现代控制理论能控性和能观测性课件.pptx

1、第三章 能控性和能观测性 线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。卡尔曼 这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。点击观看第一节 线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（

2、如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一 离散系统的状态可控性引例 设单输入离散状态方程为：1122112xkxkxkxku k 初始状态为：120101xx，用递推法可解得状态序列：11222112221101011200201211221122011,11kkxxxxuukxxxxuuukkxkxk 1222211220211kkkx kx ku kuuu k可看出状态变量 只能在+1或-1之间周期变化，不受 的控制，不能从初态 转移到任意给定的状态，以致影响状态向量 也不能在 作用

3、下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。设单输入离散系统状态方程为：10 x 1x k 12Tx kx k，u k u k 1kku k xxg(3-1)式中，为n维状态向量；为纯量，且在区间 是常数，其幅值不受约束；为 维非奇异矩阵，为系统矩阵；g为 维输入矩阵：k表示kT离散瞬时，T为采样周期。kx u k1kk，n n1n初始状态任意给定，设为 ；终端状态任意给定，设为 为研究方便，且不失一般性地假定 。0 x nx 0n x单输入离散系统状态可控性定义如

4、下 在有限时间间隔 内，存在无约束的阶梯控制号 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。0 tnT 0u 1u,1u n 0 x 0n x可导出可控性应满足的条件。按定义，令 ，且 ，方程两端左乘 ，给出：kn 0n xn 11120120011011niningu iuuu nuuu n xgggggg(3-3)121nSggg令(3-4)1100kkkiiku i xxg(3-2)由方程(3-1)的解该阵为 维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含n个方程，含n个未知数 ,。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方程有解，

5、否则无解。在 任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵 满秩，即n n 0u,1u n1S 10Sx 0 x1S1rankn S(3-5)或能控阵 的行列式不为零1S10 Sdet(3-6)或能控阵 是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定 ，可求出确定的 ，,。1S 0 x 0u,1u n 1u已知满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘，其秩不变，故n1 S1nS11nnnggg grankrank rank(3-7)使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩

6、阵 。1S1Sg交换矩阵的列7，且记为 ，其秩也不变，于是有：1S221nnn gggggrankrank1S(3-8)当rank 时，系统不可控，不存在能使任意 转移到 的控制。1nS 0 x 0n x从以上推导看出，当 不受约束时，能使任意 转移到 意味着至多经过n个采样周期便可完成转移，而n乃是 系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。u k 0 x 0n x 00 x nx 以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态则方程(3-2)变为：1100nnniinu i xxg(3-9)方程两端左乘n，有 120101nnuunu n xxggg(3-10)该式左端完全可看作任意给定的另一

7、初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定 是不失一般性的。0n x例3-1 利用递推法研究下列离散系统 1001102201101kku k xx初态为 ，试选择 ，使系统状态在 时转移到零。2 1 0Tn x 0 x 1x 2x3n 提示：点击观看解解 令0，1，2，得状态序列 2110020011uu xxg 3232200122111122021024311uuuuuuu xxgxggg令 ，即解如下方程组：30 x 1110222011231124uuu系数矩阵即能控阵，当其非奇异时，可解出：1011 12122 012231 14uuu 11122225111

8、121122481102即取 时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。0511128uuu，若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究 时是否存在 令 ，解如下方程组：20 x 01uu，20 x 11202061110uu容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为 3，两个秩不等，故无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。112206110例3-2 试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。1110223113n 1S2ggg2111102240113Sggg解 rankrankrank或 故能控。例3-3 设 同例3

9、-1，试判断能控性。0 x、121Tg11122213111 1S2ggg解 rankrankrank故不能控。关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：1kkk xxGu(3-11)式中 为 维控制向量，为 维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量 ，,，使系统从任意初态 转移到 。ku1pGnp 0u 1u,1u n 0 x 0n x方程(3-11)的解为：1100kkkiiki xxGu(3-12)令 ，且两端左乘 得：kn，n 11012120011011niinninuuu n xGuGuGuGuGGG(3-13)121n SGGG令(3-14

10、)该阵为 维矩阵；同 ,子列向量构成的控制列向量是 维的。式(3-13)含有n个方程，个待求控制量。由于初态 可任意给定，根据解存在定理，唯有矩阵 的秩为n时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：,1u n 0unnpnp1np 0 x2 S02Srank2n Srank rankrankrankrankrank(3-18)(3-17)(3-16)(3-15)或或或20 S2 S2nS12nnnGGG G2S221nnnGGGGG式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解不唯一，可以任

11、意假定 个控制量，其余n个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。npn例3-4 试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：1ikkkxxGu式中1222100010201201001401010i GG，；解:计算 1120204G212404110G221110012240102041004110SGGG故显见由前三列组成的矩阵的行列式0010100100det故rank ，系统可控。23S22222011223000000100112SGGG显见出现全零行，rank ，故不能控。223S多输入系统能控阵 ，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见 矩阵的秩为n，便不

12、必把 矩阵的所有列都写出。有时可通过计算 的秩是否为n来判断多输入系统的能控性。这是因为，当 非奇异时，必非奇异，而 为方阵，只需计算一次n阶行列式即可确定能控性，但在计算 时，可能需多次计算n阶行列式。2S22TS S2S2S2S2S22TS S22TS S在多输入系统中，使任意初态 转移至原点一般可少于n个采样周期。见例3-4，令 ，可给出；0 x0k ，10 x 1000i xxG u 1121202100010000010210132120100223iuuuu xGu则 已知 ，若能唯一确定 ，便表示能在第一个采样周期将 转移到原点。1200uu、0 x 0 x二 连续系统的状态能控

13、性引例引例 设单输入连续系统方程为：1122xxxu 22xx 其中，第二个方程只与状态变量 本身有关，且与 无关，是不能控状态变量；受 控制，是能控状态变量。从状态变量图3-1显见 可影响 而不能影响 ，于是使状态微量不能 在 作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。2xu1x2x1xuuu为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。式中 为元素埏是 的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘 得：BI A fBIAII A(3-22)关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论 设n阶矩阵A的特征多项式为：(3-19)1110nnnfaaaIA 11100nnnf

14、aaaAAAAI证明 据逆矩阵定义有：1fBBIAIA(3-21)则矩阵A满足(3-20)IA 由于 的元素 代数余子式，均为 次多项式，故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：B1n 121210nnnnBBBBB(3-23)式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：(3-24)12121321001110nnnnnnnnnnnaaaBBB ABBABB AB AIIII利用两端 同次项相等的条件有：121132201100nnnnnnnaaaaBIBBAIBBAIBB AIB AI(3-25)111211212322201100nnnnnnnnnnnnnnnaa

15、aaB AABAB AABABAAB A BAAB AI将式(3-25)按顺序两端右乘，可得：(3-26)将式(3-26)中各式相加有：1212100nnnnnfaaaaAAAAAI得证(3-27)推论1 矩阵可表为的次多项式：(3-28)121210nnnnnaaaa AAAAI112121012212112102102121212321 211 101 00nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa aAAAAAAAAAAIAAAAAAAI故 可一般表为A的 次多项式：kknA1n10nkmmmknAA式中 均与A阵元素有关。利用推

16、论1可简化计算矩阵的幂。m(3-29)1201A例3-5 已知 ，求100?A解 为二阶矩阵，先列定的特征多项式：据凯莱-哈密尔顿定理：2n 221IA 220fAAAI22 AAI32222 232AAAAAAIAAI故432323 2243AAAAAA IAAI据数学归纳法有：1kkkAAI100100 200990120010099010009901AAI故推论2 矩阵指数可表为的次多项式：10ntmmmetAA(3-30)2 211112 21112212210212121232121110112!1!111!1!112!1!1!11!Atnnn nnnkknnnnnnnnnnnnnn

17、nnetttntttnnktttnaaaaatnaaaaanaaaaaaIAAAAAAIAAAAAAAIAAAA 11021012110nnnnnmmmaattttttIIAAAA由于(3-31)式中 1001 01111 1021221 20111112111!1!11!1!1112!1!1111!1!nnnnnnnnnnnnnnnntata atnnttata aa tnnttata aa tnntta taatnnn (3-32)均为幂函数，在时间区间 内，不同时刻构成的向量组 是线性无关向量组，这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线性组合。010100nfnftt，0ft，10nA

18、tmmmetA同理，11001011111211211111!1!11111!111!nnnnnnnnnnnnnnnta taa tnnattatnnaatn 其中(3-34)(3-33)(3-35)设单输入连续系统状态方程为 uxAxb其状态能控性定义如下：在有限的时间间隔 内，存在无约束的分段连续控制函数 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称此系统是状态完全能控的，简称是能控的。0fttt u t 0tx ftx 方程(3-19)的解为：00000()0fffftfffttttA tttttttudeteud Axxbxb(3-36)为状态转移矩阵。为导出能控性应满足的条件，仍可不

19、失一般性地假定 ，及，于是有 ：0ftt00t 0ftx(3-37)000ffftA tAteeudxb00ftAeudxb故(3-38)利用凯莱-哈密尔顿定理，可推论出如下结果（证明见本问题末）：110110nAmnmnmeI AAA即用无穷级数 表示的可改用A的 次多项式来表示；并经证明，其 都是时间 的不同幂函数，并且向量 是线性无关向量。于是有 Ae1n 01,n 01,n(3-40)(3-39)1000fntmmmud xAb 00,1,1ftmmuudmn令(3-41)为纯量；则mu 11011001110nmmmnmnnAuuuuuuu xbbAbAbbAbAb13nSbAbAb

20、令(3-42)(3-43)式(3-40)为单输入连续系统能控性矩阵，为维矩阵。据解存在定理，单输入连续系统完全能控的充要条件是：3nSrank以上推导完全可推广到多输入系统。设多输入系统状态方程为：xAxBu式中u为 维向量，B为 维输入矩阵。有：np1p(3-44)01001000ffftntmmmntmmmeddd AxBuA BuA Bu(3-45)00,1,1ftmmdmnuu令 为 维向量；则1pmu(3-47)(3-46)11011001110nmnmnmnnAxbuBuABuA BuuuB ABA Bu14nSBABAB令 式(3-47)为多输入连续系统可控性矩阵，为 维矩阵，为

21、 维列向量。于是，多输入连续系统状态完全能控的充要条件是：nnp01,Tnuu1np4nSrank(3-48)以上推导显见，状态能控性只与状态方程中 矩阵有关。若系统能控，同其 对称为能控对；亦然。AB、AB、G、例3-6 判断下列状态方程的能控性：1122010101u xxxx解 计算能控阵 的秩：30 1rankrankrank21 0nSbAb3S故可控。例3-7 判断下列状态方程的能控性：11122233132210201101311xxuxxuxx 解 计算能控阵 的秩：4S24213254rankrankrank112244112244SB AB AB显见第二、三行元素相同。ra

22、nk ，故不能控。423S三 A为对角阵、约当阵的能控性判据为了进一步研究系统的特性，有时经线性将系统矩阵已化成对角形或约当形，此时应用能控性矩阵可导出判断能控性的直观简捷的方法。引例 设状态方程系统矩阵已对角化及输入矩阵分别为：112200bbAb；其能控性矩阵 的行列式为：11 132 121 12222detdetbbb bb bbbSbAB3S 时系统可控，于是要求：当A有相异根 时，应存在 。若 ，则该系统始终是不能控的。也就是说，A阵对角化且具有相异根时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断能控；而若对角化A阵中含有相同元素，则不能这样判断。设状态方程系统矩阵已约当化及其输入矩阵分别

23、为：3det0S121200bb，12111210bbAb；其能性矩阵 的行列式为：3S11 12231 1 21 122221 2detdetbbbbbbbbbbb SbAb 时系统能控，于是要求：或为任何非零数值。也就是说，A阵仅含约当块时，输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行没有全零行，即可判断系统能控。3det0S2100bb；允许以上判断方法可推广到对角化、约当化的阶系统。设系统状态方程如下：1112111112122222221200ppnnnppnnnrrruxxrrruxxrrruxx (3-49)矩阵A已对角化，为系统相异特征值。展开式（3-49）可见，每个方程只含有一个状态

24、变量，状态变量之间解除了耦合，这时，只要 方程中含有某一个控制量，便可控，这意味着输入矩阵第i行不得出现全零行。在 方程中不含任一控 制量的情况下，与控制无关，自然是不能控的，于是能控性条件可表达为：1,nix ixix ixA为对角形且元素各异时，输入矩阵中不得出现全零行。A为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能控性矩阵的秩条件来判断。设系统状态方程如下：11121111121222212231323333312100pppnnnppnnnrrruxxrrruxxrrruxxrrruxx (3-50)系统具有二重根 及相异根 ；从展开方程

25、可见，各方程的状态变量是解耦的，因此上述对角化情况下的判据仍适用；而 方程中既含 又含 ，在 受控条件下，即使 方程中不出现控制量，也可通过 间接地传送控制作用，使 仍是能控的。也就是说，输入矩阵的第一行允许为全零行或非零行。于是A阵含有约当块，即可分块对角化的情况下，系统能控条件可表达为：13,n2,nxx2x1x 1x2x1x 2x1x输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行，不得出现全零（与约当块其它行所对应的行允许全零）；输入矩阵中与相异根对应的行不得出现全零行。当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约当块时，例如 111100000上述判断方法不适用。这时，矩阵看作两个约当

26、块，在分块对角化情况下，两个分块又是元素相同，故不适用，仍应以能控性矩阵的秩来判断。例3-8 下列系统不能控：1122201010 xxuxx 为元素各异的对角阵，阵出现全零行。Ab1.1122101011xxuxx 2.A为对角阵但含有相同元素，阵虽无全零行，仍是不能控的。由于b311011S3.11122233310210300000132xxuxxuxx A为约当形，B阵中与约当块最后一行对应的行全零。例3-9下列系统是能控的：1122201032xxuxx 1.11122233110000101000201xxuxxuxx 2.11122113322344335536610000001

27、010100010000100 xxxxuxxuxxuxxxx3.四 能控标准形问题 设单输入线性定常系统状态方程形如：11221101210100000100000101nnnnnxxxxuxxxaaaax (3-51)显见这是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故 ，一定是可控的。这就是形如式(3-51)中的A、称作可控标准形名称的由来。30Sb计算能控性矩阵 ：3S113121210001000001011nnnnnnaaaaaSbAbAb(3-52)一个能控系统，若其矩阵A、b不具能控形形式，则一定可选择适当变换化为能控标准形。(3-54)(3-55)进行 变换，即令1P1xP z变

28、换为1uzPAP zPb设能控系统状态方程为 uxAxb(3-53)101210100000100000101naaaa PAPPb；要求(3-56)先总结提出关于变换矩阵 的求法如下：P 计算可控性矩阵 ；计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般表示式为：13nSbAbAb13S11121212221312nnnnnnsssssssssS(3-58)取出 的最后一行，即第n行，构成 行向量：1p13S112nnnnpsss(3-59)按如下方式构造变换阵：1111npp APp A(3-60)便是可化为能控标准形的矩阵。下面来对上述原理步骤加以证明。设变换矩阵 ，式中 为行向量，则根据 阵变换要求式(

29、3-56),应满足：12TTTTnPppp1,nppAP1122332211012210100000100000000001nnnnnnnnaaaaappppppApppppp(3-61)增补一个方程，将式(3-62)整理为：111221321111nnnnppp App App App Ap(3-63)展开之：12232110112n-2n-1n-2nnnnnn p App AppAppApp Aa pa papap(3-62)111011111nnnn p AAp Aa pa p Aap A210121nnnaaaa AIAAA而由两端恒等关系有：该等式乃是凯莱-哈密尔顿定理的定义式，是自

30、然满足的。故由式(3-63)可得出变换矩阵 为：P112111nnpppp APpp A两端转置可得：1101npbAbAb该式表出变换矩阵p中的 ，乃是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是以上原理步骤得证。1p11101npbAbAb故(3-65)另根据b阵变换要求式(3-56)，p应满足：1111001n pp Abp A(3-64)五五 输出能控性输出能控性如果需要控制的是输出量，而不是状态，则需研究输出能控性。输出能控性定义为：在有限时间间隔 内，存在无约束分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控的，简称是输出能控的。0fttt tu 0ty f

31、ty输出能控性的判据推导如下：设系统的动态方程为xAxBuyCxDu 01001000()()()()ffffftttntmmmntmmmeedaudaud AACxCBuDuCA BDuCA BDu可不失一般性地令 ，于是0fty式中 为 维，为 维。状态方程的解为：1pu1qy 00ffftttfteedAAxxBu则输出为：00ffftttfteedAAyCxCBuDu(3-66)215nSCB CAB CA BCAB D令(3-68)0()()ftmmaduu令 0210121012110ffftttmmnnnnee AACxCA BuDuCBuCABuCA BuCABuDuuuCB

32、CAB CA BCAB Duu则(3-67)状态能控性与输出能控性是两个概念，其间没有什么必然联系。式(3-68)为输出能控性矩阵，是 维矩阵。与状态能控性研究相似，输出能控的充要条件是：输出能控性矩阵的秩为输出变量的数目 ，即1qnpq5detqS(3-69)例3-10 判断下列系统的状态能控性和输出能控性：1122011121xxuxx1210 xyx 解 状态能控阵 为：3S3311011SbAbS，故状态不可控。输出能控阵 为：5S5110SCb CAbD故输出能控。5det1qS第二节 线性定常系统的能观测性一 离散系统的能观测性引例 设单输入离散系统动态方程为 1122110112

33、11xkxku kxkxk 1210 xky kxk用递推法求解第 采样时刻的输出量：12iii、11210iixiixyx 11221110111010100211x ix iy iu ixixix iu i 1221212210210101110101010202111x iy ixix iu iu ixix iu iu i 可看出在已知 的情况下，在第 步便可由输入、输出确定 ，而输出中始终不含有 ，于是 不能由输出量观测到，是不能观测的状态变量。系统中只要有一个状态变量不能由输出量观测到，就称该系统不完全可观测，简称不能观测。能观测特性与系统矩阵及输出矩阵密切相关，是系统的一种固有特性

34、。下面只对多输出情况进行一般分析。1u iu i，i 1ix2x2x离散系统能观测性定义如下：已知输入 的情况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出 ，能唯一地确定任意初始状态 的n个分量，则称系统是完全能观测的，简称是能观测的。01nuu，011n yyy，0 x设多输入-多输出离散系统动态方程为：1kk xx kGu kkkyCxDu状态方程的解 1100kkkiikk xxGu 1100kkkiikik yCxCGuDu则(3-70)(3-71)既然均为已知，研究能观测性问题时可不失一般性地简化动态方程为：1k xx k(3-72)若将式(3-71)右边后两项移至左边合并起来，仍为已知量

35、，其方程性质同式(3-75)。展开式(3-75)有：1001010nnyCxyCxyCx(3-76)kkyCx 0kk xx其状态方程的解：00,1,1kkknyCx及(3-75)(3-74)(3-73)式中 各代表 个方程，共计 个方程，含有 个未知量。写成矩阵向量形式：01n yy，qnq 0 xn 121001001nnn yxCyxCxCy11TnCCVC令(3-77)(3-78)式(3-78)为 维能观测性矩阵。在式(3-75)的 个方程中若有 个独立方程，便可确定唯一的一组 故系统能观测的充要条件是：nqn 100nxx，nqn 例3-11 判断下列系统的能观测性：10kk xxg

36、u 1,2ikkiyC x(3-79)1rankTnV由于 ，故系统能观测的充要条件通常表示为：11rankrankTVV11rankranknTTTTTTnVCCC 为离散系统能观测性矩阵，显见只与 矩阵有关1VC、(3-80)101202113021 g；12001010;100CC解计算能观测性矩阵：2111003124010TTTTT CCC；(1)100312430010V故系统可观测。2111013192000000102113TTTTTCCC；(2)1013192000000102113V显见 矩阵出现全零行，故 ，系统不能观测。1rank23V1V本例看出，输出矩阵为 时，第

37、步便同输出确定了 ；当 时便可确定 ；当 时便可确定 ，对三阶系统来说，在三步以内能由 ，测得全部状态，故能观测。而输出矩阵为 时，1C 2y kxk，k2x 223112y kx kx kx k 3x 2321221143y kxkxkxkx k 1x y k1y k 2y k 2C 31xkkxky 31311313211xkxkxkkxkxkxky 133313133121921123xkxkxkxkkxkxkxkxky可看出在三步内，其输出始终不含 ，故 是不能观测状态。以上分析表明，能观测性是与 有关的；确定后，则与 的选择有关。2x2xC、C二 连续系统的能观测性连续系统的能观测性

38、定义如下：已知输入 ，通过在有限时间间隔 内量测到的输出 ，能唯一确定任意初始状态 的每一分量，则称系统是完全能观测的，简称是能观测的。tu0fttt ty 0tx设连续系统动态方程为：xAxBuyCxDu状态方程的解：000tA t tA ttttdxexeBu 000tA t tA ttttdyCexCeBuDu则已知 、A、B、C、D，可不失一般性地假定 及 于是有：u0u00t 10101101110000nAtmmmnnqqnqnttttttttyCe xCA xCCACAxCCAIIIxCA式中 为 阶单位矩阵，是为将 记为向量矩阵形式而引入的。已知 的 列线性无关，于是根据测得的

39、 值可唯一确定 的充要条件是：维矩阵 的秩为n，即qIq ty 01qnqttII，nq 0 xnqn ty2TV2TV1nnCCACArankrankrankrank rankrank由于rank rank rank rank ，故连续系统能观测的充要条件通常表示为：21nTTTTTTTnCA CACAC2TV2TV2Vrankrank 、均称能观测性矩阵。若系统能观测，则其 对称为能观测对，亦然。2TV2VAC，C，例3-12 判断下列连续系统的可观测性：20310011 Abc；112110111011ABC；1.2.解解 计算能观测性矩阵 ：2V rank rank rank ，故不能

40、观测。2VTTT c A c121200 rank rank rank 故可观测。1110201122VTTT c A c 三 A为对角阵、约当阵的能观测性判据 当系统矩阵已化成对角形或约当形时，应用能观测性矩阵导出判断能观测性的简捷方法。引例 设对角化系统矩阵及输出矩阵为：112200ccAc，能观测性矩阵 的行列式为：2V11 12 1 21 1 2222ccc cc cccTTT C A C2Vdet det 当det 时系统能观测，于是要求：20V当 有相异根 时，应存在 。若 ，该系统始终不能观测。也就是说，阵对角化且具有相异根时，只需根据输出矩阵没有全零列即可判断能观测；对角化阵中

41、含有相同元素时，则不能这样判断。1200cc，A1212A设约当化系统矩阵及输出矩阵为 112110ccAc，能观测性矩阵 的行列式为：2V11 1211211 1 212122cccccc cccccTTT C A Cdet det 2V只要 系统便能观测；允许 为零或为任何非零数值。也就是说，阵仅含约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列没有全零列，即可判断系统能观测。10c ，2cA以上判据方法可推广到对角化、约当化的 阶系统 n设系统动态方程（已令 而不失一般性）为：11122200nnnxxxxxx 1112111112222212nnqqqnnncccyxcccyxcccyx

42、0u 其中 为对角阵且元素各异，这时状态变量间解除了耦合。容易写出状态方程的解：A t x 121121000000ntttnxexesxe IAx 1211111212221000ntntntqqnnnexccyccyexccyex显见当输出矩阵中第一列全零时，在输出量 中均不含有 ，是不能观测的。A为对角化且元素各异时，系统能观测的充要条件可表示为：输出矩阵中没有全零列。12,qy yy 10 x 10 xA为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能观测性矩阵的秩条件来判断。系统矩阵中含有二重特征值 及相异特征值 ，。动态方程的解：13n1

43、11212333100nnnxxxxxxxx 111111nqqqnnyccxyccx设系统动态方程如下：1113112233000000ntttttnnxxetexxexxexxe 11231111122212231333100000nttntntntqqnnnccye xte xccyexccyexccyex 输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不得全零（允许输 出矩阵中与约当块其它列对应的列为全零）；输出矩阵A中与阵中相异特征值对应的列不得全零。显见输出矩阵第一列全零时，输出量 均不含有 ；若第一列不全零，必有输出量，既含有 ，又含有 ，于是输出矩阵第二列允许全零。故A阵为约当形时，系统能

44、观测条件必满足如下两个条件：1qyy，10 x 20 x 10 x当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约 111100000当块时，例如 上述判断方法不适用，其分析见能控判断，这时仍应以能观测性矩阵的秩来判断。例3-13 判断下列系统的能观测性：11112222333210200020;001005xxxyxxxyxxx 1.1112223334445551101;50 2 0 0212102xxxxxxxxyxxxxxxx 2.11122220;1 003xxxyxxx3.11122210;1 101xxxyxxx4.11112222333210020020;001003xx

45、xyxxxyxxx 5.1112223334445551101;50 0 2 0212102xxxxxxxxyxxxxxxx 6.解解 1.约当块第一列位于系统矩阵第一列，而输出矩阵第一列不全零；相异根位于系统矩阵第三列，而输出阵第三列也不全零，故能观测。2含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一列及第三列，其输出阵第一、三列不全零，故能观测。3A已对角化且元素各异，但输出阵有全零列，故不能观 测。4A已对角化但元素相同，输出阵虽无全零列，也不能观 测。5约当块第一列位于系统矩阵第一列，但输出阵第一列全 零，故不能观测。6含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一、三列，但输出阵中第三列为全

46、零列，故不能观测。四 能观测标准形问题 设单输入线性定常系统动态方程（单输入为例）为：20112122223312111000100010001000nnnnnnnnxaxrxaxrxaxruxaxrxaxr 12001nxxydux计算能观测性矩阵 ：2V112121110001000001011nnTTTTTnnnnaaaaaVC A CAC显见这是一个右下三角阵，一定是能观测的，这就是形如式(3-92)、式(3-93)中的A、C称作能观测标准形名称的由来。20V一个能观测系统，若其矩阵A、C不具能观测标准形时，定可选择适当变换化为能观测标准形，其变换矩阵的求法见对偶原理一节。五 线性变换

47、的特性在前面所作的分析中，为了便于研究系统各种特性，需对系统进行线性变换，所有这些变换都是满秩线性变换，如将A阵化对角形或约当形需进行P变换，将A、b化为能控标准形需进行 变换，将A、C化为可观测标准形需进行 变换等等。引入线性变换后，对于系统的特性，如特征值、可控性、可观测性，是否会引起改变呢？下面来分析论证。1PTPxAxBuyCxDu设系统动态方程为：以引入 变换为例，即令 ，于是变换后：xPzP11zP APzP BzPzyCDu 1.1.线性变换后系统特征值不变。线性变换后系统特征值不变。证明 列出变换后系统矩阵的特征多项式：11111111PPaIP APPP APPIP APPI

48、A PPIA PPPIAIIAIA表明与变换前特征多项式相同，故特征值不变。2.2.线性变换后系统能控性不变。线性变换后系统能控性不变。证明 列出变换后可控性矩阵的秩：41rankrankrankrankrankPrank1111211n 1111111111n 111121n 12n 12SP B,(P AP)P B,(P AP)P B,(P AP)P BP B,P AB,(P AP)(P AP)P B,(P AP)(P AP)P BP B,P AB,P A B,P ABB,AB,A B,ABB,AB,A n 1B,AB表明与变换前能控性矩阵的秩相同，故系统能控性不变。3.线性变换后系统能观

49、测性不变。证明 列出变换后可观测性矩阵的秩：2rankrankrankrankrankT1TT12 TT1n 1 TTTTTT11TT2TT1TTTn 1TT1TTTTTT2TTn 1TTTTT2TTnV(CP),(P AP)(CP),(P AP)(CP),(P AP)(CP)P C,P A(P)P C,P(A)(P)P C,P(A)(P)P CP C,A C,(A)C,(A)C C,A C,(A)C,(A1TT)C表明与变换前能观测性矩阵的秩相同，故系统能观测性不变。4 4线性变换后系统传递矩阵不变线性变换后系统传递矩阵不变（其证明见第一章第四节）。第三节 能控性、能观测性与传递函数（矩阵）

50、关系 描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性；传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。这是又一种判断系统的能控性、能观测性的判据，是在s域内的判据。一 单输入-单输出系统设系统动态方程为：uxAxby cx当A阵具有相异特征值 时，引入满秩线性变换 一定可使A对角化，得：1,nxPz1111222200nnnnzzrzzruzzr 其传递函数 ：G s 11122121122121 12