测量误差及其传播定律课件.ppt

1、测测 量量 平平 差差主讲主讲 张书毕张书毕高等学校高等学校“十二五十二五”规划教材规划教材1n课程考核方式课程考核方式:课程编号：课程编号：0812220307EFSA0812220307EFSAn误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础课程考核方式方案课程考核方式方案n总学时总学时 56 56 总学分总学分 3.5 3.5 课堂学时课堂学时 56 56 实验学时实验学时 0 0n一、课程过程考核方式、考核次数：一、课程过程考核方式、考核次数：n1 1在讲授完广义误差转播定律后，进行在讲授完广义误差转播定律后，进行1 1次小测验；次小测验；n2 2在讲授完最小二乘法和条件平差后，进行在讲

2、授完最小二乘法和条件平差后，进行1 1次小测验；次小测验；n3 3在讲授完间接平差和学习完在讲授完间接平差和学习完MatlabMatlab语言后，完成语言后，完成2 2次大作次大作业；业；n4 4在讲授所有规定内容后，最终考试在讲授所有规定内容后，最终考试1 1次。次。n二、课程结课方式：二、课程结课方式：n闭卷考核方式闭卷考核方式n三、课程成绩构成三、课程成绩构成（百分制或等级制，各项成绩比例分配）（百分制或等级制，各项成绩比例分配）n小测验小测验2 2次共占次共占20%20%，大作业，大作业2 2次占次占20%20%，期终考试占，期终考试占60%60%。n四、说明四、说明n适用测绘工程专业

3、适用测绘工程专业2水准网水准网导线网导线网？严密平差！严密平差！3第一章测量误差及其传播定律主讲人：张书毕E-mail:4本章主要内容本章主要内容4 预备知识（偶然误差）4 1.1精度、准确度、精确度4 1.2 衡量精度的标准5误差名称误差名称误差特点误差特点消除或削弱的办法消除或削弱的办法举例举例偶然误差偶然误差Random error单个误差没有规律性，整体具有统计规律，服从或近似服从正态分布采用测量平差的方法照准误差对中误差估读误差系统误差Systematic error误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或为常数采用适当的观测方法校正仪器计算加改正尺长误差i角误差粗差Gr

4、oss error即大的偏差或错误重复观测严格检核发现舍弃或重测大数读错输入错误照错目标6误差的误差的区间区间为负值为负值为正值为正值个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100.6300.5600.4600.320.2350.1800.0850.05504641332116135

5、200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.00600.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300和和1810.5051770.4951.1.误差的绝对值有误差的绝对值有一定一定限值限值例例1-1.1-1.在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。3.3.绝对值相等的正绝对值相等的正负误差的个数负误差的个数相近相近2.2.绝对值绝对值较小较小的误的误差差比比绝对值绝对值较大较大的的误差误差多多7(vi/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

6、误差分布曲线用直方图表示:所有面积之和=v1/n+v2/n+.=11.横坐标表示误差的大小2.纵坐标采用单位区间频率除以曲线间隔面积=(vi/n)/d*d=vi /n=频率8例例1-21-2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差的误差的区间区间为负值为负值为正值为正值个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d个数个数vi频率频率vi/n(vi/n)/d0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60-1.801.8

7、0-2.002.00-2.202.20-2.402.40-2.602.60以上以上4034312520161497562100.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.00200.4750.4500.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850.0600.0700.0250.010037362927181713108743200.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.00500.4400.4250.3450.3

8、200.2150.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250和和2100.4992110.5011.1.愈接近于零的误愈接近于零的误差区间，误差出现差区间，误差出现的频率愈大的频率愈大2.2.随着离零愈来愈随着离零愈来愈远，误差出现的频远，误差出现的频率递减率递减3.3.出现在正负误差出现在正负误差区间内的频率基本区间内的频率基本相等相等9 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 2221()2

9、fe 10 当 偶 然 误 差 的 个 数当 偶 然 误 差 的 个 数00009990000999 时，时，偶然误差出现的频率就趋于稳偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差定。此时，若把偶然误差区间区间的间隔的间隔无限缩小，则直方图将无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑分别变为如图所示的两条光滑的曲线，其是的曲线，其是正态分布。正态分布。n 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较

10、高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲右图误差分布曲线较低线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低11 由概率论知，该曲线是正态分布正态分布的概率分布曲线。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。其密度函数为：式中：和 为参数。,)(21exp21)(22f12对正态随机变量 求数学期望和方差：下面来看参数下面来看参数 和和 是什么？是什么？方差1322)(EddfE22)(21exp21)()(期望ddfED2222)(21exp)(21)()()(2222)(D 由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数学期望数学期望和方差方差。它们确定了正态分布曲线的形状。01lim)(1n

11、iinnE14()()ELE L随机误差 的数学期望数学期望等于零零，如观测量只含有偶然误差时，则观测量的期望等于其真值。2222111()exp()exp2222f 在一定的观测条件下在一定的观测条件下,误差的绝对值有一定的限值，误差的绝对值有一定的限值，或者说或者说,超出一定限值的误差超出一定限值的误差,其出现的概率为零。其出现的概率为零。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。偶然误差的数学期望为零。偶然误差的数学期望为零。聚中聚中15 精度是指误差分布的密集或

12、离散的程度，是精度是指误差分布的密集或离散的程度，是观测值观测值与与数学期望（均值）数学期望（均值）接近的程度，表征观测结果接近的程度，表征观测结果偶然误差偶然误差大大小的程度小的程度。一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件观测条件较较好好，误差分布较密集，误差分布较密集，则其则其精度较高精度较高。精度高精度高22(-()EX E X16准确度是指随机变量准确度是指随机变量X X的的真值真值与其与其数学期望（均值）数学期望（均值）之差。即：之差。即：)(XEX 准确度表明了观准确度表明了观测值的测值的数学期望值数学期望值与其与其真真值值

13、接近的程度，其数值指接近的程度，其数值指标为偏差，表征了观测结标为偏差，表征了观测结果果大小的程度。大小的程度。若只含有偶然误差，则若只含有偶然误差，则017准确度低准确度低,精度高精度高 精确度是指精确度是指观测值观测值与其与其真值真值接近的程度，是接近的程度，是精度精度和和准确度准确度的合成，表征了偶然误差和系统误差对观测结果的合成，表征了偶然误差和系统误差对观测结果联合影响大小的程度，即：联合影响大小的程度，即：(3)(3)精确度精确度 均方误差18 22222222222)(2)()(2)()2()()()()()()(EEEEEEXXEXEXEXXEXMSEXXEXEXXX22222

14、2()()()XXXM S EXEXXEXX(3)(3)精确度精确度 l 均方误差反映了偶然误差、系统误差的联合影响。XXE)(l 当观测值中只含有偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。19精度低精度低准确度低准确度低精确度低精确度低20(4)(4)可见：精度高，不一定准确度也高！可见：精度高，不一定准确度也高！图图(a)(a)表示精度、精确度均高，而准确度高；表示精度、精确度均高，而准确度高；(a)(b)(c)图图(b)(b)表示精度高，精确度低，而准确度低；表示精度高，精确度低，而准确度低；图图(c)(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低；表示精度、精确度均低，因而准确度低

15、；XE（X）22)()(EXXEX22EXX22)()(EXEX精度、准确度、精确度数学期望观测值真值21 在测量平差中，我们只研究含有在测量平差中，我们只研究含有偶然误差偶然误差的观测的观测值，常用值，常用误差分布表误差分布表、绘制直方图绘制直方图或画出或画出误差分布曲线误差分布曲线的的方法来比较。方法来比较。误差的区误差的区间间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.49522n可以用误差分布表、直方图、分布曲线方法比较

16、麻烦麻烦 如何衡量精度？l能否只用一个数字表示 简简单单精度指标23精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差22()()DEE 据随机变量X方差的定义：222XD XEXE XXE Xfx dx观测误差的方差为：2()fd02()Elimn24标准差为：2()limEn实际工作中，n是有限的，则：2nn方差的估值标准差的估值中误差观测次数n无限多时，用标准差（标准差（表示：25方差的意义()0f ()0f 1()2f f()0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 1122面积为面积为122221)(ef 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点

17、在横轴上的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标横坐标。拐提示：提示：越小，误差曲线越陡峭，越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。2222111()exp()exp2222f 26平均误差：平均误差：在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望。24lim()=0.7985nEfdn 27222222212)()(020220222222edededfE2728 21212212212222221/021/020 tdedededft平均误差、或然误差与中误差的关系456 当n不大时，中误差比平均误差

18、更能灵敏地反映大的真误差的影响，同时，在计算或然误差时往往是先算出中误差，因此，通常都是采用中误差作为精度指标。456240.79795326745.0 当观测次数有限时，只能求得误差的估值，29 所谓极限误差就是在一定观测条件下偶然误差出现的最大值。3限通常取由正态分布的概率计算知：68.3%31.7%2295.5%4.5%3399.7%0.3%PPP (4)(4)极限误差极限误差221()exp22kkPkkd 3031思考：思考：例例1-31-3分别丈量100m和500m两段距离，它们的中误差均为2cm。如何衡量两组观测值的精度？中误差与观测值之比，称为中误差与观测值之比，称为相对中误差

19、相对中误差，一般用，一般用1/M1/M表示。表示。(5)(5)相对误差相对误差精度高精度高l方差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差都是衡量方差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差都是衡量精度的精度的绝对指标绝对指标；l实际上，实际上，n n有限，只能求出他们的有限，只能求出他们的估值估值；l中误差比平均误差和或然误差能中误差比平均误差和或然误差能更灵敏更灵敏地反映误差的影响；地反映误差的影响；l国际和我国通常采用国际和我国通常采用中误差中误差作为精度指标。作为精度指标。3233例题例题n例例1-11-1：为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角=450000，作12次观测，结果为：4

20、50006 445955 445958 450004 450003 450004 450000 445958 445959 445959 450006 450003 设没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。34编号编号123456789101112+6-5-2+4+3+40-2-1-1+6+32362541691604113691571573.6212137373.0812ni 2.4分析分析解：解：中误差平均误差或然误差35 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函

21、数线性函数一般函数36一、一、线性函数的误差传播定律线性函数的误差传播定律设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中 为独立的直接观测值，为常数，相应的 观测值的中误差为 。nxxx,21nkkk,21nxxx,21n,212222222121nnzkkk37设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixn,321 nxnxxZxfxfxf )()()(212138式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf),2,1(ni 222222212

22、12)()()(nnZxfxfxf ix2222222121)()()(nnZxfxfxf 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式39例2已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D的中误差解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos DDD)(048.0mD40 1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxf

23、d)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：三、三、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤41 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。22222221212)()()(nnZxfxfxf 42函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzk22221nz2222222121nnzkkk2222222121)()()(nnZxfxfxf 返回43讨论：n1.观测值不是独立、相关怎么办？n2.多个函数组成的向量如何转播？求边的坐标方位角求边的坐标方位角和点坐标和精度指标？44例例3(3(课后作业课后作业)对该对该ABCABC，等精度等精度独立观测了三个内角独立观测了三个内角A A、B B，其值分别为：，其值分别为：A=64A=642106210644，B=70B=703540354044，C=45C=450302030244；求分配闭合差后求分配闭合差后C C及其中误差。及其中误差。ABC45