1、第二节 正态分布的 数字特征数学与信息技术系数学与信息技术系回顾连续型随机变量的数学期望、方差回顾连续型随机变量的数学期望、方差设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),X的数学期望可按下面的公式计算的数学期望可按下面的公式计算dxxfxXE)()(X的方差可按的方差可按dxxfEXxXD)()(222)(EXXEXD或利用简便公式或利用简便公式,21)(222)(xexf因为因为X ,从而从而 故故),(2N正态分布的期望正态分布的期望即即E(X)=,022dttet因为被积函数因为被积函数为奇函数为奇函数,222dtetdxexXDx222221(）,2
2、22dtet并注意到并注意到置换积分变量置换积分变量,xt分部分部积分积分公式公式.正态分布的方差正态分布的方差2222222(22ttD Xt edttde）可得可得2222222ttteedt从而从而 XXE，）(由此可见，如果随机变量由此可见，如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则它的概率密度完全由数学期望与标准差则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定。或者方差来决定。所以，正态分布的参数所以，正态分布的参数 就是随机变量就是随机变量X的数的数学期望学期望,正态分布的另一参数正态分布的另一参数 就是随机变量就是随机变量X的标准差的标准差(kkXxfx dx）置换积分变量
3、置换积分变量,xtdxetXtkkk222(）正态分布的正态分布的k阶中心矩阶中心矩k k 阶中心阶中心矩的定义矩的定义22212xkxedx02(22dxetXtkkk）所以当所以当k为奇数时，因为被积函数是奇函数为奇数时，因为被积函数是奇函数.当当k为偶数时，因为被奇函数是偶函数为偶数时，因为被奇函数是偶函数dxetXtkkk02222(）kkX3!3(4）特别是，正态分特别是，正态分布的四阶中心矩布的四阶中心矩P83P83 0,01sdueusus置换积分变量置换积分变量,22ut 2202(2tkkkXt edx）12202kkkuue du221(1)!2kkkkk例例 设随机变量设
4、随机变量X服从服从N(0,1)，求随机变量，求随机变量函数函数Y=X2的数学期望和方差的数学期望和方差解解 本题可以用三种方法计算数学期望本题可以用三种方法计算数学期望 E(Y)法法1 用用4.1节例节例2求得的求得的Y的概率密度直接用定的概率密度直接用定义，因为义，因为 0,00,21221yyeyyfyY 122012yYEYyyedy所以所以122012yy edy置换积分变量置换积分变量tyty2,2 1202232tYEYt e dt211211222这恰好是这恰好是X的二阶中心矩的二阶中心矩(=0)，因此，因此 1!1222XEYEY可以直接计算法法2 由随机变量函数的期望定义，我
5、们有由随机变量函数的期望定义，我们有 022221dxexYExY法法3：由方差的简化公式：由方差的简化公式 知知 D(X)=E(X2)-E(X)2 E(X2)=D(X)+E(X)2 E(X)=0，D(X)=1而而E(Y)=E(X2)=1所以所以法法1 由随机变量函数的期望定义可得由随机变量函数的期望定义可得12222012yYEYyyedy322012yy edy下面计算下面计算Y的方差，我们利用方差的简化公式的方差，我们利用方差的简化公式 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2 关键在于计算关键在于计算E(Y2)，下面用两种方法来计算它下面用两种方法来计算它置换积分变量置换积分变量tyty2,2
6、32204452tYEYt e dt43 1143 132 222 23!3!14442XEYEY法法2 由由k阶中心矩，因为阶中心矩，因为 所以所以2,YX42XY从而从而213)(222EYYEYDY所以所以小结：小结：这一讲，我们介绍了正态分布的数这一讲，我们介绍了正态分布的数学期望，方差和学期望，方差和k阶中心矩。我们知道了：阶中心矩。我们知道了：如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，则它的概率服从正态分布，则它的概率密度完全有数学期望与标准差或者方差来决密度完全有数学期望与标准差或者方差来决定。并且我们通过一个例题展示了求期望和定。并且我们通过一个例题展示了求期望和方差的方法方差的方法
