杨辉三角与二项式系数的性质一课件教学.pptx

1、复习提问 1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-kbk+Cnbn01kn右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；nnrnnnnCCCCC,210kn kknC ab2.二项式系数:3.二项展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的标准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:11;()kn kkkn kkknknTC ba TC ab4.在定理中，令a=1，b=x，则nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx2210)1(第1页/共36页观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-rb

2、r+Cnbn01rn为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？nnrnnnnCCCCC,210第2页/共36页你知道这是什么图表吗？你知道这是什么图表吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)601C02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C11C111211331146411510 10511615 20 1561新课引入新课引入第3页/共36页详解九章算法详解九章算法记载的表记载的表杨辉杨辉 三角三角杨辉杨辉 以

3、上二项式系数表以上二项式系数表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。世纪。杨辉三角的发现要比欧洲杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的

4、。第4页/共36页观察：从图中你能得观察：从图中你能得出哪些性质？出哪些性质？111211331146411510 10511615 20 1561思考：会证明这些性质吗？思考：会证明这些性质吗？第5页/共36页a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+=3C25C24C14+=10因为：因为：1112113311464115101051161520156

5、121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C总结提炼总结提炼1:第6页/共36页1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561对称总结提炼总结提炼2:与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二

6、项式系数相等mnnmnCC 第7页/共36页当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中间一项最大时，中间一项最大当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中间两项最大时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 2

7、6 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究知识探究3:第8页/共36页增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.1kknnCC 与与1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnn knn kCCk n kkkn kk 所以 相对于 的增减情况由 决定 knC1Cknkkn12111nkkkn21nk 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可

8、知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。还有没有其他解释呢？还有没有其他解释呢？最大项与增减性最大项与增减性第9页/共36页 可以看成以可以看成以r为自变量的函数为自变量的函数f（r），其定义域是），其定义域是0,1,n。rnC函数角度：函数角度：知识探究知识探究3:第10页/共36页当当n=6时，二项式系数时，二项式系数 （0r r6）用图象表示：）用图象表示：7个个孤立的点孤立的点rC6Or f(r)6361420图象法解释图象法解释第11页/共36页f（r）n为奇数；为奇数；如如n=72nf（r）rnO615201n为偶数；为偶数；如如n=62n20103035On743关于关于

9、r=n/2对称对称r=3和和r=4时取得最大值时取得最大值图象法解释图象法解释第12页/共36页111211331146411510 10511615 20 15612nnCn n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值；取得最大值；当当n n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得最大相等，且同时取得最大值。值。2 21 1n nn nCC2 21 1n nn nC C总结提炼总结提炼3:第13页/共36页知识探究知识探究4:012:.2nnnnnnCCCC猜想111124816326402122252324262112113311464115510 10

10、1166151520二项式系数求和：二项式系数求和：第14页/共36页012:.2nnnnnnCCCC求证启示：启示：在二项式定理中在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，可以取任意数或式子，因此我们可以通过对因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法二项式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法。令令a=b=1，则则0122nrnnnnnnCCCCC 在（在（a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2 2+C Cn nr ra an-rn-rb

11、br r+C+Cn nn nb bn n证明证明:第15页/共36页进一步思考进一步思考:（2 2）试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的和.即证：即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 小结：小结：赋值法赋值法在二项式定理中，常对在二项式定理中，常对a,b赋予一些特赋予一些特定的值定的

12、值1，-1等来整体得到所求。等来整体得到所求。还有没有其他思考方法呢？还有没有其他思考方法呢？第16页/共36页726701267(1 2)xaa xa xa xa x已知7)21()(:xxf设解721071)121()1(aaaaf赋值法0)1(a求：7321.)2(aaaa0 x（1）令70(0)(1 2 0)1,fa 即展开式右边即为0(0)1af1x（2）令211)0()1()(.0710721ffaaaaaaa第17页/共36页726701267(1 2)xaa xa xa xa x已知1357(3)aaaa7)21()(:xxf设解0127(3)(1)faaaa01237(1)f

13、aa aaa 13572()(1)(1)a aaaff 71357(1)(1)1 322ffaaaa 0246(4)2()(1)(1)aaaaff例20246(4)aaaa第18页/共36页第19页/共36页已知已知求求:(1):(1)；(2)(2)；(3)(3);(4)(4)7270127(1 2)xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 73110932 1094 2187第20页/共36页小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解23 421

14、201212:()(1).f xx xxaax a xa x 分析 设401212(1)4faaaa012312(1)0faa aaa _1:432系数和是的展开式中奇次项）（练习xxx第21页/共36页思考思考1 1求证求证:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开，两边展开后比较后比较xn的系数得：的系数得：再由再由 得得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC第22页/共36页思考思考2

15、 2求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn0121231(2)2nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法第23页/共36页121010101013579111111111111111._;_.CCCCCCCCC1021024 1021 1023 知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：01212312 2nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCC

16、CnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123122nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法第24页/共36页项的展开式中系数最大的求例10215x：类型：求展开式中系数最大的项类型：求展开式中系数最大的项方法方法:利用通项公式建立不等式组利用通项公式建立不等式组第25页/共36页思考思考3 3在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项二项式系数最大的项式系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1

17、项项.则则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即 3(r+1)2(20-r)得 2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCx y第26页/共36页（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.第27页/共36页1.1.研究斜行规律研究斜行规律2.2.研究杨辉三角与研究杨辉三角与的关系的关系第28页/共36页1.研究斜行规律：研究斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：16C 第二条斜线上：第二条斜线上：26C 第三条斜线上：第三条斜线上：36C 第四条斜线

18、上：第四条斜线上：46C 猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.第29页/共36页1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线）31 nC1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线）21 nC1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线）11 nC(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1 rnC?第30页

19、/共36页结论结论1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第m条斜条斜(从右上从右上到左下到左下)上前上前n个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第31页/共36页 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6

20、4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第32页/共36页第33页/共36页第0行11、杨辉三角的第、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点行的各数字特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第34页/共36页第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是质数(素数)第35页/共36页感谢您的欣赏第36页/共36页