线性代数讲义(22)课件.ppt

1、1由由CH4.3知知,矩阵的秩矩阵的秩,是矩阵在初等变换下的是矩阵在初等变换下的 不变的指标不变的指标.等价的矩阵有相同的秩等价的矩阵有相同的秩,对同型的矩阵对同型的矩阵秩相同时必等价秩相同时必等价.向量组也有一个重要的指标向量组也有一个重要的指标秩秩,它与矩阵它与矩阵的秩有密切联系的秩有密切联系.2定义定义5.3.1 设设 1,2,m 是一个向量组是一个向量组,i1,i2,ir(r 0)是它的一个部分组是它的一个部分组,则称则称 i1,i2,ir 是向量组是向量组 1,2,m 的一个的一个如果如果(1)i1,i2,ir 线性无关线性无关;(2)对任意对任意 j=1,2,m,i1,i2,ir,

2、j 线性相关线性相关;.这里这里,r=0 表示部分组是空集表示部分组是空集.于是于是,极大线性无关组首先是线性无关的极大线性无关组首先是线性无关的,还要是极大的还要是极大的,极大性表现在极大性表现在 再添加向量进去再添加向量进去 就不线性无关了就不线性无关了,即线性相关了即线性相关了.3对向量组对向量组 1,2,m,可以可以从从一个一个线性无关的线性无关的逐步扩充逐步扩充,最后得到一个极大线性无关组最后得到一个极大线性无关组.如果这个向量组中全是零向量如果这个向量组中全是零向量,则它没有线性无关则它没有线性无关 的部分组的部分组,此时此时,认为空集是它的一个极大线性无认为空集是它的一个极大线性

3、无 关组关组,极大线性无关组所含的向量个数为零极大线性无关组所含的向量个数为零.以下假设向量组以下假设向量组 1,2,m 中含有非零向量中含有非零向量,不妨设不妨设 1 ,则由则由 1 一个向量组成的向量组是线性无关的一个向量组成的向量组是线性无关的,如果添加每个向量如果添加每个向量 j 到到 1 上得到的向量组上得到的向量组 1,j 部分组部分组出发出发,都线性相关都线性相关,则则 1 就是一个极大线性无关组就是一个极大线性无关组;4如果存在某个向量如果存在某个向量,例如例如 2,无关的无关的,则对则对 1,2 进行类似讨论进行类似讨论,使得使得 1,2 是线性是线性 如此继续下去如此继续下

4、去.由于向量组由于向量组 1,2,m 中只有有限多个向量中只有有限多个向量,所以这样的过程只能进行有限步所以这样的过程只能进行有限步,最后可以找到一最后可以找到一 个部分组个部分组,例如例如 1,2,r,使得使得 1,2,r 线性线性 无关无关,但对任意但对任意j 都有都有1,2,r,j 是线性相关的是线性相关的,这样的部分组这样的部分组 1,2,r 就是向量组就是向量组 1,2,m 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.注意到注意到,如果如果 1,2,m 是线性无关的是线性无关的,则则 1,2,m 本身就是本身就是 1,2,m 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.5所以所以,每个向

5、量组都有极大线性无关组每个向量组都有极大线性无关组.空集是极大线性无关组空集是极大线性无关组(此时认为它所含此时认为它所含 的向量个数为的向量个数为0)的充要条件是的充要条件是 这个向量组中的向量都是零向量这个向量组中的向量都是零向量.对同一个向量组对同一个向量组,它的不同的极大线性无关组中它的不同的极大线性无关组中 所含的向量个数是否相同所含的向量个数是否相同?下面通过一个命题和一个下面通过一个命题和一个 定理解决这个问题定理解决这个问题.6命题命题5.3.1 如果如果向量组向量组 1,2,m 线性无关线性无关,则以则以 1,2,m 为列向量的矩阵为列向量的矩阵 =(1 2 m)的秩为的秩为

6、 m,反之亦然反之亦然.证明证明 向量组向量组 1,2,m 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 齐次线性方程组齐次线性方程组这个齐次线性方程组只有零解这个齐次线性方程组只有零解x11+x22+xmm=只有零解只有零解.而根据推论而根据推论4.3.1,的充要条件是的充要条件是 其系数矩阵其系数矩阵 A 的秩等于的秩等于 m.7定理定理5.3.1 如果如果向量组向量组 i1,i2,ir 是向量组是向量组 1,2,m 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组,证明证明 交换向量交换向量 1,2,m 的顺序的顺序,则则 r 就是以就是以 1,2,m 为列向量的矩阵为列向量的矩阵 =(1 2 m)

7、的秩的秩.不妨设不妨设 1,2,r 是一个极大线性无关组是一个极大线性无关组,则则 r+1,m 中的每一个向量都可以由中的每一个向量都可以由 1,2,r 线性表出线性表出.于是于是,将将 的前的前 r 列的某些倍数加到第列的某些倍数加到第 r+1,m 列上即可消去这后面的列上即可消去这后面的 m r 列列,例如例如,若若r+1=k11+k22+krr,则将则将 的第的第 1 列的列的 k1倍倍,第第 2 列的列的 k2 倍倍,第第 r 列的列的 kr 倍倍,都加到都加到第第 r+1 列上列上,则第则第 r+1 列就成为零向量了列就成为零向量了.8即即,对对 作一系列的初等列变换可以将作一系列的

8、初等列变换可以将 化为化为 矩阵矩阵 1=(1 2 r ),而矩阵而矩阵 1 的秩与的秩与 矩阵矩阵2=(1 2 r)的秩相同的秩相同.根据上面的命题根据上面的命题4.3.1,矩阵矩阵 2 的秩就是的秩就是 r,所以所以矩阵矩阵 的秩为的秩为 r.根据上面的定理根据上面的定理4.3.1,向量组向量组 1,2,m 的任的任 意两个极大线性无关组都含有意两个极大线性无关组都含有相同的向量相同的向量个数个数,称此称此“个数个数”为向量组为向量组 1,2,m 的的秩秩.假设向量组假设向量组(I)是向量组是向量组(II)的部分组的部分组,则由于则由于(I)的极大线性无关组可以扩充为的极大线性无关组可以扩

9、充为(II)的极大线性无关组的极大线性无关组,所以向量组所以向量组(I)的秩小于等于向量组的秩小于等于向量组(II)的秩的秩.9推论推论5.3.1 设设 是一个是一个 n m 矩阵矩阵,则则 的秩等于其的秩等于其 列向量组的秩列向量组的秩,也等于其行向量组的秩也等于其行向量组的秩.证明证明 记记 的列向量组为的列向量组为 1,2,m,则由上面的定理则由上面的定理5.3.1,向量组向量组 1,2,m 的秩等于的秩等于 的秩的秩.另一方面另一方面,rank()=rank(T),而矩阵而矩阵 T 的列向量组就是的列向量组就是 的行向量组的行向量组,对对 T 的利用上面的定理的利用上面的定理5.3.1

10、,即得即得 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于 的秩的秩.注意注意:上面命题中矩阵上面命题中矩阵 的列向量是的列向量是 n 维的维的,但其行向量是但其行向量是 m 维的维的.10命题命题5.3.2 如果向量组如果向量组 1,2,s 可以由向量组可以由向量组 1,2,t 线性表出线性表出,证明证明 令以令以 1,2,s 为列向量的矩阵为为列向量的矩阵为,以下证明以下证明 rank()rank(),从而结论成立从而结论成立.则则1,2,s 的秩小于等的秩小于等 于于 1,2,t 的秩的秩.以以 1,2,t 为列向量的矩阵为为列向量的矩阵为,因为因为 的列向量组是的列向量组是()的列向量组的部

11、分组的列向量组的部分组,由推论由推论5.3.1及及 p.89 l.8 的说明知的说明知 rank()rank(),同理可得同理可得 rank()rank(),11若向量组若向量组 1,2,s 可以由向量组可以由向量组 1,2,t 线性表出线性表出,于是于是,()的前的前 s 列的每一列都是后列的每一列都是后 t 列的线性组合列的线性组合.则将后则将后 t 列的适当倍数加到前列的适当倍数加到前 s 列的一列上列的一列上,就可以将这一列化为零就可以将这一列化为零.例如例如,若若1=k1 1+k2 2+kt t,则将则将()的第的第 s+1 列列 就把第就把第 1 列变成了零列变成了零.的的 k1倍

12、倍,第第 s+2 列的列的 k2 倍倍,第第 s+t 列的列的 kt 倍倍,都加到都加到 第第 1 列上列上.这样的过程实际上是作一系列初等列变换这样的过程实际上是作一系列初等列变换.所以对所以对()的作初等列变换可以化为的作初等列变换可以化为(),因此因此 rank()=rank()=rank().所以所以 rank()rank()=rank().12推论推论5.3.2 等价的向量组具有相同的秩等价的向量组具有相同的秩.例例 1 rank()min rank(),rank().证明证明 只需证明只需证明 rank()rank().类似方法可以证明类似方法可以证明 rank()rank().令

13、令 =(1 2 n),=(bij)n m,=(1 2 m),则则 j=b1j1+b2j2+bnjn,j=1,2,m.即即 的列向量组的列向量组(1 2 m)可以由可以由 的列向量组的列向量组(1 2 n)线性表出线性表出,由推论由推论5.3.1,这两个向量组的秩分别为这两个向量组的秩分别为 rank()和和 rank(),再由命题再由命题5.3.2,rank()rank().p.89 例例1 13例例 2 rank(+)rank()+rank().证明证明 令令 =(1 2 n),=(1 2 n),即即 +的列向量组可以由向量组的列向量组可以由向量组线性表出线性表出.由命题由命题5.3.2,则

14、则 +=(1+1 2+2 n+n),1,2,n,1,2,n rank(+)rank(1,2,n,1,2,n).因为向量组因为向量组 1,2,n,1,2,n 可以由可以由1,2,n 的极大线性无关组和的极大线性无关组和 1,2,n 的极大线性的极大线性 无关组线性表出无关组线性表出.而两个无关组总共只有而两个无关组总共只有 rank()+rank()个向量个向量.p.90 例例2 14补充例补充例1 证证 设设 为为 n 阶矩阵阶矩阵,证明证明rank(+)+rank()n.(+)+()=2,rank(+)+rank()rank(2)=n,由上例由上例,而而 rank()=rank(),rank

15、(+)+rank()n.15推论推论5.3.1建立了建立了向量组的秩向量组的秩与与矩阵的秩矩阵的秩的关系的关系.据此可以对矩阵的秩作进一步讨论据此可以对矩阵的秩作进一步讨论.n 阶方阵阶方阵 的秩等于的秩等于 n 的充要条件是的充要条件是|0,再由推论再由推论5.3.1,根据定理根据定理4.4.1和定理和定理4.4.2,这等价于这等价于 的行向量组线性无关的行向量组线性无关,的列向量组也线性无关的列向量组也线性无关.16定理定理5.3.2 设设 是是 n 阶方阵阶方阵,则下列结论等价则下列结论等价:(1)为可逆矩阵为可逆矩阵;(2)rank()=n;(3)|0;(4)的行向量组线性无关的行向量

16、组线性无关;(5)的列向量组线性无关的列向量组线性无关.17例例 3 判别向量组判别向量组 1=,2013 2=,2 1 0 3线性相关还是线性无关线性相关还是线性无关.p.90 例例3 3=,21 12 说明说明 CH5.2 中通过验证齐次线性方程组中通过验证齐次线性方程组 x11+x22+xmm=是否有非零解来判断是否有非零解来判断 1,2,m 是否线性相关是否线性相关.对于对于 n 个个 n 维向量维向量 组成的组成的 向量组向量组(构成构成 n 阶方阵阶方阵 ),4=,2 1 0 4由定理由定理5.3.2,可以用可以用|是否为零来验证其线性相关性是否为零来验证其线性相关性.18解解 2

17、 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 03 3 2 4|=以这以这 4 个向量作为列的行列式个向量作为列的行列式 2 0 2 1 1 1 3 5 4 =2 0.0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 1 00 3 5 4=0 2 01 1 13 5 4 所以所以 1,2,3,4 线性无关线性无关.19一般的矩阵是否可以用行列式来求秩呢一般的矩阵是否可以用行列式来求秩呢?这需要了解这需要了解“不同维数的向量的线性相关性不同维数的向量的线性相关性”的关系的关系,即即 对对 一个向量组中的向量一个向量组中的向量 在相同位置在相同位置添加分量添加分量 而得到的而得到的 一组同维数的新的高维数向量组

18、一组同维数的新的高维数向量组,对对这两个这两个向量组的向量组的线性相关性之间的关系线性相关性之间的关系.20定理定理5.3.3 设设 1,2,s 是一组是一组 n 维向量维向量,证明证明 不妨假设不妨假设 1,2,s 是由是由 1,2,s 添加添加 在在1,2,后后 r 个向量得到的个向量得到的.,s 的相同位置的相同位置 添加添加 r 个分量个分量 得到得到 n+r 维向量维向量 1,2,s.如果如果 1,2,s 线性无关线性无关,则则 1,2,s 也线性无关也线性无关.考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组 x1 1+x2 2+xs s=,它是由齐次线性方程组它是由齐次线性方程组 x11+x

19、22+xss=再再 添加添加 r 个方程得到的个方程得到的.根据假设根据假设,1,2,s 是线性是线性 无关的无关的,方程组方程组 x11+x22+xss=只有零解只有零解.方程组方程组 x1 1+x2 2+xs s=也只有零解也只有零解.1,2,s 线性无关线性无关.21例例4 则则 1,2,s 与与 1,2,s 具有相同的线性关系具有相同的线性关系,用矩阵的方法求向量组的极大线性无关组用矩阵的方法求向量组的极大线性无关组.设设 1,2,s 是一组向量是一组向量,对对 作初等作初等行行变换变换(不能作列变换不能作列变换)变成变成 =(1 2 s).于是于是,1,2,s 中的一部分向量中的一部

20、分向量 线性相关线性相关 或或 线性线性 无关无关 或或 其中的一个向量是其余向量的线性组合其中的一个向量是其余向量的线性组合 令矩阵令矩阵 =(1 2 s),即即 ki1i1+ki2i2+kirir=1,2,s 中对应序号的向量是中对应序号的向量是 线性相关线性相关 或或 线性无关线性无关 或或 其中的一个向量是其余向量的线性组合其中的一个向量是其余向量的线性组合.ki1 i1+ki2 i2+kir ir=.p.91 例例4 22对对 作作初等初等行行变换变换(不能作列变换不能作列变换),将它化成将它化成 行阶梯行阶梯形形,则在台阶处的向量就构成一个极大线性则在台阶处的向量就构成一个极大线性

21、 无关组无关组.并可较方便地得到并可较方便地得到一个向量是此极大无关一个向量是此极大无关组组的线性组合的表达形式的线性组合的表达形式.例如例如,对于对于例例5.2.2 的的 4 个向量个向量 3=,2100 1=,112 1 2=,0 3 33 4=1 5 110 23对其系数矩阵作初等变换对其系数矩阵作初等变换 1 0 2 11 3 1 52 3 0 1 1 3 0 10 初等行变换初等行变换1 0 0 90 3 0 190 0 1 5 0 0 0 0 所以所以 1,2,3 是一个极大线性无关组是一个极大线性无关组.1,2,4 也是一个极大线性无关组也是一个极大线性无关组.而且还有而且还有

22、4=91+2 53.19 324定义定义 在在 m n 矩阵矩阵 中任取中任取 r 行行 r 列列(r m,r n),位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 r2 个元素个元素,不改变它们在不改变它们在 中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的 r 阶行列式阶行列式,称为称为A.25引理引理5.3.1 设设 是一个是一个 m n 矩阵矩阵,假设假设 有一个有一个 r 阶阶 子式子式 M 不为零不为零,则则 M 所在的行组成的行向量组是线所在的行组成的行向量组是线性无关的性无关的,所在的列组成的列向量组也是线性无关的所在的列组成的列向量组也是线性无关的.证明证明 不妨假设不妨假设 M 处于

23、处于 的左上角的左上角,令令 的左上角的的左上角的 r r 矩阵为矩阵为 1,则则 M=|1|,根据假设根据假设,|1|0,所以所以,1 的行向量组线性无关的行向量组线性无关,列向量组也线性无关列向量组也线性无关,而而 M 所在的行组成的行向量组是所在的行组成的行向量组是 1 的行向量组添加的行向量组添加 n r 个分量得到的个分量得到的.根据定理根据定理5.3.3,M 所在的行组成行向量组是线性无关的所在的行组成行向量组是线性无关的.同理同理,M 所在的列组成的列向量组也是线性无关的所在的列组成的列向量组也是线性无关的.26定理定理5.3.4 设设 是一个是一个 m n 矩阵矩阵,则则ran

24、k()=max r|存在非零的存在非零的 r 阶子式阶子式.证明证明 如果如果 有一个有一个 r 阶子式阶子式 M 0,则则 M 所在的所在的 r 个行组成的行向量组是线性无关的个行组成的行向量组是线性无关的,而而 rank()=的行向量组的秩的行向量组的秩,rank()r.为证明定理为证明定理,以下证明以下证明:若若 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,则则 rank()r.只需证明只需证明 若若 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,则则 的任意的任意 r 行都线性相关行都线性相关.下面证明下面证明 的前的前 r 行行 1,2,r 线性相关线性相关:27令令 1 是以

25、是以 1,2,r 为行向量的矩阵为行向量的矩阵,则根据假设则根据假设,1 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,考虑考虑 1 的列向量的列向量.由由“1 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零”可以看出可以看出,1 的任意的任意 r 个列向量个列向量(构成的矩阵是方阵构成的矩阵是方阵,行列式行列式=0)都线性相关都线性相关,它们都是它们都是 r 维列向量维列向量.因此因此 1 的列向量组的秩小于的列向量组的秩小于 r.因为因为 1 的列向量组的秩的列向量组的秩=rank(1)所以所以 1 的行向量组线性相关的行向量组线性相关.=1 的行向量组的秩的行向量组的秩 r.因此因此

26、的前的前 r 行行 1,2,r 线性相关线性相关.28定义定义5.3.2 设设 是一个是一个 m n 矩阵矩阵,如果如果 rank()=m,则称则称 是是,如果如果 rank()=n,则称则称 是是,如果存在如果存在 n m 矩阵矩阵 使得使得 =m,则称则称 是是,如果存在如果存在 n m 矩阵矩阵 使得使得 =n,则称则称 是是,是是 的一个的一个;是是 的一个的一个;根据定义根据定义,对对n m 矩阵矩阵,是是 的的向量组是线性无关的向量组是线性无关的.是是 的的向量组是线性无关的向量组是线性无关的.29定理定理5.3.5 设设 是一个是一个 m n 矩阵矩阵,则则 是是,是是,证明证明 略略.(p.92)例例 5 设设 是列满秩是列满秩 m n 矩阵矩阵,则对任意则对任意,p.93 例例5 证明证明 根据定理根据定理5.3.5,是有左逆是有左逆,由由 =,必有必有 =.设设 是是 的一个左逆矩阵的一个左逆矩阵,则则 =n.用用 左乘左乘 =,即得即得 =.30