5.1.1-任意角课件下载.pptx

1、5一二三一、任意角1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0360.(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半

2、,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.一二三2.填空(1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记成“”;2.如果是零角,那么记=0.一二三二、第几象限角1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角的始边与x轴的非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题:(1)=45的角终边落在第几象限?提示:第一象限.(2)=120的角终边落在第几象限?提示:第二象限.(3)=-90的角终边落在第几象限?提示:y轴的负半轴上.(4)若终边落在第二象限,则角的范围是多少?提示:90+

3、k360180+k360,kZ.(5)若将的终边再继续旋转角得到的角如何表示?提示:+一二三2.填空象限角的定义(1)前提:角的顶点与原点重合;角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.一二三三、终边相同的角1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?提示:终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍.2.填空一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合:S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整

4、数个周角的和.一二三3.做一做(1)与-40角终边相同的角的集合是()A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZC.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ答案:A(2)与1 680角终边相同的最大负角是.解析:1 680=5360-120,故与1 680角终边相同的最大负角是-120.答案:-120(3)今天是星期一,那么7k(kZ)天后的那一天是,7k+2(kZ)天后的那一天是,2 020天后的那一天是.答案:星期一星期三星期天探究一探究二探究三思维辨析随堂演练任意角的概念及其表示任意角的概念及其表示例例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()

5、A.60,720B.-60,-720C.-30,-360 D.-60,720(2)下图中的角的度数是.解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720.(2)要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角旋转的大小是360-30=330,旋转方向是逆时针,所以=330.答案:(1)B(2)330探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 确定任意角的方法:(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.(

6、2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A.120B.-120C.240D.-240(2)图中角=,=.解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是-240,故选D.(2)由题图可知=-(180-30)=-150,=30+180=210.答案:(1)D(2)-150210探究一探究二探究三思维辨析随堂演练坐标系中角的概念及其表示坐标系中角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解例例2写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601 080范围内与75角终边相同的

7、角.分析:根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601 080范围内的角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:与75角终边相同的角的集合为S=|=k360+75,kZ.当3601 080时,即360k360+751 080,又kZ,所以k=1或k=2.当k=1时,=435;当k=2时,=795.综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角.反思感悟反思感悟 求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.探究

8、一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2终边在某条直线上的角的集合例例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析:定0360范围内终边在所给直线上的两个角分别写出与两个角终边相同的角的集合写出两个集合的并集即可探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,又所有与0角终边相同的角的集合为S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角的集合为S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ.(2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,

9、因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+k180,kZ.(3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,kZ,结合(2)知所求角的集合为S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为

10、x|x=k360+180,kZ;终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ;终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ;终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ;终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ;终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3区域角的求解例例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180就会重复出现.探究一探究二探究三思维辨析

11、随堂演练解:(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075+k360,kZ.(2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为|60+k18090+k180,kZ.反思感悟反思感悟 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和;(3)分别将起始边界,终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演

12、练答案:C 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练象限角及其应用象限角及其应用角度1给定一个角判断它是第几象限角例例5已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0360范围内与其终边相同的角.(1)405;(2)-45;(3)495;(4)-520.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:作出各角的终边如图所示.由图可知:(1)405是第一象限角;(2)-45是第四象限角;(3)495是第二象限角;(4)-520是第三象限角角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)405=45+360,所以在0360范围内,与405角终边相同的角是4

13、5.(2)-45=315-360,所以在0360范围内,与-45角终边相同的角是315角.(3)495=135+360,所以在0360范围内,与495角终边相同的角是135角.(4)-520=200-2360,所以在0360范围内,与-520角终边相同的角是200角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟(1)作给定的各个角时,可先找出在0360范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.(2)判断角是第几象限角的常用方法为将写成+k360(其中kZ,在0360范围内)的形式,观察角的终

14、边所在的象限即可.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域;(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上,(如图所示);(3)确定区域:找出与角所在象限标号一致的区域,即为所求.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对任意角的概念不清导致角的范围写错典例典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的集

15、合为|k360+30k360+150,kZ.错解二终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+150k360+30,kZ.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范?探究一探究二探究三思维辨析随堂演练提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为=30+k360,kZ,终边为OB的角为=-210+k360,kZ.所以终边在阴影部分内的角的集合为|-210+k36030+k360

16、,kZ.防范措施 1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.下列叙述正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析:90角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.把-1 485化成k360+(0360,kZ)的形式是()A.315-

17、5360B.45-4360C.-315-4360D.-45-10180解析:0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案:A3.-495角的终边与下列哪个角的终边相同()A.135B.45 C.225D.-225解析:因为-495=-2360+225,所以与-495角终边相同的是225角.故选C.答案:C4.与-2 018角终边相同的最小正角是.解析:-2 018=-6360+142,所求值为142.答案:142探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解:以OA为终边的角为75+k360(kZ),以OB为终边的角为k360-30(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|k360-30k360+75,kZ.