离散型连续型和的分布课件.ppt

1、概率统计概率统计下页结束返回一、离散型一、离散型二、连续型（和的分布）二、连续型（和的分布）下页3.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布概率统计概率统计下页结束返回例例1已知已知(X,Y)的联合分布律的联合分布律,-1,0,2,3,5,且且求求 Z=X+Y的概率分布的概率分布.解：解：Z=X+Y 的所有可能取值为的所有可能取值为PZ=-1=PX+Y=-1=PX=-1,Y=0=1/10,PZ=0=PX+Y=0=PX=-1,Y=1=1/20,PZ=2=PX+Y=2=PX=-1,Y=3+PX=2,Y=0=3/20+3/10,P 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2

2、3 5 下页一、离散型一、离散型同理，同理，PZ=3=0，PZ=5=4/20.所求分布律为所求分布律为 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY概率统计概率统计下页结束返回nYXP0,nkPXk ynk 例例2.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且分别服从参数为相互独立，且分别服从参数为l l1与与l l2 的的Possion分布，令分布，令Z=X+Y，试求，试求Z的分布律的分布律.解：解：由随机变量由随机变量X与与Y的取值都是的取值都是 0,1,2,可知可知Z=X+Y的的取值也是取值也是 0,1,2,对于对于n=0,1,2,有有P ZnnkknYkXP

3、0，nkknkeknek02121!llll nkknYPkXP0nkknkknke021!121llllnkknkknknne021!21llllnkknkknCne021!21llllnne21!21llll 即即 Z=X+Y服从参数为服从参数为l l1+l l2的的Possion分布分布.下页概率统计概率统计下页结束返回()zF zP Zzzyxdxyyxf),(,).z xf x y dy dx(,),zf x ux dxdu()(,).zfzf x zx dx交换积分秩序下页二、连续型二、连续型问题：问题：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度的

4、概率密度fZ(z).根据分布函数定义有根据分布函数定义有对对z求导，得求导，得Z的概率密度的概率密度fZ(z)为为(,)Df x y dxdyP XYzx+y=zxyo令令 u=x+y,()(,)zzF zf x ux du dx则则y=u-x,dy=du,于是有于是有概率统计概率统计下页结束返回()()();zXYfzfx fzx dx()()().zXYfzfzy fy dy下页问题：问题：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度的概率密度fZ(z).()(,).zfzf x zx dx()(,).zfzf zy y dyZ的概率密度的概率密度fZ(z)

5、为为二、连续型二、连续型卷积公式卷积公式若若X,Y相互独立，则相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y)，代入上式得，代入上式得由对称性可得由对称性可得概率统计概率统计下页结束返回 例例3 3设设X和和Y是两个互相独立的随机变量，且是两个互相独立的随机变量，且XN(0,1),YN(0,1)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解：解：由于由于X,Y互相独立，由卷积公式得互相独立，由卷积公式得dxxzfxfzfYXz)()()(dxexzx2)(222212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421224411.222zzeedxeexzx2)(2222121下页()()

6、(),zXYfzfx fzx dx()()().zXYfzfzy fy dy卷积公式卷积公式从而有，从而有，Z=X+YN(0,2).概率统计概率统计下页结束返回014.XYZXYZ 设随机变量与相互独立，都服从区间，上的均匀分布，令，试求随机变量的密例度函数由题意可知 1,01,0,Xxfx其它 1,01,0,Yyfy其它，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ解:下页概率统计概率统计下页结束返回02,zz若，或 0;Zfz 01z若，zZdxzf01;z dxxzfxfzfYXZ10,10 xzxxz0 xz1 xz0112 111zZdxzf2.z 12z若，ZX

7、 Y 的密度函数为,012,12.0,Zzzfzzz其它下页概率统计概率统计下页结束返回 dxxzfxfzfYXZ10,10 xzxxz0 xz1 xz0112下页方法小结方法小结：确定非零联合密度对应的积分变量的区间：确定非零联合密度对应的积分变量的区间：确定确定fX(x),fY(z-x)各自的非零定义域各自的非零定义域A与与B；A与与B的交集即为所求的交集即为所求.确定积分变量的积分限：确定积分变量的积分限：将将A与与B的交集映射成平面坐标系中的区域；的交集映射成平面坐标系中的区域；根据根据(变常数变常数)z的变化，确定的变化，确定x的变化范围的变化范围.记忆要点记忆要点：连续类型巧计算，

8、连续类型巧计算，技巧在于积分限；技巧在于积分限；边缘密度非零域，边缘密度非零域，交集映射便可见交集映射便可见.概率统计概率统计下页结束返回5011XYXYZXYZl 设随机变量与 相互独立，服从区间，上的均匀分布，服从的指数分布，令，试例求随机变量的.密度函数由题意可知 1,01,0,Xxfx其它,0,0,0yYeyfyy，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ解:下页概率统计概率统计下页结束返回0z 若，0;Zfz 01z若，,dxxzfxfzfYXZ0,10 xzxxz0 xz011 zxzZdxezf0)(11;ze zxzdxee01z 若，10)(dxezf

9、xzZ1.zzee 10dxeexz 10,01,01.,1zZzzzfzezeez 的密度函数为所以，Z下页概率统计概率统计下页结束返回作业：71页页 18补充题：补充题：设设X,Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，用如下，用卷积公式求卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数的概率密度函数.2,0,1().0,Yyyfy其它1,0,1(),0,Xxfx其它结束概率统计概率统计下页结束返回02,zz 若，或0;Zfz01z 若，202();zZfzzx dxz dxxzfxfzfYXZ10,10 xzxxz0 xz1 xz0112 1212()2.Zzfzzx dxzz12z若，ZX

10、Y的密度函数为下页22,01()2,12.0,zzzfzzzz当当其 它 补充题：补充题：设设X,Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，用卷积公式求如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数的概率密度函数.2,0,1().0,Yyyfy其 它1,0,1(),0,Xxfx其 它解解:概率统计概率统计下页结束返回2,0,1().0,Yyyfy其它解解：用分布函数法用分布函数法例例6.6.设设X,Y相互独立相互独立,fX(x)和和fY(y)如下如下,求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.1,0,1(),0,Xxfx其它zyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x

11、+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当z2时，时，Fz(z)=1；下页)(zYXPzFZ1xyxy011220 xy2xy当当0z1时，时，zxzZzydydxzF003;3/2)(概率统计概率统计下页结束返回zyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当10的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.下页)(zYXPzFZ解解：用分布函数法用分布函数法例例6.6.设设X,Y相互独立相互独立,fX(x)和和fY(y)如下如下,求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.2,0,1().0,Yyyfy其它1,0,1(),0,Xxfx其它