祖暅原理与柱、锥、台、球体的体积课件.ppt

1、第一章 空间几何体 人教版必修2问题问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是什么？能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？abcV长方体shV长方体问题问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？改变一下形状，底面积和高有没有改变？如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些水平截面的面积有什么关系？水平截面的面积有什么关系？体积有没有改变？体积有没有改变？从这个事实中你得到什么启发？从这个事实中你得到什么启发？1.高度相同高度相同2.同一层上同一层上每页纸大小每页纸大小(面积面积)一样一样3.每层与放作业本的桌面平行每层与放作业本的桌

2、面平行知道它们知道它们前后的前后的体积相等的条件为体积相等的条件为:祖暅的介绍：祖暅的介绍：祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父

3、子以后一千多年才由原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理祖暅原理”。祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面如果截面(阴影部分阴影部分)的面积都相等的面积都相等,那么这两个几何体的那么这两个几何体的体积一定相等。体积一定相等。祖暅祖暅(gng)原理原理：幂势既同，则积不容异。幂势既同，则积不容异。探究点一柱体

4、的体积计算公式探究点一柱体的体积计算公式 用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等吗？为什么？吗？为什么？棱柱、圆柱的截面性质棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等平行于底面的截面与底面全等.问题问题3定理定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面面 积积s和高和高h的积。的积。推论推论 底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱=r2hV柱体柱体=sh由祖暅原理可知：由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的等底面积等高的任意两个柱体的体积体积 相等，而长方体的体积为相等，而长方体的

5、体积为V长方体长方体=sh，所以与所以与长方体长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：问题问题4长方体的体积计算公式长方体的体积计算公式能否推广到一般的棱柱（圆柱）能否推广到一般的棱柱（圆柱）体积的计算呢？体积的计算呢？总结总结柱体体积公式及其探索思路柱体体积公式及其探索思路？柱体的体积公式柱体的体积公式柱体柱体 长方体长方体+等底面积等高等底面积等高的任意两个柱的任意两个柱体的体积体的体积相等相等柱体的代表柱体的代表探究点二锥体的体积计算公式探究点二锥体的体积计算公式 问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？锥体体

6、积公式及其探索思路锥体体积公式及其探索思路？锥体的体积公式锥体的体积公式锥体锥体?+等底面积等高的等底面积等高的任意两个锥体的任意两个锥体的体积体积相等相等锥体的代表锥体的代表探究点二锥体的体积计算公式探究点二锥体的体积计算公式 问题问题6 6：三棱柱分割：三棱柱分割成三个三棱锥成三个三棱锥,他们三个他们三个的体积相等吗？为什么？的体积相等吗？为什么？总结总结锥体体积公式锥体体积公式 锥体的体积公式锥体的体积公式锥体锥体?三棱锥三棱锥+等底面积等高的等底面积等高的任意两个锥体的任意两个锥体的体积体积相等相等锥体的代表锥体的代表21(1)(311(2)(33.(3)VSh ShVShr h Sh

7、r椎体圆锥棱锥：为底面积，为棱锥的高）；圆锥：为底面积，为圆锥的高，为底面半径）割补 是求体积的一种常见策略，运用时注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系.(4)注意求三棱锥体积时顶点与底面的相对性.问题问题7 7：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？设棱台上底面积为设棱台上底面积为S，下底面积为下底面积为S，高为，高为h，大棱锥的高为大棱锥的高为h1，小棱，小棱锥的高为锥的高为h2，则，则 两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积相等相等CBAPABCPVVVhSSSS

8、)(3131圆台圆台 h)(222121rrrr探究点三台体的体积计算公式探究点三台体的体积计算公式 问题问题8 8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0SS，S分别为上、下分别为上、下底面面积，底面面积，h 为台体为台体高高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小例1：如图，在长方体：如图，在长方体 中，中，截下一个棱锥截下一个棱锥 ,求棱锥的体积与剩求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。余部分的体积之比。ABCDA B C

9、 D CA DD5:1ShShSh6561ShShVDDAC612131DDAC BBCCAADDShV AADD长方体可以看成直四棱柱长方体可以看成直四棱柱解解：设它的底面设它的底面面积为面积为S，高为，高为h，则它的体积为则它的体积为因为棱锥因为棱锥的底面面积为的底面面积为S21高是高是h,所以棱锥所以棱锥DDAC 的体积的体积余下的体积余下的体积所以体积比为所以体积比为学以致用学以致用 实验实验:给出如下几何模型RR探究点四球体的体积计算公式探究点四球体的体积计算公式 步骤拿出圆锥拿出圆锥和圆柱和圆柱将圆锥倒立放将圆锥倒立放入圆柱入圆柱结论:截面面积相等 R则两个几何体的体积相等取出半球

10、和新的几何体做它们的截面取出半球和新的几何体做它们的截面334RV球例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。学以致用学以致用 画出奖杯的水平直观图学以致用学以致用 并计算体积练习练习2.有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为，已知底面六边形边长为12mm，高为，高为10mm，内孔直径是，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是7.8 g/cm3）解：六角螺帽的体积六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积是一个正六棱柱的体积V

11、1与一个圆柱的与一个圆柱的体积体积V2的差的差213126 104V 333.74 10mm22103.14102V330.785 10mm所以一个毛坯的体积为所以一个毛坯的体积为333.74 100.785 10V 332.96 10mm32.96 cm约有毛坯约有毛坯35.8 107.82.96250（个）（个）答：这堆毛坯约有答：这堆毛坯约有250个个学以致用学以致用 1、本节课你学到了哪些数学知识？、本节课你学到了哪些数学知识？2、本节课你能感受到哪些数学思想？、本节课你能感受到哪些数学思想？课堂小结：课堂小结：1.柱体、锥体、台体的体积13VSh锥体1()3VSSSS h台体柱体VSh SS 0S3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和.2143RR3 3球球4 4V=V=R R3 32.球的体积公式4.化归思想、极限思想.反思提升：反思提升：多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们可以用展开几何体的方式得到，球能展开可以用展开几何体的方式得到，球能展开吗？你能否用我们今天学到的球的体积公吗？你能否用我们今天学到的球的体积公式得到球的表面积公式呢？式得到球的表面积公式呢？