线性代数讲义(18)课件.ppt

1、4.5 向量的内积向量的内积一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质二、向量的长度与性质二、向量的长度与性质及求法及求法三、正交向量组的概念三、正交向量组的概念换换四、正交矩阵与正交变四、正交矩阵与正交变五、小节、思考题五、小节、思考题定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxxnnyxyxyxyx 2211,定义定义一、内积的定义及性质的内积。的内积。与与为向量为向量称称yxyx ,说明说明1、维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义 4 nnyxyxyxT ,:,2 为为内积可用

2、矩阵记号表示内积可用矩阵记号表示向量向量都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算、内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx;,)1(xyxyyxT ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx.0,0,0,)4(xxxxx时有时有当且仅当当且仅当非负性非负性.1齐次性齐次性.2三角不等式三角不等式.3定义定义2 2 ,22221nxxxxxx 令令 .或或的的维向量维向量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 二、向量的长度及性质维向量

3、间的夹角维向量间的夹角单位向量及单位向量及n .1,5,1,33,2,2,1的夹角的夹角与与求向量求向量TT 例例解解 ,cos2262318 .4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx ,arccos,0,02 称称时时当当.的的与与维向量维向量为为yxn夹角夹角例例).()(ArAArT 证明证明证：证：.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA;0)(,0)(,0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 .,|,)(,)(,)()(0Ax0Ax0Ax0 xA0 xAxAxAxATTTT 性可推知由向量长度的非负即即则满足若,0)(0同解同解与与综

4、上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ArAArT 因此因此 证毕证毕 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念 ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交（或（或垂直垂直）.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法则必有则必有是正交向量组，是正交向量组，即若向量组即若向量组m 21)(0jijTi ,0021111 T由由.01 从而有从而有.02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故

5、故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT001111 TT 正交向量组的性质正交向量组的性质线性无关.线性无关.,则则非零向量,非零向量,是一组两两正交的是一组两两正交的,维向量维向量若若rrn 2121 定理定理1 1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 ,向量空间的向量空间的正交基正交基.,212121的正交基的正交基向量空间向量空间是是则称则称组组是两两正交的非零向量是两两正交的非零向量且且的一个基的

6、一个基是向量空间是向量空间若若VVrrr 即即 02,0,32132323213131xxxxxxTT 解之得解之得.0,231 xxx则有则有若令若令,13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 .,0,213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 解毕解毕 规范正交基规范正交基.,)(,3212121 的一个规范正交基的一个规范正交基是是则称则称向量向量两两正交且都是单位两两正交且都是单位如果如果的一个基的一个基是向量空间是向量空间维向量维向量设设定义定义VeeeeeeRVVeeenrrnr

7、 例如，例如，4 维向量组维向量组.212100,212100,002121,0021214321 eeee .4,3,2,1,1,.4,3,2,1,0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知,4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R我们称其为我们称其为自然基自然基.,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar 求规范正交基的方法求规范正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组

8、组两两两两正正交交的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV .,21范范正正交交化化这这个个基基规规把把r 我们来介绍其步骤：我们来介绍其步骤：（1）施密特正交化施密特正交化，取，取 ，11 b,1112122bbbbb 111122221111,rrrrrrrrrbbbbbbbbbbbbb .,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrraabbbb222321113133,bbbbbbbbb （2）规范化（即）规范化（即单位化）单位化），取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的一个规范

9、正交基的一个规范正交基为为那么那么Veeer.,11 称称为为的的过过程程向向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组TTTaaa)1,1,5,3(,)4,0,1,1(,)1,1,1,1(321 正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，Tab1,1,1,111 1112122,bbbabab TT1,1,1,111114114,0,1,1 T3,1,2,0 取取222321113133,bbbabbbbabab TTT3,1,2,014141,1,1,14

10、81,1,5,3 T0,2,1,1 再再单位化单位化，TTbbe 143,141,142,03,1,2,0141222 TTbbe 0,62,61,610,2,1,161333得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 TTbbe 21,21,21,211,1,1,121111 解毕解毕.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 例例 3解解.0,0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,101 21 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求亦即取把基础解系正交化，即为所求亦即取,12 a.,111212

11、3 a于是得于是得其中其中,2,1,1121 ,1012 a.12121101211103 a 解毕解毕4例例组，组，是两两正交的单位向量是两两正交的单位向量已知已知zyx,；求内积求内积 zyxzyx43,523)1(:解zzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxzyxzyxTTTTTTTTTT205158261239)43()523(43,523 单位向量单位向量正交向量正交向量312029 .352)2(kkzyxzyx正交，求正交，求与与若向量若向量 解解 依题意，应有依题意，应有0)3()52(kzyxzyxTzzkyyxxkzyxzyxTTTT523)3()52(而而k523

12、 故由故由0523 k解解得得1 k 解毕解毕证明证明:IAAATn 则则，若若记记 ,21定义定义4 4 ,1为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAIAAAnTT 定理定理2 2四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA正交矩阵正交矩阵.InTnTT ,2121InTnTnTnnTTTnTTT 212221212111 njijijiijjTi,2,1,0;,1 当当当当 100010001.定理得证定理得证定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为称为正正交变换交变

13、换Pxy P性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明:,为正交变换为正交变换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则有则有例例 5 5 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 1213121121312111,02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列作内积，考察矩阵的第一列和第二列作内积，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 10001000

14、1由于由于 9794949491989498912 解毕解毕1 1将一组基向量规范正交化的方法：将一组基向量规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化 ;11TAA ;2IAAT ;3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A .4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1,1,1,11 ,1,1,1,12 3,1,1,23 正交正交思考题:),(则由题意可得则由题意可得设所求向量为设所求向量为dcbax 解解思考题解答 .032,0,0,1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261,0,1322(:x解之可得解之可得).263,261,0,1322(x或或