第四节重积分的应用课件.ppt

1、第四节、立体体积、立体体积 一、曲面的面积一、曲面的面积 二、物体的质心二、物体的质心 *三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量 *四、物体的引力四、物体的引力 重积分的应用 第十章 下页1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法(元素法)建立积分式 分布在有界闭区域上的整体量 3.解题要点:画出积分域,选择坐标系,确定积分序,定出积分限2.用重积分解决问题的方法:下页重积分应用概述重积分应用概述、立体体积、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVd

2、dd下页1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.例例1.求曲面分析分析:1:221yxzS222:yxzS1M第一步:求切平面 方程;第二步:求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D;第三步:求体积V.zO(示意图)下页1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.解解:曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xOy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx 00cos,sinxxryyr

3、令2(记所围域为D),(000zyx在点Drrrdd2例例1.求曲面 rr dd10320下页1MzOOxyza2例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的(中部)体积.解解:在球面坐标系下立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M下页思考思考:所围立体的(侧部)体积怎么求？P163:例4一、曲面的面积一、曲面的面积xyzSO设曲面为:(,),(,),S zf x yx yD将区域 D 进行划分,下页一般小区域,设 d 为并用d 表示其面积.以

4、d 的边界为准线作母线平行于 z轴的柱面,这柱面在 S 上截下一小片曲面A,这柱面同时也在点则曲面面积 A 可看成这些小切平面的面积 d A无限小片平面 dA.(,(,)x y f x y处的切平面上截下一显然,dAA.偏导连续.积累而成的.(,)x ydAndnMAddk设曲面为:(,),(,),S zf x yx yD因小切平面 dA 与 d 的夹角恰好为 Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)故下页偏导连续.小切平面 dA 的法向量与 z 轴的夹角 ,d(,1)xyAff的法向量应为xyzSO(,)x ydAnd故有

5、曲面面积公式:d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若曲面方程为zyzxyxAdd)()(122(,)(,),yzxg y zy zD则有zyD即下页xzxyzyAdd)()(122若曲面方程为(,)(,),zxyh z xz xD若曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd下页例例3.计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解:因所截曲面在 xOy 面上投影为,:222RyxD故yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32

6、232R出的面积 A.zxyO下页曲面截图动画曲面截图动画Rzo222xyRyx曲面截图动画曲面截图动画:返回-R-RRzxy例例4.计算半径为 a 的球的表面积.设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24 asinada解法解法1 利用直角坐标方程.(P167 例1,略)*解法解法2 利用球面坐标方程.下页Oaxyzdddsina提示:会出现反常二重积分.二、物体的质心二、物体的质心设空间有n个质点,(,)kkkxyz其质量分别(1,2,)kmkn由力学知,该质点系的质心坐标11,nkkknkkx mxm11,nkkknkky mymnkknkkkmmzz

7、11设物体占有空间区域 ,),(zyx有连续密度函数心公式,分别位于为为即则采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质下页将 分成 n 小块,),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径0,(,)d d d(,)d d dxx y zxyzxx y zxyz系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点下页同理可得(,)d d d(,)d d dyx y zxyzyx y zxyz(,)d d d(,)d d dzx y zxyzzx y zxyz,),(常数时当zyx则得形心

8、坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd下页若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为:MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩下页4例例5.求位于两圆2sin4sin和的质心.2D解解:利用对称性可知0 x而DyxyAydd121sind d3D 4sin22sinddsin956042956420562sind9 37

9、之间均匀薄片0dsin3143212OyxC下页例例6.计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所围成的平面域.解解:2223)2()1(yx其形心坐标为面积为9ADyxxIdd5923)1(5ADyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35下页作业作业*三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数.),(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdOxyz对 z 轴的转动惯量为 因质

10、点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.下页类似可得:zyxzyxIxddd),(zyxzyxIyddd),(zyxzyxIOddd),()(22zy)(22zx)(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量下页如果物体是平面薄片,面密度为(,)(,),x yx yDDxyxyxIdd),(DOyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2x)(22yx DyyxyxIdd),(下页2300sindda 例例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd232sin

11、ddD 441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa下页DxyxyxIdd),(2yl)sinsincossin(222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为用球面坐标 Ozxy转动惯量.下页222000()()(),rxxyyzzG 为引力常数*四、物体的引力四、物体的引力设物体占有空间区域 ,(,)x y z连续,物体对位于点P0(x0,

12、y0,z0)处的单位质量质点的引力为03(,)()dx y z xxGvr03(,)()ddyx y zyyFGvr03(,)()ddzx y z zzFGvr其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为(,)xyzFF F F其中rzxvdyFd0PO下页02(,)ddxx y zvxxFGrrvrxxzyxGFxd)(),(30vryyzyxGFyd)(),(30vrzzzyxGFzd)(),(30若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,),(yx03(,)(0)d.zDx yzFGr因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分,密度函数改为 即可.其中202020)()(

13、)(zzyyxxr下页例如aaR1122xyzRO例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力zFddGa,222Ryx)0(),0,0(0aaMzDFGa Ga aG2处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。,0z(0,0,)zFF23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr下页RxyzO例例10.求半径为R的均匀球2222Rzyx对位于)(),0,0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(222322200dd()Rzr rrz

14、a点zDazyxyx23222)(dd0MazD下页RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G21()RRzaa222daazR2MGa R2343RM 为球的质量下页作业作业(习题10-4,P175)1;2;5;11(1),(2);*13自学自学 P168:例2结束题题1 截图动画截图动画axyzoD返回题题1 截图动画截图动画(仅以上半球面上半球面为例)2222xyza22xyax)(th(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()()(,)xyzh th t设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体

15、积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)备用题备用题yxzO下页)()(222)(thyxthz侧面方程:yxzO提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则)(:221220thyxD22212:()()zDxyhth t zVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx)(2thrrrthd16)(2202)(th)(43thyxdd(用极坐标)(12132th下页)(12132thS 3(4,)Vht由题意知StV9.0dd1

16、013ddth130)0(h1301013)(tth令,0)(th得(h)100t因此高度为130cm 的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.结束Vzyxzzddd例例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为,30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴上,0 xy采用柱坐标,则炉壁方程为229(3),rzzzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重,求它的质心.Oxzh若炉不计炉体的其坐标为下页hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0d ddz x y z)51233(923hhh225409043060hhhhhz)41229(923hhhVOxzh下页