b b c c ABCABC的类似形的类似形 c.c.a a b b c c 与与OXOX、OZOZ的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 ababbacccAcCabB79

50、画法几何与阴影透视VWH正垂面的迹线表示法正垂面的迹线表示法 QQVQV80 画法几何与阴影透视VWHSWS侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：a.a.a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线b.abcb.abc、a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似形c.c.a a b b c c 与与OZOZ、OYOY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 CabABcabbbaaccc81 画法几何与阴影透视侧垂面的迹线表示法侧垂面的迹线表示法VWHSHSZXOYSHY82 画法几何与阴影透视VWH水平面水平面投影特性：投影特性：a.a.a a b b c c、a a b