1.2.2空间两条直线的位置关系.ppt

1、1 温故知新温故知新1、如何确定一个平面？、如何确定一个平面？经过不共线三点经过不共线三点经过一条直线和直线外的一点经过一条直线和直线外的一点经过两条相交直线经过两条相交直线经过两条平行直线经过两条平行直线有且只有有且只有一个平面一个平面课题引入：平面内两条直线的位置关系课题引入：平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）aboab2：平面内不平行的两直线必平面内不平行的两直线必 _1：同一平面内的两条直线有几种位置关系：同一平面内的两条直线有几种位置关系?此结论在空间中是否仍然成立呢？此结论在空间中是否仍然成立呢？两路相交

2、两路相交立交桥立交桥既不平行，又不相交既不平行，又不相交立交桥中立交桥中,两条路线两条路线AB,CD异面直线异面直线ABCD1.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。C1D1C1B1ADBAab1.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行。答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行。abab思

3、考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？异面直线的画法异面直线的画法画异面直线时画异面直线时,为了为了体现它们不共面的特点。体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托常借助一个或两个平面来衬托.aabaAbb(1)(3)(2)异面直线 按公共点个数分按公共点个数分有一个公共点：有一个公共点：无无 公公 共共 点点:平行直线异面直线相交直线 按是否共面分按是否共面分同在一个平面内同在一个平面内 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:相交直线平行直线两直线异面的判别两直线异面的判别:方法一：方法一：两条直线两条直线 不同在任何一个平面内不同

4、在任何一个平面内.方法二：方法二：两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不平行.2.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系（相交直线、平行直线、异面直线（相交直线、平行直线、异面直线）1.下图长方体中下图长方体中（1）说出以下各对线段所在直线的位置关系）说出以下各对线段所在直线的位置关系?AB和和BB是是_直线直线 AB和和AB是是_直线直线 BD和和DC是是_直线直线（2）与棱）与棱 AB 所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条。条。（3）与）与AB 所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条。条。合作探究合作探究46相交相交平行平行异面异面EDAHG(C)F(B)合作探

5、究合作探究2.如图是一个正方体的展开图如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体如果将它还原为正方体,那么那么 AB,CD,EF,GH 这四条线这四条线段所在直线是异面直线的有段所在直线是异面直线的有_ 对对?FHCBEDGAEF与与HG、AB与与HG、AB与与CD3在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相那么这两条直线互相_.思考：在空间这一规律是否还成立呢思考：在空间这一规律是否还成立呢?3.平行公理平行公理平行平行即：在平面内，即：在平面内，若若 a/b，c/b，则则_ a/cbac观察观察1:图中，长方体图中，长方体

6、ABCD-EFGH中，中，BFAE,DH AE,那么那么BF与与DH平行吗平行吗？GFHEBCDA在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相那么这两条直线互相_.3.平行公理平行公理思考：在空间这一规律是否还成立呢思考：在空间这一规律是否还成立呢?平行平行在空间中在空间中依然成立依然成立公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行直线互相平行平行线的传递性平行线的传递性已知已知a，b，c是三条直线，是三条直线，a b，b c，则则_.baca cabced观察观察2:将一张纸如图进行折叠将一张纸

7、如图进行折叠,则各折痕及边则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？推广：在推广：在空间空间平行于一条已知直线的平行于一条已知直线的所有直线所有直线都都互相互相平行平行（ab c d e ）例例1 已知空间四边形已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别分别是是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形的中点。求证：四边形EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。评析：评析：EH是ABD的中位线 EH BD且EH=BD同理，FG BD且FG=BDEH FG且EH=FGEFGH是一个平行四边形证明：连结BD2121把所要解的把所要解的空间几何空间几何问题转化为问题转化为平面

8、几何平面几何的问题的问题解立体几何时解立体几何时最主要、最常用最主要、最常用的一种方法的一种方法。AB DEFGHC若再加上条件若再加上条件AC=BD，那么四边形那么四边形EFGH是是什么图形什么图形 例例1 已知空间四边形已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别分别是是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形的中点。求证：四边形EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。EH是ABD的中位线 EH BD且EH=BD同理，FG BD且FG=BDEH FG且EH=FGEFGH是一个平行四边形证明：连结BD,2121AB DEFGHCEF是是ABC的中位线的中位线EF AC且且EF=ACAC=

9、BD EH=EF四边形四边形EFGH是一个菱形是一个菱形21连结连结AC若再加上条件若再加上条件AC=BD，那么四边形那么四边形EFGH是是什么图形？什么图形？AC=AC AA BB AA=BB 四边形四边形AABB为平行四边形为平行四边形 AB=AB 同理，同理，BC=BC 在在ABC与与ABC中，中，AB=AB BC=BC AA=CC ABC ABC 证明：证明：AA BB BB CC AA=BB BB=CC AA CC AA=CC 四边形四边形AACC为平行四边形为平行四边形.:,/,/,1CBAABCCCBBCCBBBBAABBAACCBBAA求证不共面，且：如图，已知练习.,是一个梯

10、形证明四边形分别是两条棱的中点，点练习：如图正方体中，BDEFFE.21/21/是梯形四边形且且的中点，分别为、是平行四边形，四边形，且在正方体中，证明：连接BDEFBDEFBDEFDBEFDBEFCBDCFEDBBDDBBDDDBBDDBBDDBBDBD 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考14.等角定等角定理理 如图如图,四棱柱四棱柱ABCD-ABCD的底面是平行四边形，的底面是平行四边形，ADC与与ADC,ADC与与BAD的两边分别对应的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何平行，这两组角的大小关系如何

11、?思考思考2 2BADCABDCBADCABCD等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.21-CMBBMCMMBBDAADMMDCBAABCD）（为平行四边形；）四边形（的中点，求证：和棱棱分别是、中，练习：如图，在正方体.,/,/,/1为平行四边形四边形又的中点、分别为、中，在正方体）证明：（MMBBBBMMBBMMBBAABBAAAAMMAAMMDAADMMAADD.21-CMBBMCMMBBDAADMMDCBAABCD）（为平行四边形；）四边形（的中点，求证：和棱棱分别是、中，练习：如图，在正方体./,/12CMBBMCCMBBMCCMMCMMCCBM

12、MBMMBB都是锐角，所以和由平面几何可得，所以边形为平行四同理可得，四边形，为平行四边形，所以）得四边形）证明：由（5.5.知识小结知识小结2、空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：相交直线 平行直线 异面直线1、异面直线的定义异面直线的定义:不同在 任何 一个平面内的 两条直线叫做异面直线。3、公理（平行公理）：公理（平行公理）：在空间平行于同一条直线的 两条直线互相平行4、等角定理、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相等或互补.ab在同一平面内两条相交直线形成四个角，其中不大于90的角称为它们的夹角.思考：在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a

13、b平面内两条相交直线空间中两条异面直线5.异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作作直线直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角bbaa/,/a babb aOa 在空间在空间,如图所示如图所示,正正方体方体ABCDEFGH中中,异面直线异面直线AB与与HF的错的错开程度可以怎样来刻画开程度可以怎样来刻画呢呢?ABGFHEDC 我们规定两条平行直线的夹角为我们规定两条平行直线的夹角为0 0，那么两，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？条异面直线所成的角

14、的取值范围是什么？900 如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两，那么这两条直线垂直条直线垂直.探究ab记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面就说这两条异面直线互相垂直直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO3、特例：、特例：求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。

15、面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角5、求异面直线所成的角的基本法则：、求异面直线所成的角的基本法则：作平行线，构三角形作平行线，构三角形异面直线所成的角探究（1 1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱所在中，有没有两条棱所在 的直线是相互垂直的异面直线？的直线是相互垂直的异面直线？DCBAABCD（2 2）如果两条平行直线中的一条）如果两条平行直线中的一条 与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也 与这条直线垂直？与这条直线垂直？（3 3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如

16、：,BBAD与BBDA与等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，如上图的长方体中不一定，如上图的长方体中直线直线ABAB与与BCBC相交，相交，如图，已知正方体ABCDABCD 中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA 和CC 的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可 知，与直线 成异面直 线的有直线BA,B C AD CC DD DC D C ABCDABCD例例 3如图，已知正方体ABCDABCD 中。（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA 和CC 的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA

17、 垂直？解：（2）由 可知，等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450。/BBCCBBABACC,AB BC CD DA A BB C C D D A (3)直线与直线 都垂直.AACCBA例例3BCDABCDA 已知长方体已知长方体ABCD-ABCD中中,AB=,AD=,AA=2 (1)求求BC 和和AC 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AA和和BC 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)BCBC ACB（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtACB中，求得中，求得ACB=45o(2)AABBBBC（或其补角）为所求（或其补角）为所求,Rt

18、BBC中，求得中，求得BBC=60o课堂练习课堂练习2ABCBDADC32322不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系小结小结公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角