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1、第六节椭圆第一课时椭圆的概念及其性质【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.椭圆的定义椭圆的定义(1)(1)平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离的距离_等于常数等于常数(大大于于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的的_,_,两焦点间的距离叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的_._.的和的和焦点焦点焦距焦距(2)(2)集合集合P=M|MFP=M|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a,|F|=2a,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,其中其中a,ca,c为为常数且常数且a0,c0.a0,c

2、0.当当2a|F2a|F1 1F F2 2|时时,M,M点的轨迹为椭圆点的轨迹为椭圆;当当2a=|F2a=|F1 1F F2 2|时时,M,M点的轨迹为线段点的轨迹为线段F F1 1F F2 2;当当2a|F2ab0)(ab0)_(ab0)(ab0)2222xy1ab2222yx1ab图形图形 性性质质范围范围_x_,_x_,_y_y_x_,_x_,_y_y_对称性对称性对称轴对称轴:_:_对称中心对称中心:_:_-a-aa a-b-bb b-b-bb b-a-aa a坐标轴坐标轴原点原点图形图形 顶点顶点A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_,B_,B2 2_A A1 1_,A_,A

3、2 2_B B1 1_,B_,B2 2_轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为_,_,短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为_焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=_|=_离心率离心率e=_e=_(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b)(0,-a)(0,-a)(0,a)(0,a)(-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0)2a2a2b2b2c2cca(0,1)(0,1)【金榜状元笔记金榜状元笔记】1.1.椭圆方程中的椭圆方程中的a,b,ca,b,c(1)a,b,c(1)a,b,c关系关系:a:a2 2=b=b2 2+c+c2 2.

4、(2)e(2)e与与 :因为因为e=,e=,所以离心率所以离心率e e越大越大,则则 越小越小,椭圆就越扁椭圆就越扁;离心率离心率e e越小越小,则则 越大越大,椭圆就越圆椭圆就越圆.ba222cabb1()aaababa2.2.在求焦点在在求焦点在x x轴上椭圆的相关量的范围时轴上椭圆的相关量的范围时,要注意应要注意应用以下不等关系用以下不等关系:-axa,-byb,0e1.:-axa,-byb,0e1.3.3.焦点三角形焦点三角形椭圆上的点椭圆上的点P P与焦点与焦点F F1 1,F,F2 2若构成三角形若构成三角形,则称则称PFPF1 1F F2 2为为焦点三角形焦点三角形.焦点三角形问

5、题注意与椭圆定义、正弦定焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系理、余弦定理的联系.【教材母题变式教材母题变式】1.1.已知椭圆已知椭圆 =1=1的焦点在的焦点在x x轴上轴上,焦距为焦距为4,4,则则m m等于等于()A.8A.8B.7B.7C.6C.6D.5D.522xym210m【解析解析】选选A.A.因为椭圆因为椭圆 =1=1的焦点在的焦点在x x轴上轴上,所以所以 解得解得6m10.6m10.因为焦距为因为焦距为4,4,所以所以c c2 2=m-2-10+m=4,=m-2-10+m=4,解得解得m=8.m=8.22xym210m10m0m20m210m，2.2.曲线曲线

6、 =1=1与曲线与曲线 =1(k144)=1(k0),=m(m0),则此椭圆的离心则此椭圆的离心率为率为()1321A.B.C.D.3322【解析解析】选选B.B.由题意得椭圆的标准方程为由题意得椭圆的标准方程为所以所以a a2 2=,b=,b2 2=,=,所以所以c c2 2=a=a2 2-b-b2 2=,e=,e2 2=,e=.=,e=.m2m3m622c1a33322xy1mm23，4.(20174.(2017全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆C:=1(ab0)C:=1(ab0)的的左、右顶点分别为左、右顶点分别为A A1 1,A,A2 2,且以线段且以线段A A1 1A A2 2为直径的圆

7、与直为直径的圆与直线线bx-ay+2ab=0bx-ay+2ab=0相切相切,则则C C的离心率为的离心率为()2222xyab6321A.B.C.D.3333【解析解析】选选A.A.直线直线bx-ay+2ab=0bx-ay+2ab=0与圆相切与圆相切,所以圆心到所以圆心到直线的距离直线的距离d=a,d=a,整理得整理得a a2 2=3b=3b2 2,即即a a2 2=3(a=3(a2 2-c-c2 2)2a2a2 2=3c=3c2 2,即即 222abab22c2c6e.a3a3，【母题变式溯源母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1椭圆的标准方程椭圆的标准方程P49P49A

8、A组组T2T22 2椭圆的几何性质椭圆的几何性质P80P80A A组组T3(1)T3(1)3 3椭圆的离心率椭圆的离心率P46P46例例4 44 4椭圆的离心率椭圆的离心率P49P49A A组组T5T5考向一考向一 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用【典例典例1 1】(1)(1)过椭圆过椭圆 +y+y2 2=1=1的左焦点的左焦点F F1 1作直线作直线l交椭交椭圆于圆于A,BA,B两点两点,F,F2 2是椭圆右焦点是椭圆右焦点,则则ABFABF2 2的周长为的周长为()A.8A.8B.4 B.4 C.4C.4D.2 D.2 2x422(2)(2018(2)(2018汕头模拟汕头模拟)若椭圆若椭

9、圆 =1=1上一点上一点P P与椭与椭圆的两个焦点圆的两个焦点F F1 1,F,F2 2的连线互相垂直的连线互相垂直,则则PFPF1 1F F2 2的面积的面积为为()A.36A.36B.16B.16C.20C.20D.24D.2422xy3616(3)(3)已知椭圆已知椭圆 =1=1上一点上一点P P到椭圆一个焦点到椭圆一个焦点F F1 1的的距离为距离为3,3,则则P P到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离为的距离为()A.2A.2B.3B.3C.5C.5D.7D.722xy2516【解析解析】(1)(1)选选A.A.因为椭圆方程为因为椭圆方程为 +y+y2 2=1,=1,所以椭圆所

10、以椭圆的长半轴长的长半轴长a=2,a=2,由椭圆的定义可得由椭圆的定义可得|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a=4,|=2a=4,且且|BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2a=4,|=2a=4,所以所以ABFABF2 2的周长为的周长为|AB|+|AF|AB|+|AF2 2|+|BF+|BF2 2|=|AF|=|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|+|AF|+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=4a=8.|=4a=8.2x4(2)(2)选选B.B.设设|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n,|=n,则则m m2 2+n+n2 2=4(36

11、-16)=80,=4(36-16)=80,即即(m+n)(m+n)2 2-2mn=80,-2mn=80,又又m+n=2m+n=26=12,6=12,所以所以mn=32,mn=32,1 2PFF1Smn16.2【巧思妙解巧思妙解】选选B.B.因为因为PFPF1 1PFPF2 2,所以所以PFPF1 1F F2 2的面积的面积 =16=16tan 45tan 45=16.=16.(3)(3)选选D.D.因为因为a a2 2=25,=25,所以所以2a=10,2a=10,所以由定义知所以由定义知,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=10,|=10,所以所以|PF|PF2 2|=10-|

12、PF|=10-|PF1 1|=7.|=7.1 2PFFS【技法点拨技法点拨】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用技巧(1)(1)椭圆定义的应用主要有椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程,求焦点求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)(2)定义和余弦定理结合定义和余弦定理结合:求解关于焦点三角形的周长求解关于焦点三角形的周长和面积问题和面积问题.【拓展拓展】和椭圆有关的小结论和椭圆有关的小结论(1)(1)通径长为通径长为 (过焦点垂直于长轴的弦长过焦点垂直于长轴的弦长).).(2)P(2)P为椭圆为椭圆 =1(ab0)=1(ab

13、0)上的点上的点,F,F1 1,F,F2 2为其焦点为其焦点,若若F F1 1PFPF2 2=,=,则三角形则三角形PFPF1 1F F2 2的面积的面积 22ba2222xyab1 22PFFSb tan.2【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.1.已知已知F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0)(2,0)是椭圆的两个焦点是椭圆的两个焦点,过过F F2 2的直的直线线l交椭圆于交椭圆于M,NM,N两点两点,若若MFMF1 1N N的周长为的周长为12,12,则椭圆方则椭圆方程为程为()22222222xyyxA.1 B.19595xyyxC.1 D.19494【解析解析

14、】选选A.A.因为因为F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0)(2,0)是椭圆的两个焦是椭圆的两个焦点点,所以所以c=2,c=2,又根据椭圆的定义又根据椭圆的定义,MFMF1 1N N的周长的周长=4a=12,=4a=12,得得a=3,a=3,进而得进而得b=,b=,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 522xy1.952.2.设设F F1 1,F,F2 2是椭圆是椭圆 =1=1的两个焦点的两个焦点,P,P是椭圆上的是椭圆上的点点,且且|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=125,|=125,则则PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为 世纪金世纪金榜导学号榜导学号12560

15、276(12560276()A.30A.30B.60B.60C.90C.90D.120D.12022xy289120【解析解析】选选D.D.由由|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=125,|=125,设设|PF|PF1 1|=12k,|PF|=12k,|PF2 2|=5k,|=5k,因为因为|F|F1 1F F2 2|=2c=26,|PF|=2c=26,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a=34,|=2a=34,所以所以|PF|PF1 1|=24,|PF|=24,|PF2 2|=10,|=10,PFPF1 1F F2 2为直角三角形为直角三角形,故故PFPF1 1F F2 2的面

16、积为的面积为 242410=120.10=120.12考向二考向二 椭圆的标准方程及应用椭圆的标准方程及应用【典例典例2 2】(1)(2018(1)(2018宁德模拟宁德模拟)一个椭圆的中心在原一个椭圆的中心在原点点,焦点焦点F F1 1,F,F2 2在在x x轴上轴上,P(2,),P(2,)是椭圆上一点是椭圆上一点,且且|PF|PF1 1|,|,|F|F1 1F F2 2|,|PF|,|PF2 2|成等差数列成等差数列,则椭圆的方程为则椭圆的方程为()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256027712560277322222222xyxyA.1 B.186166xyxyC.1 D.14284(

17、2)(2018(2)(2018成都模拟成都模拟)与椭圆与椭圆 =1=1有相同离心率有相同离心率且经过点且经过点(2,-)(2,-)的椭圆方程为的椭圆方程为_._.22xy433【解析解析】(1)(1)选选A.A.设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为 (ab0).(ab0).由点由点P(2,)P(2,)在椭圆上知在椭圆上知 又又|PF|PF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|PF|,|PF2 2|成等差数列成等差数列,2222xy1ab322431.ab则则|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2|F|=2|F1 1F F2 2|,|,即即2a=22a=22c,2c,又又c

18、c2 2=a=a2 2-b-b2 2,联立联立 得得a a2 2=8,b=8,b2 2=6,=6,故椭圆方程为故椭圆方程为 c1a2，22xy1.8622222431abcabc1a2，(2)(2)因为因为 若焦点在若焦点在x x轴上轴上,设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为 (mn0),(mn0),则则 从而从而 又又 所以所以m m2 2=8,n=8,n2 2=6.=6.2222cabb31e11aaa42，2222xy1mn2n11()m4，2n3 n3().m4 m2，22431mn，所以方程为所以方程为 若焦点在若焦点在y y轴上轴上,设方程为设方程为 =1(hk0),=1(hk0),则

19、则 =1,=1,且且 解得解得 故所求方程为故所求方程为 答案答案:22xy1.862222yxhk2234hkk3h2，222525hk.34，22yx1.2525342222yxxy1125258634或【一题多解一题多解】解答本题还可以采用以下方法解答本题还可以采用以下方法:若焦点在若焦点在x x轴上轴上,设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为 =t(t0),=t(t0),将点将点(2,(2,-)-)代入代入,得得t=2.t=2.故所求方程为故所求方程为22xy433222(3)4322xy1.86若焦点在若焦点在y y轴上轴上,设方程为设方程为 =(0),=(0),代入点代入点(2,-),(

20、2,-),得得=,=,故所求方程为故所求方程为答案答案:22yx433251222yx1.2525342222yxxy1125258634或【误区警示误区警示】当椭圆焦点位置不明确时当椭圆焦点位置不明确时,可设为可设为 (m0,n0,mn),(m0,n0,mn),也可设为也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1=1(A0,B0,(A0,B0,且且AB).AB).22xy1mn【技法点拨技法点拨】求椭圆标准方程的步骤求椭圆标准方程的步骤(1)(1)判断椭圆焦点位置判断椭圆焦点位置.(2)(2)设出椭圆方程设出椭圆方程.(3)(3)根据已知条件根据已知条件,建立方程建立方程(组组)求待定系数求

21、待定系数,注意注意a a2 2=b=b2 2+c+c2 2的应用的应用.(4)(4)写出椭圆方程写出椭圆方程.【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】1.1.设设F F1 1,F,F2 2分别是椭圆分别是椭圆E:=1(0b2)E:=1(0bb0)=1(ab0)的左、右焦点的左、右焦点,点点P P在椭圆在椭圆C C上上,若线若线段段PFPF1 1的中点在的中点在y y轴上轴上,PF,PF1 1F F2 2=30=30,则椭圆的离心率则椭圆的离心率为为()2222xyab3311A.B.C.D.3636(2)(2)若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 的中心和左焦点的中心和左焦点,点点P

22、P为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点,则则 的最大值为的最大值为()A.2A.2B.3B.3C.6C.6D.8D.822xy143OP FP (3)(2018(3)(2018衡水模拟衡水模拟)已知直线已知直线l1 1经过椭圆经过椭圆 =1=1(ab0)(ab0)的左焦点的左焦点F F1 1,交椭圆于交椭圆于B(0,b)B(0,b)和和A,A,且且 直线直线l2 2经过椭圆的右焦点经过椭圆的右焦点,且垂直于椭圆且垂直于椭圆的长轴的长轴,交椭圆于交椭圆于MN,|MN|=1,MN,|MN|=1,则这个椭圆的方程为则这个椭圆的方程为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256027912560279

23、2222xyab111AFFB7 ，【解析解析】(1)(1)选选A.A.如图如图,设设PFPF1 1的中点为的中点为M,M,连接连接PFPF2 2.因为因为O O为为F F1 1F F2 2的中点的中点,所以所以OMOM为为PFPF1 1F F2 2的中位线的中位线,所以所以OMPFOMPF2 2,所以所以PFPF2 2F F1 1=MOF=MOF1 1=90=90,因为因为PFPF1 1F F2 2=30=30,所以所以|PF|PF1 1|=2|PF|=2|PF2 2|.|.由勾股定理得由勾股定理得|F|F1 1F F2 2|=|=由椭圆定义得由椭圆定义得2a=|PF2a=|PF1 1|+|

24、PF|+|PF2 2|=3|PF|=3|PF2 2|,|,即即a=2c=|Fa=2c=|F1 1F F2 2|=|PF|=|PF2 2|,|,即即c=c=则则e=e=22122PFPF3 PF，23 PF2，323 PF2，223 PFc23.a23 PF3(2)(2)选选C.C.由椭圆由椭圆 可得可得F(-1,0),F(-1,0),点点O(0,0),O(0,0),设设P(x,y)(-2x2),P(x,y)(-2x2),则则 =x=x2 2+x+y+x+y2 2=x=x2 2+x+x+=(x+2)=(x+2)2 2+2,-2x2,+2,-2x2,当且仅当当且仅当x=2x=2时时,取得最大值取得

25、最大值6.6.22xy143OP FP 22x13(1)xx34414OP FP (3)(3)因为因为B(0,b),FB(0,b),F1 1(-c,0),(-c,0),所以所以A ,A ,代入椭圆方程得代入椭圆方程得 =1,=1,所以所以 因为因为|MN|=1,|MN|=1,所以所以 =1,=1,111AFFB7 ，8cb()77，222264cb49a49b22c3a4，22ba联立得联立得,a,a2 2=4,b=4,b2 2=1,=1,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 +y+y2 2=1.=1.答案答案:+y +y2 2=1=12x42x4【一题多变一题多变】若将本题条件若将本题条件“线段线段

26、PFPF1 1的中点在的中点在y y轴轴上上,PF,PF1 1F F2 2=30=30”变为变为“P P到两焦点的距离之比为到两焦点的距离之比为21”,21”,则椭圆的离心率的取值范围为则椭圆的离心率的取值范围为_._.【解析解析】设设P P到两个焦点的距离分别是到两个焦点的距离分别是2k,k,2k,k,根据椭圆定义可知根据椭圆定义可知3k=2a,3k=2a,又结合椭圆的性质可知又结合椭圆的性质可知,椭圆上的点到两个焦点距离椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为之差的最大值为2c,2c,即即k2c,k2c,所以所以2a6c,2a6c,即即e .e .13又因为又因为0e1,0e1,所以所以 e

27、1.eb0),=1(ab0),以以O O为圆心为圆心,短半轴长为短半轴长为半径作圆半径作圆O,O,过椭圆的右焦点过椭圆的右焦点F F2 2作圆作圆O O的切线的切线,切点分别切点分别为为A,B,A,B,若四边形若四边形F F2 2AOBAOB为正方形为正方形,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560280(12560280()2222xyab1612A.B.C.D.3322【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知|OA|=|AF|OA|=|AF2 2|=b,|OF|=b,|OF2 2|=c,OAAF|=c,OAAF2 2,所以所以c c2 2=2b=2b2 2,a

28、,a2 2=b=b2 2+c+c2 2=3b=3b2 2,离心率离心率e=e=c26.a33命题点命题点2 2与椭圆性质有关的最值问题与椭圆性质有关的最值问题2.2.已知点已知点F F1 1,F,F2 2分别是椭圆分别是椭圆 =1=1的左、右焦点的左、右焦点,点点M M是该椭圆上的一个动点是该椭圆上的一个动点,那么那么|的最小值是的最小值是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256028112560281A.4A.4B.6B.6C.8C.8D.10D.1022xy251612MFMF【解析解析】选选C.C.设设M(xM(x0 0,y,y0 0),F),F1 1(-3,0),F(-3,0),F2

29、2(3,0).(3,0).则则 =(-3-x=(-3-x0 0,-y,-y0 0),=(3-x),=(3-x0 0,-y,-y0 0),),所以所以 =(-2x=(-2x0 0,-2y,-2y0 0),),1MF2MF 12MFMF 222220120000y9|MFMF|4x4y425(1)4y100y164，因为点因为点M M在椭圆上在椭圆上,所以所以0y0y0 02 216,16,所以当所以当y y0 02 2=16=16时时,|,|取最小值为取最小值为8.8.12MFMF 核心素养系列（五十四）核心素养系列（五十四）直观想象直观想象椭圆定义问题中的核心素养椭圆定义问题中的核心素养以学习

30、过的椭圆的相关知识为基础以学习过的椭圆的相关知识为基础,借助几何直观借助几何直观感知一类问题共同特征的感知一类问题共同特征的“直观想象直观想象”,然后结合图形然后结合图形理解和解决椭圆的相关新问题理解和解决椭圆的相关新问题.【典例典例】已知点已知点P P是椭圆是椭圆 =1=1上一点上一点,F,F1 1,F,F2 2分别分别为椭圆的左、右焦点为椭圆的左、右焦点,M,M为为PFPF1 1F F2 2的内心的内心,若若 成立成立,则则的值为的值为()22xy431MPFS1 22MFFMPFSS312A.B.C.D.2222【解析解析】选选D.D.设内切圆的半径为设内切圆的半径为r,r,因为因为 所以所以 ;由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|F|=2a,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以所以ar=cr,c=,ar=cr,c=,所以所以 11 2MPFMFFSS 121 2MPFMPFMFFS+SS 22ab22a2.ab 2MPFS,