导数与微分PPT教学课件.ppt

1、导数与微分PPT教学课件导数与微分即导数为函数增量与自变量增量比的极限()(,|)()(0000 xfxfxfxfxx但注：存在，计算下列极限：、设例)(10 xf )(221)()(lim00,21,2:)()2(lim10000000 xfhxfhxfhxhxhxxxfxxfhx原式时令导数与微分)(2)()()()(lim)()(lim)()()()(lim)()()()(lim)()(lim20000000000000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhxfxfxfhxfhhxfhxfhhhhh 导数与微分二、导数的物理和几何意义1.物理意

2、义：表示运动物体瞬时速度即：2.几何意义：表示曲线yf(x)在x0处的切线斜率即 若切点为 则曲线在 的 切线方程为：法线方程为：)(xs)(tsv)(xf0)(0 xftgk),(00yx0 xx)(000 xxxfyy)()(1000 xxxfyyx0 x0导数与微分1ln)0(ln111xlnay)0lna(1ln|)ln()()0(0,120axyxayxyaaaafkayxxxx法线方程为：切线方程为：解：程）点处的切线和法线方在（：求曲线例导数与微分三、基本求导公式：axeeaaanxxxxcxaxxxxnnln1)(log.6)(.5ln).(4).(3).(2,0).111（导

3、数与微分22211).(arcsin14).(13sec)(sec12).(11sec)(.10sin)(cos.9cos).(sin81).(ln7xxcsexctgxcsexxtgxxxcsectgxxtgxxxxxxx导数与微分xxxxxarcctgxxarctgxxx21)(.191)1.(1811)(.1711).(16.11).(arccos152222导数与微分 四、求导法则 若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则2)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu导数与微分 1.求下列函数的导数xxxxxxyxxxxyxcos12)sin(sin1)2122（xxx

4、xxxxxxyxxyxln1ln)(lnln)()ln(ln)21（导数与微分222)1(2)1(11)1()1)(1()1()1(11113xxxxxxxxxxxyxxy）（）（导数与微分!)1()()2)(1(0)0()0()()()()()()(y),()2)(1()(,2!)1()()2)(1(0)()2)(1(lim0)0()(lim)0(1)0(),()2)(1()4(00nnfyxf xxfxf xxfxyxxfnxxxxfnnxnxxxxxfxfyynxxxxynnxx则：令解法：利用导数的定义计算解法求导数与微分2.复合函数求导。求导自变量对乘中间变量求导对中间变量即函数点处

5、可导，且在则点处可导，在相应的点处可导，在若定理：设(x)xu(u)uy(x)(u)yx(x)fyu)(x)(),(),(ffufxxuufy导数与微分注：复合函数求导法则的关键在于：（1)将复合函数分解成若干个基本初等函数；（2)分别求出这些函数的导数并相乘；（3)将所设中间变量还原导数与微分322232222134)4()(3121)(21,:,21)2(secsec1)()(ln,ln:,ln(1)4323131xxxuyxuyxuuyxyxctgxxutgxuytgxuuytgxy 令令求下列函数的导数例导数与微分xxxxxxxxxtgeeeeeevuevuyevvuuyey coss

6、in)sin(1)()(cos)(ln,cos,ln:,cosln)3(令导数与微分1)1()1(2121111)()()(ln,ln:)1(,ln)4(2 yxarctgxxxvuxarctgvuyxvarctgvuuyyxarctgy令求导数与微分xxuxuxuxxxvvyvvuyy1cos2111cossin22ln)()sin(2ln2)(cos)2(,cos,2:25)121 ）令（导数与微分xxxxxtvuxtvuyxttvvuuyxy2cos14sin2cos12cos2sin22)sin(221)2()(cos1()(2,cos,1,:2cos16)22222）令（导数与微分)

7、(ln2)(ln2)()(,),(:)()(7)22222xxvvvxafaxaufaxaxaufyxvauufyafuf）令的导数存在，求已知（导数与微分 例5：证明：偶函数的导数是奇函数。证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)u=-x是偶函数。同理可证奇函数的导数是奇函数故)()()()()(),()()(xfxfxfxfxfxfxxf导数与微分 3.隐函数求导法则：隐函数：由含x，y的方程F(x,y）0给出的函数称为隐函数。有些方程，可以从中解出y，将y表示成x的显函数的形式。如：有些方程则不能解出y，如 等，对于这样的隐函数可不必解出y，而是将y作为x的函数隐藏在方程中利用隐函

8、数求导法则求出其导数,22222xRyRyx0sinyxy导数与微分隐函数的求导法则：将y作为x的函数，yy(x)，于是F(x，y(x)）0对方程两边的x求导，遇y时，将y作为中间变量，利用复合函数求导法则对y求导再乘 得到一个含的方程，最后从新方程中解出yyy y y y yy导数与微分 例6：求下列函数的导数yyyyyyyyxysin111)sin1(0sin10sin1)解：（导数与微分exeeyyxxeeyexeyyxeeyyxeyxyyyyyyyyyy01|1)0(101)1(0)0(12)时解：求（导数与微分25|1)2(21|1)2()4,2(),0,2(,4,0,44421,2

9、2222)2(223)420221222yxyxyxyxyyxyxyyyyyxyxyxyyyyxyxyxyxyx及解得代入原方程：将解：求（导数与微分yxyxyxyxyxyxyxexyeyyeexyyey xyexyexy)()1()()(4)解：（导数与微分)()()()(ln)()()()()()(ln)(1)(ln)(ln:)(.4)()(xfxfxgxfxgxfyxfxfxgxfxgyyxfxgyxfyxgxg取对数化成隐函数数皆为变量）称为幂指函数（底和指幂指函数求导法则导数与微分)sinln(cossinlncos1lnsinlnln)2().ln1(1ln1,lnln1)7sin

10、sinsinxxxxxyxxxxyyxxxyxyxxyxxxyyxxyxyxxxxx（：求下列函数的导数例导数与微分)ln()ln(ln)(lnlnlnlnln,lnln3)xxyxyyxyyxyyyxxyyyxyxyxyyxxyyxyxxyxy（导数与微分 注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时，可利用先取对数后求导的方法计算62333623232333333333121112)1313(311)1ln()1ln(3111ln31)11ln(ln11)4(31xxxxyxxxxxxyyxxxxxxyxxy解：导数与微分5.参数方程求导法则2111111)1(ln()()()()()1ln

11、(1)8)()()()()(:2tttarctgttxtyxyarctgtytxtxtyxyttyytxxtt（的函数的导数：求下列参数方程给出例求导公式：由参数方程给出的函数导数与微分1)0(111,001|cossinsincoscossinsincossincos)()(0cossin)3(2)cos1(sin)sin()cos1()()()cos1()sin()2(0 xyxyyxtyktttttetetetetetetxtyytteytextctgtatattatatxtyytayttaxttttttttt切线方程为：时又）（）（处的切线方程求在导数与微分五、函数的微分1.微分的定义

12、:设函数y=f(x)在点x0处可导,是自变量x的增量,则称 为函数f(x)在x0处关于x的微分.记为:,即2.函数可微的条件:定理:函数y=f(x)在x点可微的充分必要条件是y=f(x)在x点处可导.即：函数可微 存在,则函数可导且 ,反之,函数可导,既 存在,则 从而函数可微.xxfdy)(0 xxxf)(0dydyxxfdy)(dyxxf)()(xf 导数与微分dxxfdxxxxxdxdyxyxxfdyxfy)(dy)(,)(),(写成：数的微分的一般公式可变量的微分，从而函即自变量的增量等于自对于函数导数与微分dxxxdyxxxxxyxln1ln1)(lnln1)ln(lnlnlny(1

13、)9求下列函数的微分例导数与微分dxaadyaaaatvaatvayttvvuayayxxxxxxxxxxxxuxuxu122122122212cos21cos21cos11111212cossinlnsinlncossin2ln)()sin(2ln)()(cos)()(,cos,:2)令（导数与微分dxxctgyxytgxydyxctgyxytgxyyytgxyxctgyxyyyyxyxxyxyyxxyyxxycoslnsinlncoslnsinlnsinln)cos(lncossinsinln)sin(coscoslnsinlncosln)(sin)(cos3)（导数与微分 3.微分公式x

14、dxcsedctgxxdxdtgxxdxxdxdxxddxxdaxdxxddxedeadxadadxnxdxdxxdxdcxaxxxxnn22111)11(sec)10(sincos)9(cossin)8(ln)7(lnlog)6()5(ln)4()3()2(01）（导数与微分导公式对应的记忆）。注：微分公式可以与求dxxxddxxxddxxdarcctgxdxxdarctgxdxxxddxxxdcsexctgxdxdcsexxtgxdxxd2222211)19(21)18(11)17(11)16(11arccos)15(11arcsin)14()13(secsec)12(导数与微分 4.微分

15、法则0)()()()(2vvudvvdudccducududvvduuvddvduvudvu为常数导数与微分例10 求下列函数的微分：dxxxxxdxxxxdxnxxxdxxdxxddyxxydxxxexdxedxexxdexdexdedyxeyxxxxxxx)sincos(lnsincoslnsinsinlnlnsinlnsin)2()sin(cossincoscoscoscoscos)1(导数与微分dxxtgxxxxdxtgxxdxxxxtgxdxdtgxxtgxddyxtgxyxx2122122lnseclnlnseclnlnlnlnlnln3)（导数与微分5.一阶微分形式不变性：若u为

16、自变量,yf(u),则,若u为中间变量,从而不论u是自变量还是中间变量其微分的形式不变,皆为dy=f(x)du.我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函数和隐函数的微分和导数。duufdy)(duufdydxxdudxxufdyxuufy)()()()(),()(又则，导数与微分的微商。即函数的导数等于函数对于函数)(,)(),(xfdxdydxxfdyxfyxxxxxxxxeeydxeeedeeddyey11)1(11)1ln()1ln()1(11数求下列函数的微分和导例导数与微分)sincos()sincos(coscos)(sinsinsins

17、insin)2(bxabxbeydxbxabxbebxdxbdxasimbxbxdbxeaxdebxbxdedebxbxdedybxeyaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxee导数与微分222222122221212222221111)1()1(11)1(11)1(11)1ln()1ln()3(22xyxdxxxxdxxxxxdxxxxddxxxxddxxxdxxxxddyxxyxxdxx导数与微分 例12 求下列隐函数的微分和导数yxyyxydxyxyyxdydxyxdyyxyydyxdyydxxdxdyydydxydxyxyxddyyxyxy232232)2()23(223)(1)22

18、2222223223（导数与微分yxyxyxyxyxyxyxyxyxexyeydxexyedydxyedyexyxdexdyydxdeydey)()()(xx2)（导数与微分)1()1()1()1()()(000lnx0lnx3)112xyxyxyydxxyxyxydydxydyxdxdyydxdxdyydxdydyxyyxdyydxxyyxxyyxyx（导数与微分 6.微分在近似计算中的应用近似计算公式xxfxfxxfxxfxfxxfy)()()()()()(000000导数与微分7954.001.0414.302.021402.0|111)1()1()02.01(02.102.0,1,)(

19、02.11):13120 xxarctgxfffarctgxxarctgxxfarctg取设（求下列函数的近似值例导数与微分应取弧度值。与注：在三角函数中设（xxxtgxffftgxxtgxxftgx03206623.1)18014.3(43)18014.3(sec3)3()3()1803(591801,3,)(592)|棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。2、V柱体Sh V圆柱r2 h 3、柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平面所截截面面积始终相等体积相等V长方体abcV柱体Sh V圆柱r2 h问题：对比柱体体积公式的推导及结论

20、，猜想一下问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h平行于平面的任一平面去截截面面积始终相等两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShShhSShhSS22122211，SSSS21SS21证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个锥体放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内，用平行于平面的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面

21、面积分别是S1、S2，那么 根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACBBCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA31CB把三棱锥1以ABC

22、为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31ABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABC

23、ACBABCA23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31BCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高定理二：如果三棱锥的

24、底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2三棱锥2、3的底BCB、CBC的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、C CB BC C的面积相等。的面积相等。高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是A A）。）。高

25、高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2V1V2V3 V三棱锥31定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥 Sh证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底ABA1、B1A1

26、B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等，高也相等 （顶点都是A1）V1V2V3 V三棱锥。V三棱柱 Sh。V三棱锥 Sh。31313131ABCACB23任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh31 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh定理三：如果一个锥体（

27、棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31313131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 证明：在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。根据三垂线定理，AE BC。AED。V三棱锥 SB CD AD31 SAB C ADcos31 BC ED AD2131 BC AEcos AD213131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BC

28、D，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 问题1、ADcos有什么几何意义？F 结论：V三棱锥 SAB C d 3131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 结论：V三棱锥VC-AE DVB-AE D 问题2、解答过程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示意思？212131AEcosEDSAED EDAD 21又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的

29、对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题1、你能有几种 解法？问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到 一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？C D AB 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种 解法？解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh31 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从

30、整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：小结：4、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h313131作业：1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。2、三棱锥P-ABC中，已知PABC，PABCa，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EFh，求 三棱锥的体积。