气体分子的速率分布率课件.ppt

1、第三章第三章 气体分子热运动气体分子热运动速率和能量的统计分布律速率和能量的统计分布律 麦克斯韦是麦克斯韦是19世世纪英国伟大的物理学纪英国伟大的物理学家、数学家。家、数学家。1831年年11月月13日生于苏日生于苏格兰的爱丁堡，自幼格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的斯韦从小受到良好的教育。教育。10岁时进入岁时进入爱丁堡中学学习，爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显图问题的论文，已显露出出众的才华。露出出众的才华。18

2、65 1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于磁，并于18731873年出版。年出版。18711871年受聘为剑桥大学新设立年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，验室，18741874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到到18791879年年1111月月5 5日在剑桥逝世。日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分

3、子物理学、统计物理麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究学、光学、力学、弹性理论方面的研究.尤其是他建立的尤其是他建立的电磁场理论电磁场理论,将电学、磁学、光学统一起来，是将电学、磁学、光学统一起来，是1919世纪物世纪物理学发展的最光辉的成果理学发展的最光辉的成果,是科学史上最伟大的综合之一是科学史上最伟大的综合之一.1847 1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。年进入爱丁堡大学学习数学和物理。18501850年转年转入剑桥大学三一学院数学系学习。入剑桥大学三一学院数学系学习。18561856年在苏格兰阿伯年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授

4、。丁的马里沙耳任自然哲学教授。18601860年到伦敦国王学院年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。任自然哲学和天文学教授。18611861年选为伦敦皇家学会会年选为伦敦皇家学会会员。员。.对单个小球来说，小球对单个小球来说，小球落在哪个槽中是完全偶然的，落在哪个槽中是完全偶然的，但对大量的这种小球，落在但对大量的这种小球，落在各个狭槽内的分布规律则是各个狭槽内的分布规律则是一定的。一定的。1 1 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律一、伽尔顿板实验一、伽尔顿板实验 有一块竖直平板，上有一块竖直平板，上部钉上一排排等间距的铁部钉上一排排等间距的铁钉，下部用隔板隔成钉，下部用隔板隔成等宽等

5、宽的狭槽，板顶装有入口。的狭槽，板顶装有入口。若重复做实验甚至用同若重复做实验甚至用同一小球投入漏斗一小球投入漏斗N N次（次（N N ），），其分布曲线都相同。其分布曲线都相同。伽尔顿板实验结果表明：伽尔顿板实验结果表明：对大量小球来说，大量小球对大量小球来说，大量小球一齐落下时，落入各槽中的小球的数目有确定的分布。或一齐落下时，落入各槽中的小球的数目有确定的分布。或者，对单个小球来说，单个小球落入某个小槽的可能性的者，对单个小球来说，单个小球落入某个小槽的可能性的大小是确定的。即大小是确定的。即:统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律。统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律。处于平衡态

6、的气体，虽然每个分子在某一瞬时的速度处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时的速度大小、方向都在随机地变化着，但是，对总体而言，之间大小、方向都在随机地变化着，但是，对总体而言，之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平均说来气存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率介于体分子的速率介于 v v 到到v v+d dv v 的概率（即速率分布函数）的概率（即速率分布函数）是不会改变的。也就是说，虽然是不会改变的。也就是说，虽然单个分子速率不可预知，单个分子速率不可预知，但大量分子的速率分布遵循统计规律。但大量分子的速率分布遵循统计规律。小球的分布具有统计规律性。小球的分

7、布具有统计规律性。对于大量微观粒子组成的系统对于大量微观粒子组成的系统,统计规律起主导作用统计规律起主导作用.下面用统计的方法来分析气体分子的速率分布问题。下面用统计的方法来分析气体分子的速率分布问题。某热力学系统某热力学系统，各种速率下的分子都存在各种速率下的分子都存在.二、速率分布函数二、速率分布函数将速率从将速率从 分割成很多相等的速率区间分割成很多相等的速率区间.0设总分子数为设总分子数为N，在区间在区间 内的分子数为内的分子数为VVV.NN：分子总数分子总数/N Novvvv 以速率以速率 为横坐标，为横坐标，以速率区间以速率区间 内分子数占总分子数的内分子数占总分子数的百分比，即百

8、分比，即 为纵为纵坐标。作图。坐标。作图。V/N NVVV 在统计物理中，只讨论某一在统计物理中，只讨论某一区间区间内有多少分子。内有多少分子。N：分子总数分子总数)/(vNNovvvv S作作 曲线曲线.NVNV/SN N 矩形的面积为矩形的面积为优点优点:则则,各个矩形的面积之和为各个矩形的面积之和为1.1.当速率区间足够小时当速率区间足够小时,顶部为一光滑曲线顶部为一光滑曲线.vvv对单个分子对单个分子 ,表示一个分子的速率落在该区间内的几率表示一个分子的速率落在该区间内的几率.对大量分子而言对大量分子而言,表示区间表示区间内的分子数占内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比.v)(

9、vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比.vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比.v物理意义物理意义Tv)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数2

10、1vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv 22232e)2(4)(vvvkTmkTmf0()1fv dv归一归一化条件化条件3 3、曲线下的总面积为、曲线下的总面积为1 1。2 2、求具有某一速率的分子数无意义。、求具有某一速率的分子数无意义。表示某一温度下，气体分子速率表示某一温度下，气体分子速率在在v vv v+dvdv区间内分子数占总分子数的百分比。或分子区间内分子数占总分子数的百分比。或分子的速率落在的速率落在v v v v+dvdv 区间内的几率。区间内的几率。()/f v dvdNN4 4、适用于平

11、衡态的气体。、适用于平衡态的气体。v)(vfovvvdSd/dN N dv说明：说明：1 1、三、三、麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布函分布函数数 1859 1859年年,英国物理学家麦克斯韦导出了平衡态下麦克斯英国物理学家麦克斯韦导出了平衡态下麦克斯韦速率分布韦速率分布,相应函数相应函数称为：称为：麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数pv（最概然速率）：速率分布（最概然速率）：速率分布函数极大值所对应的速率。函数极大值所对应的速率。v)(vfopvmaxf物理意义物理意义22pm olkTRTvmM 在一定温度下在一定温度下,单位速率间隔内单位速率间隔内速率在最概然速率速率在最概然速率 附近

12、的附近的气体分子所占的百分比最大气体分子所占的百分比最大.或表示在单位速率间或表示在单位速率间隔内，气体分子速率在隔内，气体分子速率在 附近附近出现的概率最大。出现的概率最大。pvpv四四、气体分子的特征速率气体分子的特征速率22232e)2(4)(vvvkTmkTmf0dfdv令：令：（1 1）v vP P与温度与温度T的关系的关系（对于同种气体）（对于同种气体）mkTvp2pvT 曲线的峰值右移曲线的峰值右移,由于曲线下由于曲线下面积为面积为1不变，所以峰值降不变，所以峰值降低，曲线较为平坦。低，曲线较为平坦。12TTov)(vf1pv2pv 2T1Tpvm 曲线的峰值左移曲线的峰值左移,

13、由于曲线由于曲线下面积为下面积为1不变，所以峰值不变，所以峰值升高。升高。12mmov)(vf1pv2pv 2m1m（2 2）v vP P与与分子质量分子质量m的关系的关系（在同一温度下）（在同一温度下）气体分子在各个速率范围都有，那么平均速率是？气体分子在各个速率范围都有，那么平均速率是？计算与速率有关的物理量计算与速率有关的物理量 g(v)的统计平均值的公式：的统计平均值的公式：dvvfvgvg)()()(0利用此公式可计算分子的平均速率、方均根速率。利用此公式可计算分子的平均速率、方均根速率。88molkTRTvmM平均速率平均速率与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。与前面温度公式中所

14、讲的方均根速率相同。233molkTRTvmMov)(vfpvVv2pvvv说明：说明：2 2、若不满足麦克斯韦速率分布时，三个特征速率就不等、若不满足麦克斯韦速率分布时，三个特征速率就不等于上述三个值。于上述三个值。1 1、三种特征速率有各自不同的应用；讨论分子速率分布、三种特征速率有各自不同的应用；讨论分子速率分布时用时用 ，计算平均碰撞次数时用计算平均碰撞次数时用 ，计算平均平动，计算平均平动能时用能时用 。pvv2V例：例：求空气分子在求空气分子在2727C C时的平均速率。时的平均速率。解：解：RTv838 8.31 30029 10m/s1.469 除很轻的元素如氢、氦之外，其它除

15、很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一气体的平均速率一般为数百米的数量级。般为数百米的数量级。例例：试说明下列各式的物理意义。：试说明下列各式的物理意义。(1)()f v dv(2)()Nf v dv21(3)()vvf v dv21(4)()vvNf v dv21(5)()vvvf v dv21(6)()vvNvf v dv0(7)()Pvf v dv2(8)()Pvv f v dv解：解：由速率分布函数可知由速率分布函数可知 NdvdNvf)(NdNdvvf)()1(表示在平衡态时，某一温度下，气体分表示在平衡态时，某一温度下，气体分子速率在子速率在v v v v+dvdv区间内分子

16、数占总分区间内分子数占总分子数的百分比。或子数的百分比。或:dNdvvNf)()2(表示在平衡态时，某一温度下，气体表示在平衡态时，某一温度下，气体分子速率在分子速率在v v v v+dvdv区间内分子数。区间内分子数。表示在平衡态时，某一温度下，在速表示在平衡态时，某一温度下，在速率区间率区间v v1 1 v v2 2内，分子数占总分子数的内，分子数占总分子数的百分比。百分比。NNdvvfvv)()3(21NdvvNfvv)()4(21表示在平衡态时，某一温度下表示在平衡态时，某一温度下,在速率在速率区间区间v v1 1 v v2 2内内,分子出现的个数。分子出现的个数。一个分子速率落在一个

17、分子速率落在v v v v+dvdv区间内的几率区间内的几率.NdvdNvf)(21(5)()vvvf v dv表示在平衡态时，某一温度下，在表示在平衡态时，某一温度下，在v v1 1 v v2 2 速率区间内的分子对平均速率的速率区间内的分子对平均速率的贡献。贡献。21(6)()vvNvf v dv表示在平衡态时，某一温度下表示在平衡态时，某一温度下，在在v v1 1 v v2 2 速率区间内分子速率的总和。速率区间内分子速率的总和。表示在平衡态时，某一温度下，在表示在平衡态时，某一温度下，在0 0 v vP P速率间隔内的分子数占总分子数速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。的百分比。0(

18、7)()Pvf v dv2(8)()Pvv f v dv表示在平衡态时，某一温度下，在速率表示在平衡态时，某一温度下，在速率间隔间隔 内，分子对方均速率的内，分子对方均速率的贡献。贡献。PV五、麦克斯韦速率分布律的验证五、麦克斯韦速率分布律的验证 麦克斯韦在麦克斯韦在1860年年从理论上预言了理想从理论上预言了理想气体的速率分布律气体的速率分布律.20世纪世纪20年代以后，许多实验成功地证实了麦克斯韦速率年代以后，许多实验成功地证实了麦克斯韦速率分布规律。分布规律。lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵后来后来拉美尔（朗缪尔拉美尔（朗缪尔LangmuirLangmuir）将

19、实验进一步完善。将实验进一步完善。60 年后，德国物理年后，德国物理学家学家斯特恩斯特恩(Sterm)(Sterm)最早于最早于19201920年做了分年做了分子射线束实验以测定子射线束实验以测定分子射线束中的分子分子射线束中的分子速率分布曲线，验证速率分布曲线，验证了这一规律。了这一规律。BC1S2SAP l A A是盛有金属汞的是盛有金属汞的恒温箱，汞蒸汽分子恒温箱，汞蒸汽分子从从A A上小孔喷出，经上小孔喷出，经S S1 1、S S2 2缝形成一束定向的缝形成一束定向的细窄射线，细窄射线，B B、C C是两是两共轴圆盘，盘上各开共轴圆盘，盘上各开一狭缝，两缝略错开一狭缝，两缝略错开一个一

20、个 角，一盘以角速角，一盘以角速度度 转动，两圆盘起转动，两圆盘起到粒子速度选择的作到粒子速度选择的作用，用，P P 为胶片屏，为胶片屏，显然显然,分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽个凹槽,只有一定速度的分子才能通过，到达屏只有一定速度的分子才能通过，到达屏 P P。只有只有当粒子穿过当粒子穿过B B 盘后达到盘后达到 C C 盘时盘时,C C 盘恰转过盘恰转过 角角,该速该速度的粒子方可穿过两盘度的粒子方可穿过两盘,到到达屏达屏P P,则粒子的速度满足：则粒子的速度满足：抽真空抽真空vltlv改变改变 即可选择不同速率的即可选择不同

21、速率的粒子粒子.BC1S2SAP l抽真空抽真空ov)(vf改变角速度，改变角速度，可使不同可使不同速率范围的汞分子通过速率范围的汞分子通过沉积在屏上，用测微光沉积在屏上，用测微光度计测量屏上的沉积厚度计测量屏上的沉积厚度，从而可得到不同速度，从而可得到不同速率区间的分子数的相对率区间的分子数的相对比值，测量结果与麦克比值，测量结果与麦克斯韦速率分布率相同。斯韦速率分布率相同。确切些说，因为凹槽确切些说，因为凹槽有一定宽度有一定宽度,故故所选择的不所选择的不是恰好某一速率大小是恰好某一速率大小,而是而是某一速率范围某一速率范围v v内的分子数。内的分子数。讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率

22、麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的相对比速率大小与最概然速率相近的气体分子的相对比 率最大率最大.pvpvpvpv 实际上，气体分子速率分布不同于分子束中分子的速实际上，气体分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布，但两个分布函数之间存在一定关系，故可利用实率分布，但两个分布函数之间存在一定关系，故可利用实验测得的验测得的

23、分子束速度分布图线分子束速度分布图线求得理想气体速率分布。求得理想气体速率分布。例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率.vv)(f2PRTV22(H)(O)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv2222(H)(O)324(O)(H)2PPVVm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o解解:例：例：求速率在求速率在 区间内，气体分子数占总分子区间内，气体分子数占总分子数的比率。数的比率。1.01ppvv解：解：23 222()4()e2mvkTmf vvkT而：而：22pkTvm222241()epvvppvfvvv代入整理得：代入整理得：22224()epvvppNvvf vvNvv 则：则：14e1 0.010.0083