概率论第二章33352课件.ppt

1、1.退化分布退化分布若随机变量若随机变量X X只取常数值只取常数值c c，即，即 PX=c=1PX=c=1这时分布函数为这时分布函数为 cxcxxI,1,0)(2.6 几个常用的离散型随机变量的概率分布律几个常用的离散型随机变量的概率分布律X服从退化分布的充要条件是服从退化分布的充要条件是DX=0，且，且EX=a.2、两点两点(0-1)分布分布 若随机变量若随机变量X的分布律为：的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0p1)则称则称X服从以服从以p为参数的为参数的0-1分布，记为分布，记为XB(1,p)。0-1分布的分布律也可写成分布的分布律也可写成X1 10 0Pp1

2、-1-p即随机变量只可能取即随机变量只可能取0 0，1 1两个值，且取两个值，且取1 1的概率为的概率为p，取取0 0的概率为的概率为1-1-p(0p00是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布，记为布，记为XP()。,2,1,0,!)(kekkXPk泊松分布的期望与方差泊松分布的期望与方差1010!(1)!kkkkkkEXkeeekkk0()!nxnxexn DX=关于泊松分布关于泊松分布 历史上泊分布是作为二项分布的近似，于历史上泊分布是作为二项分布的近似，于18371837年由法国数年由法国数学家泊松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，学家泊松引入的，

3、近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。成了概率论中最重要的几个分布之一。在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域有很突出的地位；

4、另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。生物的数目等等都服从泊松分布。二项分布的泊松二项分布的泊松(poisson)逼近逼近 在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，其中，相对地说，其中，相对地说，n n大，大，p p小，而乘积小，而乘积=np=np大小适中。在大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。这种情况下，有一个便于使用的近似公式。定理定理(泊松泊松)在贝努利试验中，以在贝努利试验中，以p pn

5、n代表事件代表事件A A在在试验中出现的概率，它与试验总数试验中出现的概率，它与试验总数n n有关，如果有关，如果npnpn n ，则当则当n n 时，时，在应用中，当在应用中，当p p相当小（一般当相当小（一般当p0.1)p0.1)时，我们用时，我们用下面近似公式下面近似公式 ekpnkbkn!),;(npkeknppnkb !)(),;(泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极泊松分布是二项分布的极限分布，限分布，当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数=np的的泊松分布。泊松分布。什么样的随机现象服从泊松分布？什么样的随机现象

6、服从泊松分布？如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，等等，都属于泊松分布的随机变量。等等，都属于泊松分布的随机变量。例例2.232.23 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品

7、，才能以0.9990.999的概率充分满的概率充分满足顾客的需要？足顾客的需要？解解 用用X表示每月销量，则表示每月销量，则XP()=P(5)。由题意，要。由题意，要求求k，使得，使得P(Xk)0.999，即，即kikiieiiXP005999.0!5)(105001.0999.01)(1!5kikiiiXPei这里的计算通过查这里的计算通过查PoissonPoisson分布表分布表(p.267-269)(p.267-269)得到，得到，=5 145001.0000698.0!5iiei135001.0002019.0!5iieii=k+1=14时时,i=k+1=13时时,k+1=14，k=1

8、3即月初进货库存即月初进货库存要要1313件。件。例例2.242.24 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3 3e-2-2。求任选一对夫妇。求任选一对夫妇,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。23)1()0(1),(eXPXPXPpX且且)2()1()0(1)3(XPXPXPXP323.051!22!121222212eeee解解 由题意由题意232eee6、几何分布几何分布 设随机变量设随机变量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3,且且P(X

9、=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，,其中其中0p0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布相应的分布函数为：相应的分布函数为：分布函数分布函数0,1,().0,xxeF x 其它指数分布的期望与方差1EX21DXxF(x)01指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性.,0,tXPsXtsXPts 有有对对于于任任意意()()()1()1()1().s ttsP Xst XsPXstXsP XsP XstF stP XsF seeF tP Xte 证 这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上可以证明这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上可以证明指数分布

10、是唯一具有上述性质的连续型分布。（证明略）指数分布是唯一具有上述性质的连续型分布。（证明略）指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。靠性研究中是最常用的一种分布形式。由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时

11、的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。例例2.282.28 电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布，(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率年的概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年年的概率为多少？的概率为多少

12、？例例2.282.28 电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布，(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率年的概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年年的概率为多少？的概率为多少？解解330()00,xexf xx,3)2()1(623edxeXPx65.135.3333)5.1()5.1,5.3()5.1|5.3()2(edxedxeXXXPXXPxx指数分布Forever Young正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一

13、，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3、正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中,(0)为常数，为常数，则称则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态正态分布分布,记为记为XN(,2)。1.若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)的图像为的图像为,21)(222)(xexfx 2EX=,DX=正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质 我们有：由高等数学中的知识，数对于正态分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有这表明：对于

14、任意的对称，曲线关于直线0 xf(x)0hh正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）越小落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小这表明，越远，离取到最大值时，当Xxfxfxfx21正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）轴为渐近线以曲线处有拐点；在曲线Oxxfyxxfy 确定所图形的位置完全由参数因此其形状轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变若xfyxxf正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）的取值越分散形越平坦，这表明的图越大时，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小

15、时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变若XxfyXxfyfxf21xf(x)01正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)Gauss)分布分布正态分布随机变量正态分布随机变量X的分布函数为的分布函数为xtdtexF222)(21)(其图像为其图像为O xF(x)12.标准正态分布标准正态分布(p60)(p60)当参数当参数 0，21时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正标准正态分布，记作态分布，记作XN(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,21)(22其其密度函数密度函数表示为表示为O x211(x)标准正态分布的密标准正态分

16、布的密度函数与分布函数度函数与分布函数的图像分别为的图像分别为可得可得)()(xx1)()(xx对于标准正态分布的分布函数对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有的函数值，书后附有标准正态分布表标准正态分布表(P.270)。表中给出了。表中给出了x0的函数值。当的函数值。当x0,F()=F()aayP X 当YYXX1y-b1y-bf(y)=F()=F()=f()aaaay当a250=PX3的值。的值。如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条线，当生产过程作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。的指标观察值落在两线之

17、外时发出警报，表明生产出现异常。6827.01)1(21)(XPXP9545.01)2(22)2(XPXP9973.01)3(23)3(XPXP 在一次试验中，正态分布的随机变量在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以落在以 为中心，为中心，3 3 为半径的区间为半径的区间(-3,+3)内的概率相当大内的概率相当大(0.9973)，即，即X几乎几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在一次试验中落在在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计。以外的概率可以忽略不计。一、离散型随机变量的函数的分布律一、离散型随机变量的函数的分布律 2.5

18、2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XP(Xxk)pk,k1,2,则当则当Yg(X)的所有取值为的所有取值为yj(j1,2,)时，时，随机变量随机变量Y有有如下分布律如下分布律：P(Yyj)qj,j1,2,其中其中qj是所有满足是所有满足g(xi)=yj的的xi对应的对应的X的概率的概率P(Xxi)pi的和，即的和，即jiyxgijxXPyYP)()()(例例2.33 2.33 设离散型随机变量设离散型随机变量X有如下分布律，试求随有如下分布律，试求随机变量机变量Y=(X-3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.5 0.10.

19、150.25解解 Y的所有可能取值为的所有可能取值为1，5，171.0)3()11)3()1(2XPXPYP65.015.05.0)5()1()51)3()5(2XPXPXPYP25.0)7()171)3()17(2XPXPYP故，故，Y的分布律为的分布律为Y1517P0.10.650.25二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布1 1、一般方法、一般方法 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为fX(x)，(-x+),Y=g(X)为随机变量为随机变量X的函数，则的函数，则Y的分布函的分布函数数为为 FY(y)P(Y y)P(g(X)y)yxgdx

20、xf)()(dyydFyfYY)()(从而从而Y的概率密度函数的概率密度函数fY(y)为为此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”其它其它,0,10,2)(xxxfXX例例2.342.34 设随机变量设随机变量求求Y=3X+5的概率密度。的概率密度。解解 先求先求Y=3X+5的分布函数的分布函数FY(y)35()53()()(yXPyXPyYPyFY35)(yXdxxf20,5,1(5),58,91,8.yyyy35035022yyxxdx035y1350y135yY的概率密度函数为的概率密度函数为其它.其它.,0,85),5(92)()(yyyFdydyfYY例例2.35 2.35 设设X

21、U-1,1,求求Y=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。例例2.35 2.35 设设X U-1,1,求求Y=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。2111()20Xxfxyg xx 其其它它ydxFyyY21其它其它01021)()(yyyFyfYY当当y0时，时，0)(yFY当当0y1时时当当y1时时1)(yFYyy解解 dxxfyXPyYPyFyxXY2)()(22 2、公式法：一般地、公式法：一般地若若XfX(x),-x,Y=g(X)是是严格单调可导严格单调可导函数函数,则则 ()|()|,()()0,XYf h yh yyYg Xf y 其它注注：1 1、

22、只有当只有当g(x)是是x的单调可导函数时，才可用以上公式推的单调可导函数时，才可用以上公式推求求Y的密度函数；的密度函数；2 2、注意定义域的选择。若、注意定义域的选择。若f(x)f(x)在有限区间在有限区间a,ba,b以外等于零，以外等于零，此时：此时：h(y)为为是是g(x)的反函数。（的反函数。（浙江大学浙江大学-概率论与数概率论与数理统计理统计(第三版第三版)P64)P64定理）定理）min(),(),max(),()gggg其中，min(),(),max(),()g a g bg a g b例例2.372.37 已知已知X N(,2),求求 XY的概率密度的概率密度例例2.372.

23、37 已知已知X N(,2),求求 解解222222121yyeeXY的概率密度的概率密度XY关于关于x严格单调，反函数为严格单调，反函数为 yyh)(故故)(|)(|)()(yfyhyhfyfXXY例例2.382.38 设设XU0,1，求，求Y=aX+b的概率密度。的概率密度。(a0)解解 Y=ax+b关于关于x严格单调，反函数为严格单调，反函数为abyyh)(故故aabyfyhyhfyfXY1)(|)(|)()(而而101()0Xxfx其其它它所以所以101()0Yybaafy其其 它它例例2.392.39 设设Y=lnY=lnXN(,2)，求，求对数正态分布的对数正态分布的概率概率密度。

24、密度。解解 X=eY关于关于y严格单调递增，反函数为严格单调递增，反函数为()lnh xx故故1()()|()|(ln)0XYfxf h xhxfxxx其中，而而22()21()2yYfyey 所以所以22(ln)210()20 xXexfxx 其其 它它小结.0-1 分 布二 项 分 布 B（n,p)泊 松 分 布 P()离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U(a,b)正 态 分 布 N(a,)指 数 分 布 E（)连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布2