第八章方差分析与回归分析1课件.ppt

1、第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析单因素方差分析单因素方差分析回归分析的基本概念回归分析的基本概念一元线性回归模型的建立与检验一元线性回归模型的建立与检验方差分析的概念与基本思想方差分析的概念与基本思想消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345766494034683929455631492134404451657758四个行业之间的服务质量是否有显著差异？四个行业之间的服务质量是否有显著差异？一、一、方差分析的概念与基本思想 1.问题的提出问题的提出分析四个行业之间的服务质量是否有显

2、著差异作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等？均值相等均值不全相等服务质量没有没有显著差异服务质量有显著差异例题例题8.2 在饲料养鸡增肥研究中，某饲料研究所提出三种配方：A1以鱼粉为添加料，A2以槐树粉为添加料，A3以苜蓿粉添加料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机分为三组，每组用一种饲料喂养，60天后测其体重，获得数据如下表饲料A鸡重/gA11073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028A21107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001A31093 1029 1080 1021 1022 10

3、32 1029 1048比较三种饲料的增重效果是否一致利用样本比较三个总体均值是否相等 直观上看该问题可以用两个总体均值差异显著性检验解决，但细想想还是存在一定问题，因为这样的比较能增大犯错误的概率。为解决这类问题，英国统计学家R.A.Fisher于1924年提出了解决此类问题的通用方法-方差分析法。2.2.方差分析的概念方差分析的概念试验指标试验指标：试验结果。试验结果。可控因素可控因素：在影响试验结果的众多因素中，可人为控制在影响试验结果的众多因素中，可人为控制 的因素。的因素。单因素试验单因素试验：如果在一项试验中只有一个因素改变，其如果在一项试验中只有一个因素改变，其 它的可控因素不变

4、，则该类试验称为单因它的可控因素不变，则该类试验称为单因 素试验。素试验。水平水平可控因素所处的各种各种不同的状态。每个可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。水平又称为试验的一个处理。随机误差随机误差因素的同一水平因素的同一水平(总体总体)下，样本各观察值之下，样本各观察值之间的差异这种差异可以看成是随机因素的影响，称为间的差异这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误随机误差差 系统误差系统误差因素的不同水平因素的不同水平(不同总体不同总体)下，各观察值之下，各观察值之间的差异间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由这种差异可能是由于抽样的随机

5、性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为造成的，称为系统误差系统误差数据的误差用平方和数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差组内方差组内方差(within groups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组间方差组间方差(between groups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差1.若不同行业对投诉次数不同行业对投诉次数没有影响没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间

6、误差与组内误差组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近比值就会接近12.若不同行业对投诉次数有影响有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于之间的比值就会大于13.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响3.方差分析的思路方差分析的思路4.4.方差分析的基本思想方差分析的基本

7、思想 试验指标的变化可以用指标值的方差反映，导致指标值发生变化的原因有两方面：一是可控因素，二是不可控因素。方差分析就是将指标值的方差分解成组间方差与组内方差，然后依据概率比较组间方差与组内方差的大小关系，从而决定引起指标值的变化的主要原因。5.5.方差分析的基本假定方差分析的基本假定不同因素对试验指标值的影响作用是加性效应，即试验指标值的变化是各种因素所起作用的累加；试验指标服从正态分布；试验数据是随机的，并且可控因素不同水平的试验数据具有方差齐性。二：单因素方差分析的统计模型二：单因素方差分析的统计模型 1.1.单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构因素-水平试验数据和平均1A2

8、AaA11xjx112x1rx21x22xjx22rx1ax2axjx2arx1T2TaTax2x1xTx1111j,.ijraraiiijiijijijixAiTTTxxTxTxrar其中 是因素 第 水平下第 次重复试验结果 2.2.单因素方差分析的统计模型单因素方差分析的统计模型 在方差分析统计模型下，方差分析要解决的问题转化为下列假设检验问题：012112:0;:,aaHH 不全为零对试验指标影响明显。因素，说明；接受对试验指标影响不明显，说明因素接受AHAH1021,2,1,2,(0,),;ijijiijijiiijxxiajrNAiA试验数据 满足且相互独立其中 为总体平均，为因素

9、 的第 个水平 下，试验指标的主效应为随机因素对试验指标值的影响。三、单因素方差分析的原理三、单因素方差分析的原理 1.试验数据离差平方和分解21122111211()()()()arTijijarrAiiijiareijiijSSxxSSxxrxxSSxx总离差平方和组间离差平方和组内离差平方和离差平方和分解式离差平方和分解式11()()0ariijiijxxxxTAeSSSSSS11()()arijiiijxxxx22111()()aariijiiijAer xxxxSSSSAeSSASS其中反映因素 不同水平引起的试验指标值的变化；反映没有控制因素引起的试验指标值的变化。11112112

10、2()()()()arararijijijiijijiiixxxxxxxx211211()ijiararijijixxxx221111()()ararTijijjijiiixxSSxxxx222111111()ijararaeijiiijijiSSxxxTr2221111()ararTijijijijTSSxxxar2221111()araAiiijiTSSxxTrar00(1)(1,(1)(1)(1,(1)(1,(1)(1,(1);.Aea rSSFF aa raSSF aa rP FF aa rFF aa rHH所以有对于给定的小概率，存在使得故当时，拒绝反之，接受2.方差分析原理方差分析

11、原理02222(1)(1)eTHSSSSara r如果试验数据满足单因素方差分析的模型，且统计假设成立，记 为共同均值，则有2(1)AeaSSSS且与相互独立2ASS1(1)1(,).AeTTAeAAAeeeAAeefafa rfarfffSSMSfSSMSfMSFF ffMS引入记号，称为组间离差平方和自由度；，称为组内离差平方和自由度；，称为总离差平方和自由度；显然有，称为组间均方差；，称为组内均方差；又叫均方误。显然有记号及其含义记号及其含义在实际应用中，方差分析结果以方差分析表形式给出。单因素方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F F临界值或临界值或SigSig组

12、间组间SSAa-1SSA/(a-1)MSAMSe组内组内SSea(r-1)SSea(r-1)总和总和SSTar-10.05(,)Sig0.01(,)SigAeAeFFffFFff如果在检验水平下，或，就均值差异显著，用“”表示；如果在检验水平下，或，就均值差异极显著，用“”表示。例题例题8.2 在饲料养鸡增肥研究中，某饲料研究所提出三种配方：A1以鱼粉为添加料，A2以槐树粉为添加料，A3以苜蓿粉添加料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机分为三组，每组用一种饲料喂养，60天后测其体重，获数据如下表，试以此数据判定不同饲料是否有差异？饲料A鸡重/g-1000A1 73 9 60 1 2

13、 12 9 281943763610024A2107 92 -10 109 90 74 122 158534222560355A3 93 29 80 21 22 32 29 4835412531620984113350517791363iT2iT21rijjx果无差异。三种饲料对鸡的增肥效解：建立统计假设:0H21)18(32132312496.2821508.966004.3787608.9660241133850517704.378762411339136322eATATeATfffSSSSSSSSSS计算有关量方差分析表方差来源平方和自由度均方F临界值临界值组间9660.0822830.

14、043.59*3.47组内28215.96211343.62总和37876.0423 四、单因素方差分析模型参数的估计四、单因素方差分析模型参数的估计 当方差分析结果为否定原假设时，就需要估计模型的有关参数，下面就讨论方差分析模型参数的估计。2211111,2,1,2,(0,),;,111ijiijijiiijiarrarijiijijijjijxiajrNAiAxxxarrar 单因素方差分析的模型为且相互独立其中 为总以平均效应，为因素 的第 个水平 下，试验指标的均值为随机因素对试验指标值的影响。需要估计的参数有。不难证明这些参数的极大似然估计量为：221111()arijeijxSSa

15、rar五、多重比较法拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等哪两个平均数之间相等？哪两个平均数之间不等？需要进一步作多重比较。多重比较。方差分析结果 不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足，分析终止。常用多重比较法east significant difference，简称，简称LSD法法(1)2ijijxxexxLSDta rSMSSrq法法(又称又称SNK(student-Newman-Keuls)检验法检验法)q测验方法是将r个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSR值的。(,)/eEEeLSRqa f SSMSra其中 表

16、示与比较的两个均值之间的跨度。,(,1,2,),ijijijLSDx x i ja ijxxLSDi jxxLSDi j以为两均值比较的最小显著差。如果表示两个样本均值。当时，就认为第水平间均值差异显著；当时，就认为第水平间均值差异不显著。,(,1,2,),ijijijLSRx xi ja ijxxLSRi jxxLSRi j以为两均值比较的最小显著差。如果表示两个样本均值。当时，就认为第水平间均值差异显著；当时，就认为第水平间均值差异不显著。Tukey法法(又称又称honestly significant difference，简称，简称HSD)(,(1)2ijijxxexxHSDqa a

17、rSMSSr,(,1,2,),ijijijHSDx x i ja ijxxHSDi jxxHSDi j以为两均值比较的最小显著差。如果表示两个样本均值。当时，就认为第水平间均值差异显著；当时，就认为第水平间均值差异不显著。Bonferroni法法Bonferroni法法是根据所比较的两个处理平均数的个数k，将检验水平 缩小k倍做为真实比较水平 ，确定是几个平均数间的极差分别确定最小显著差数LSD值的。(1)2ijijxxexxLSDta rSMSSr。水平间均值差异不显著时，就认为第当水平间均值差异显著；时，就认为第当表示两个样本均值。如果著差。为两均值比较的最小显以jiLSDxxjiLSDx

18、xjirjixxLSDjijiji,),2,1,(,多重比较法选择1.试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法LSDa法；2.根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。参考以下观点：根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，LSD法最低，HSD法次之，SNK法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用SNK法，一般试验可采用HSD法。当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好；但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保守。例题例题8.3试以LSD法测验各种药剂处理的苗

19、高平均数之间的差异显著性。2 8.172.02()4ijxxScmr(m-1)=12时，t0.05(12)=2.179,t0.01(12)=3.055故 LSD0.05=2.1792.02=4.40 LSD0.01=3.0552.02=6.17处理苗高平均数差异显著性0.050.050.010.01D29aa B23ba bA18cb cC14cc 双因素方差分析背景双因素方差分析背景 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型若把品种看成影响产量的因素A，肥料则是影响产量的因素B。对因素A、因素B和二者互作同时进行分析，就属于双因素方差分析。在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的

20、影响。如研究小麦产量问题，除了关心品种对产量的作用之外，我们还想了解化肥的使用对产量的作用，有时甚至要考虑品种与肥料的相互促进作用。如果不同品种、不同施肥量对产量作用存在显著的差异，就需要分析原因。选择合适的品种，决定恰当的施肥量，以达到增产的目的。双因素方差分析双因素方差分析的类型 无交互作用的双无交互作用的双因素方差分析因素方差分析 有交互作用的双有交互作用的双因素方差分析因素方差分析 假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系 假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应(交互效应)交互作用的概念交互作用的概念有人在研究油菜产量受氮肥与磷肥影响问题时，获得如下试验数据。显然

21、512-470-2-10=30既不是单纯氮肥引起的产量变化，也不是单纯磷肥引起的产量变化，这就是交互作用。氮肥 磷肥06047047215480512不考虑交互作用的双因素方差分析不考虑交互作用的双因素方差分析 因素B 数据因素A 双因素不考虑交互作用方差分析的数据结构双因素不考虑交互作用方差分析的数据结构 双因素不考虑互作方差分析试验数据具有下列结构模式。1B2BbB1AaA2AjTjx 1T11x ix iT21x12xbx1 1x axbx2 2T 2x2 T1 T1ax2ax aT x2 x1 x T22xabxbTabxabTxTTxTaTxxTbTxxTjBiAxbjjaiiaib

22、jijjjaiijjiibjijiij 111111如下：验结果，其它记号含义次水平交叉位置的试第水平与因素第是因素其中 双因素不考虑交互作用方差分析的统计模型双因素不考虑交互作用方差分析的统计模型的影响。随机因素对试验指标值为用个水平对试验指标的作的第为因素标的作用个水平对试验指的第为因素为总以平均效应，其中且相互独立满足试验数据ijjiijijjiijijjBiAbjaiNxx;,2,1,2,1),0(2该形式称为双因素不考虑交互作用方差分析的统计模型。在方差分析统计模型下，方差分析要解决的问题转化为下列假设检验问题：不全为零不全为零bbaaHHHH,:;0:,:;0:2121212021

23、112110指标影响明显对试验，说明因素；接受对试验指标影响不明显，说明因素接受对试验指标影响明显；说明因素，；接受对试验指标影响不明显，说明因素接受BHBHAHAH21201110 双因素不考虑交互作用方差分析原理双因素不考虑交互作用方差分析原理试验数据离差平方和分解 aibjijTxxSS112)(总离差平方和 aibjjiijebjjaibjjBaiiaibjiAxxxxSSxxaxxSSBxxbxxSSA1121211212112)()()()()(组内离差平方和离差平方和因素离差平方和因素的试验指标值的变化。反映没有控制因素引起标值的变化；不同水平引起的试验指反映因素标值的变化；不同

24、水平引起的试验指反映因素其中易证明有eBAeBATSSBSSASSSSSSSSSS)1)(1(,1(),1)(1(,1()1)(1(,1()1()1)(1(,1()1(,)1)(1(,)1()1()1(,2220102222222010babFbaaFbabFSSSSaFbaaFSSSSbFSSSSSSCochranbaSSHHbSSaSSabSSHHeBBeAAeBAeBAT，存在对于给定的相互独立。所以有与定理得解式和于是，由离差平方和分是否成立，总有无论统计假设为共同均值，于是有成立，则且统计假设分析的模型，素不考虑交互作用方差如果试验数据满足双因.;)1)(1(,1(;)1)(1(,1

25、()1)(1(,1()1)(1(,1(20201010HHbabFFHHbaaFFbabFFPbaaFFPBABA反之，接受时，拒绝故当反之，接受时，拒绝故当使得；又叫均方误。，称为随机误差均方差方差；均称为因素均方差；称为因素显然有和自由度。称为随机误差离差平方度；称为总离差平方和自由离差平方和自由度；称为因素引入记号eeeBBBAAAeBATeTBAfSSMSBfSSMSAfSSMSffffbafabfBAbfaf)1)(1(1,1,1),(),(eBeBBeAeAAffFMSMSFffFMSMSF显然有双因素不考虑交互作用方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F临界值

26、临界值或或Sig因素因素ASSAa-1SSA/(r-1)MSAMSeMSBMSe因素因素B SSBb-1SSB/(b-1)误差误差SSe(a-1)(b-1)SSe(a-1)(m-1)总和总和SSTab-1例例8.4 对于四种不同种源的油松种子，在三种不同土质的土壤上进行育苗试验，两年后测定苗木高度，所得试验数据如表所示。假定试验数据满足正态、等方差条件试在检验水平0.05下，分析种源、土质对油松苗木高度的影响？因素B 数据因素A因素BB1B2B3因素AA144534714448.0A237443511638.7A336473311638.7A445483112441.3162192146500

27、40.548.036.541.7 iT ixjTjx影响种源对油松苗高无显著影响；土质对油松苗高无显著解：建立统计假设:2010HH6,2,3,113.877.2727.1747.5347.2723.208330.2110617.1743.208330.2100817.5343.208330.213683,4),(),(,2122122112 eBATBATebjjBaiiAaibjijTeBeABAffffSSSSSSSSabTTaSSabTTbSSabTxSSbaffFffFFF，由题设知，确定计算 双因素方差分析的模型双因素方差分析的模型.,2,1;,2,1;,2,1)(rkbjaiXi

28、jkijjiijk。不可测定表示随机效应的交互效应，与表示因素个水平处理效应，的第表示因素应，个水平处理效第表示因素表示总体平均数，式中)()(ijkijjiBAjBiA著影响。即种源对油松苗高有显拒绝显著影响；，即土质对油松苗高无所以，接受:15.5)6,2(,76.4)6,3(4.96/3.873/7.272/0.46/3.873/7.174/201005.005.0HHFFfSSfSSFfSSfSSFeeBBBeeAAA 数据结构A A因素因素B B因素因素总和总和T Ti.i.平均平均B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x111111x x121121x x1b11b1

29、T T1.1.x x112112x x122122x x1b21b2x x11r11rx x12r12rx x1br1brT Tij.ij.T T11.11.T T12.12.T T1b.1b.A Aa ay ya11a11x xa21a21x xab1ab1T Ta.a.x xa12a12x xa22a22x xab2ab2x xa1ra1rx xa2ra2rx xabrabrT Tij.ij.T Ta1.a1.T Ta2.a2.T Tab.ab.T T.j.j.T T.1.1.T T.2.2.T T.b.b.T T.平均平均 1x ax ix1xjx2xbx x 离差平方和的分解离差平方和

30、的分解eBABAaibjrkijijkaibjjiijbjjaiiijijkjaibjrkijiijaibjrkijkTSSSSSSSSXXXXXXrXXarXXbrXXXXXXXXXXXXSS 111212121221111112)()()()()()()（eBABATaibjrkijijkeaibjjiijBAbjjBaiiAaibjrkijkTSSSSSSSSSSXXSSXXXXrSSXXarSSXXbrSSXXSS 11121212121112)()()()（离差平方和表达式eeeBABABABBBAAAeBABATeeBABABBAATTfSSMSfSSMSfSSMSfSSMSfff

31、ffrabfSSbafSSbfSSafSSabrfSS均方误离差平方和相应自由度)1()1)(1(111),(),(),(,0:;,0:0:;,2,1,0:0:;,2,1,0:030301,2,1,2,111,2,1,2,10312021101EBAeBABAEBeBBEAeAAaibjijaibjijjjiiffFMSMSFffFMSMSFffFMSMSFHHHHHHbjHHaiH成立，则有如果至少存在一个至少存在一个至少存在一个验双因素方差分析模型检.),(.),(.),(),(),(),(030201HffFFHffFFHffFFffFffFffFEBABAEBBEAAEBAEBEA，否

32、定如果，否定如果，否定如果，查表得对于小概率 XXXXXXXXMSXjiijijjjiie)(,2对应的参数估计为双因素方差分析模型，例例8.5 用3种深翻，4种施肥方案组成12种育苗作业方式试验，所得试验数据如表所示。假定试验数据满足正态、等方差条件试在检验水平0.05下，分析深翻、施肥及其它们之间的交互作用对苗木高度的影响？施肥A深翻BA1A2A3A3B152 43 3948 37 2934 42 3645 58 42B241 47 5350 41 3036 39 4444 46 60B339 38 4236 48 4737 40 32 43 56 41；深翻对苗高无显著影响；施肥对油高无

33、显著影响解：建立统计假设:2010HH油松苗高无显著影响。深翻与施肥交互作用对:30H00.1170889.1191222.48694.65450916.654981194.551694.65450888.660011306.1888694.6545067339,3,3,4),(),(),(,211221221221112 BABATeBAaibjijBAbjjBaiiAaibjrkijkTeBAeBeABABASSSSSSSSSSSSSSabrTTrSSabrTTaSSabrTTbrSSabrTxSSrbaffFffFffFFFF由题设知，确定计算51.2)24,6(,41.3)24,2(,

34、01.3)24,3(406.0/,495.0/,769.3/24,6,2,3,3505.005.005.0FFFfSSfSSFfSSfSSFfSSfSSFfffffeeBABABAeeBBBeeAAAeBABAT影响。无显著深翻交互作用对苗高均影响，而深翻、施肥与，即施肥对苗高有显著，而接受所以，拒绝由于03021005.005.005.0,)24,6(),24,2(),24,3(HHHFFFFFFBABA水平。水平为第显著，这说明施肥较优显著其它水平差异均不水平差异水平与第的第多重比较法知仅有施肥经用交友水平。进行多重比较，以选出于是，需对施肥进一步3 43SNK 在现实问题中，处于同一个过

35、程中的一些变量，往往是相互依赖和相互制约的，它们之间的相互关系大致可分为两种：相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关，但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至少有一个是随机变量。他们之间相互依赖但又不能有一个确定另一个。因此，相关关系的分析根据研究的目的不同分为相关分析(平行分析)和回归分析(因果分析)。相关关系与回归关系相关关系与回归关系（1）确定性关系函数关系；（2）非确定性关系）非确定性关系相关关系。相关关系。相关关系举例相关关系举例 例如：在气候、土壤、水利、种子和耕作技术等条件基本相同时，某农作物的亩产量Y与施肥量X之间有一定的关

36、系，但施肥量相同，亩产量却不一定相同。亩产量是一个随机变量。又如：人的身高Y与人的腿长X之间具有一定的依赖关系，一般来说，身高越高，其腿越长，但身高相同的两个人的腿长不一定相等；同样腿长一样的两个人的身高也未必一样，X与Y是一个随机变量。农作物的亩产量与施肥量、身高与腿长之间的这种关系称为相关关系。在这些变量中，施肥量、年龄是可控变量，亩产量、血压是不可控变量。一般在讨论相关关系问题中，可控变量称为自变量，不可控变量称为因变量。相关关系的检验相关关系的检验在概率论中，我们已经学过两个随机变量线性相关性强弱可利用相关系数来衡量。在已知随机变量二阶矩的情况下，两个随机变量间的相关系数为)()(),

37、(YDXDyxCovXY样本相关系数niiniiniiinnyyxxyyxxryxyxyxnYXDef121212211)()()(),(,),(),(),(样本相关系数。，则下式规定的量称为次独立观测结果为的设随机向量)2()2()2()2()2/()1()2()2()2/()1(0:),(22222220ntnntrPntnrrPntntnrrHYXrXYXY使得下式成立：，可找到对于给定小概率有成立下，假设服从正态分布，在统计果的矩估计量。如是相关系数不难证明样本相关系数系不明显。线性相关关与，说明随机变量，则接受之，当样本实现使得线性相关关系明显；反与机变量，说明随，则否定所以，当样本

38、实现使得于是有引入记号YXHnrrYXHnrrnrrPntnntnr00222)2()2()2(.)2()2()2()2(利用样本相关系数检验线性相关性，做判定。与比较，查对于给定的计算样本相关系数)2(.3);2(.2;.1nrrnrr例例8.58.5 某项研究需了解水稻品种播种至齐穗的天数x与播种至齐穗的总积温y之间是否有关系，实测如下数据，试以此数据检验x与y的线性相关性强弱。xi70.067.055.052.051.052.051.060.064.0yi1616.31610.91440.01440.71423.31471.31421.81547.11533.0线性相关显著。与，说明，由

39、于查，从而样本相关系数为解：计算样本相关系数YXnrrrryyxxyyxxiiiiiii)2(798.0)29(9594.007.4906800.44420.447820.4478)(70.49068)(00.444)(01.091912912每月家庭可每月家庭可支配收入支配收入X X800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500每月消费支出Y561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321627 814 92

40、4 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2345 2860 某社区家庭每月可支配收入和消费统计表某社区家庭每月可支配收入和消费统计表引例引例8.6回归分析回归分析回归关系与回归分析回归关系回归关系在相关关系中，如果关心的是容易测定或控制变量X对变量Y的决定作用大小，将X看成一个普通变量，这时变量X与Y之间就成为回归关系。回归模型回归模型如果普通变量x与随机变量Y具有回归关系，则Y除过受变量x的作用以外，

41、还受到控制不严格和未知因素的作用。所以，x与Y应满足关系式)(xgY。随机误差，一般的干扰作用。称为意外因素对随机变量反映了数，回归函决定作用的大小，称为对随机变量反映了变量的回归模型。其中对普通变量该式称为随机变量2)(,0)()(DEYxYxxgxY对于回归模型，显然有2)(),()(YDxgxYE的回归方程。对普通变量，称为随机变量令xYxgy)(Yx回归方程反映了因变量回归方程反映了因变量 随自变量随自变量 的变化而变化的变化而变化的平的平均变化情况均变化情况。xy()fy x1x2x3x()E Y x下图展示：观地用之间的回归关系，可直对普通变量随机变量xY回归模型分类回归模型分类;

42、()()xxkkg xg x如果 是一个变量，则称回归模型为如果 是 维向量，则称回归模型为如果是变量的线性函数，则称回归模型为；如果是变量的非线性一元回归模型元回归模型。线性函数，则称回归回归模型曲线回模型为归模型。回归分析回归分析研究一个随机变量与一个或几个可控变量之间回归关系,从而找出回归关系的模型，用于预测、优化和控制，这种统计方法称为回归分析回归分析。回归分析主要解决三个问题：提供建立具有回归关系的变量之间的数学关系式(称为经验公式)的一般方法；判别所建立的经验公式是否有效，并从影响随机变量的诸变量中判别哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著；利用所得到的经验公式进行预测和控制。一元线

43、性回归一元线性回归模型一元线性回归模型xYYxxY设普通变量 与随机变量 共处同一系统中，的取值随的变化而变化，但 不能唯一确定 的取值，它们满足下列关系式，并称其为线归一元性回模型：xY10201(0,)N其中，为未知常数，称为；为服从的随机变量，称为随机误差。归数回系回归模型，显然有：，称其为回归方程。由令xy10),(21010 xNxY一元线性经验回归方程及其建立一元线性经验回归方程及其建立各对象观测的样本：中随机抽取性回归模型。从该系统满足一元线与随机变量通变量设共处同一系统中的普nYx),(,),(,),(),(2211nniiyxyxyxyx为经验回归系数。其为经验回归方程，称。

44、称的估计式就可以得到回归方程，那么，的估计回归系数如果能由样本出发建立1010101010,xyxy。值影响。以后将简其为以外因素对变量反映变量称为剩余离差平方和，其中QYxxyQQniii12101010),(10)(),(),(minarg),(10最小二乘法最小二乘法(The least square method)yxoyxo01()iiyxixxy,iix y0112()0niiiyx 1Q 201011(,)()niiiQyx 0Q 0112()0niiiiyx x 011011()0()0niiiniiiiyxyx x 011()niiiyx 011110nnniiiiiyx01

45、110nniiiiynx1011nniiiiyxn101111nniiiiyxnn01yx011()0niiiyx 2011110nnni iiiiiiy xxx011()niiiiyx x 2111110nnni iiiiiiy xyxxx21111110nnnni iiiiiiiiy xyxxxx21111110nnnni iiiiiiiiy xyxxxx2111111nnnni iiiiiiiiy xyxxxx111211nni iiiinniiiiy xyxxxx 11221niiiniix ynxyxnx 010101112()02()0niiiniiiiQyxQyx x 11122

46、21101()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxyxxxnxyx 化简求解得niiniiynyxnx111,1其中 1niiiiix yx yxyxy 1niiix ynxy 1111nnnniiiiiiiix yx yxyxy1()()niiixxyy =112101()()()niiiniixxyyxxyx22111(),(),()()nnnxxiyyixyiiiiiLxxLyyLxxyy令101xyxxLLyx 某企业对车间某企业对车间9名学徒工进行调查，得到学徒工与每天产量名学徒工进行调查，得到学徒工与每天产量情况如下表，要求建立以日产量为因变量的回归方程。情况如下

47、表，要求建立以日产量为因变量的回归方程。引例引例8.7回归分析回归分析编号123456789学徒期（年）0.5111.52222.52.5日产量（件）5080100130150170180220240建立经验回归方程 01yx确定回归系数 和 ：01编号编号123456789x0.5111.52222.52.515y50801001301501701802202401320 x20.25112.254446.256.2529xy25801001953003403605506002550所以，所求的经验回归方程为 87.50.83yx0113201587.50.8399yx11221niiini

48、ix ynxyxnx 2151320255093509987.54152999 一元线性回归有关检验一元线性回归有关检验离差平和分解离差平和分解21()niiUyy回归离差平方和21()niiiQyy剩余离差平方和yyLUQ21()nyyiiLyy总离差平方和ixiyiyyiyyiiyy01 yxyxy离差平方和的分解离差平方和的分解 22iiiiyyyyyy 2211nniiiiiiyyyyyy221112nnniiiiiiiiiyyyyyyyy2211nniiiiiyyyy。，其中相应自由度分解为：式为：从而，离差平方和分解2,1,1nffnffffQULQUyyQUyyyy iiiiyy

49、yyyy2221111()()nniixxiiUyyyxxyL2211122111()()2nniiiiiiyyxxxyyyxxyyQyyyyxxLLLLLLUyyLUQ回归显著性检验回归显著性检验).2(/)1(/,.0:;0:222201110nQUQUHYxHHYx，相互独立，且与明成立条件下，可以证满足线性回归模型，在变量验统计假设线性回归关系就是要检是否客观存在与随机变量量共处同一系统中普通变F检验检验.)2,1()2,1()2/(00HnFFnFnQUFH，拒绝下，如果于是，在检验水平成立，则有：如果T检验检验.)2()2()2(/02/10HntTntLnQTHxx，拒绝下，如果

50、于是，在检验水平成立，则有：如果相关系数相关系数检验检验yyxxyyxxxxxyyyxxxyLLLLLLLLLr1，显然有：由样本相关系数定义式。，否定判定：如果；查相关系数检验临界值；计算样本相关系数具体做法如下：系数检验统计假设所以，可以用样本相关010)2()3()2()2()1(.0:HnrrnrrH编号123456789脂肪含量%15.417.518.920.021.022.815.817.819.1蛋白质含量%44.039.241.838.937.438.144.640.739.8试求出 与 的关系，并判断是否有统计学意义。xy例题例题8.7 为了研究大豆脂肪含量 和蛋白质含量 的