1、第八节空间向量及其运算第八节空间向量及其运算(B)考纲点击1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘2.了解空间向量的基本定理3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质热点提示以选择题或填空题考查用向量法解决立体几何问题的能力.v1空间向量及其加减与数乘运算v在空间，具有_的量叫做向量_的有向线段表示同一向量或相等的向量，空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量对应运算的推广v空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：v加法交换律：ab_；v加法结合律：(ab)c_；v数乘分配律：(ab)_.大小和方向大小和方向同向且等长同向且等长baa(bc)abv2共线向量与共面向量v如果表示向
2、量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做共线向量或平行向量v_同一平面的向量叫做共面向量v共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_.v共面向量定理：如果两个向量a，b_，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使pxayb.互相平互相平行或重合行或重合平行于平行于不共线不共线存在实数存在实数，使，使ab不共面不共面 不共面不共面 ab0 aa(ab)abac v1若a、b、c为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()vAa，ab，abvBb，ab，abvCc，ab，ab vDab，ab，a2bv【解析】易知A、B、D中的三个向量共面v【答案
3、】Cv2若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()vA(ab)ca(bc)vB(ab)cacbcvCm(ab)mambvD(ab)ca(bc)v【解析】(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线，v故(ab)ca(bc)不一定成立v【答案】D【答案【答案】A【答案【答案】锐角三角形锐角三角形v5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab与2ab互相垂直，则k_.空间向量的线性运空间向量的线性运 v【思路点拨】结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可v用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手v(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来v
4、(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系v(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘共线向量定理、共面向量定理的应用共线向量定理、共面向量定理的应用 利用向量法证明平行与垂直问题利用向量法证明平行与垂直问题 v1.要用共线向量定理证明向量a，b所在的直线平行，除证明ab外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外v2利用空间向量证明线面平行，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b，已知直线的方向向量为a，证明ab即可v3利用空间向量证明两条异
5、面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量a，b，只要证明ab，即ab0即可v4证明线面垂直：直线l，平面，要证l，只要在l上取一个非零向量p，在内取两个不共线的向量a、b，问题转化为证明pa且pb，也就是ap0且bp0.v5证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线线平行，线线垂直v空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合v(12分)如图所示，空间四边形 ABCD，连结对角线AC和BD，E、F分别是 BC、AD的中点，ABBCCDDAACBDa.v(1)求证：EF是异面直线BC、AD的公垂线；v(2)求异面直线BC、AD间
6、的距离v(3)求异面直线AE与CF所成角的余弦值v用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：v(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？v(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？v(3)所需要的向量若不能用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？v(4)怎样对已表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【答案【答案】Dv2(2009年安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_v【解析】设M(0，y,0)由|MA|MB|得v(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.vM(0，1,0)v【答案】(0，1,0)v4深刻理解立体几何中的向量方法，体会向量给研究几何问题带来的便利v(1)求线段长度问题，可利用|a|2a2，将求模运算转化为向量运算；v(2)证明平行问题，可以转化为向量共线或共面问题；v(3)证明垂直问题，只需证明向量的数量积为0；v(4)求异面直线所成的角，可以转化为两向量的夹角课时提能精练点击进入链接
