概率论34节两个随机变量的函数的分布课件.ppt

1、.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXfZYXZZYX 为了解决类似的问题为了解决类似的问题,下面下面我们讨论两个随机变量函数的分布我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的分布律的分布律求求YXYX

2、概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 221,122 121,121)2,3(122)0,3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 2,21122 1,21121)2,3(122)0,3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,结论结论的的

3、联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,2,1,jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXfZ ),(kkzYXfPzZP .,2,1),(kpjikyxfzij例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318.012.042.028.0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P

4、18.012.042.028.0YXZ 3557所以所以YXZ P35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105.05.0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相互独立相互独立与与因为因为YX),max(iYXP,iYiXP ,iYiXP 0),max(YXP0,0P,212 1),max(YXP1,11,00,1PPP 222212121

5、 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221的分布函数为则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),(xyOzyx yxyxpyzdd),(yux yuyyupzdd),(.dd),(uyyyupz 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 1.Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 与与Y 对称对称,当当 X,Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zpZ,d)()(

6、)(yypyzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.221(),2xXpxex 解 由于解 由于.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由公式.)2,0(分布分布服从服从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze 22()221()d2xzxZpzeex xeezxzd212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从

7、正态分布则则相互独立且相互独立且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.其它其它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解:由卷积公式由卷积公式 1010 xzx也即也即 zxzx110为确定积

8、分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是 dxxzpxpzpYXZ)()()(.的概率密度的概率密度求电阻求电阻其它其它它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121.,0,100,5010)(,RRRxxxpRRRR 解解的概率密度为的概率密度为由题意知由题意知 R.d)()()(xxzpxpzpR例例6 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zx

9、zxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零 xxzpxpzpR)1(.,0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其它zzRzxxzpxpzxxzpxpzp .,0,100,5010)(其它将xxxp此时此时2.极值分布极值分布),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX)(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP 1 1

10、1zYPzXP ).(1)(11zFzFYX ),min(),max(YXNYXM 及及令令故有故有),()()(maxzFzFzFYX).(1)(11)(minzFzFzFYX 00()()2.25(),(),0,0,min(,).()1(0)()1(0)()1 1()1()1(0)()()(0)xuxXyvyYzZXYzZXExpYExpXYZX YFxeduexFyedveyZFzFzFzezP zezZEx 例已知与 相互独立 求的分布密度解 由题设知则 的分布函数为则说明().p解解),max(54321XXXXXD 设设例例2.4),max(:.,0,0,1)(:,55432182

11、543212的概率的概率试求试求其它其它且都服从同一分布且都服从同一分布机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随察值为察值为得到的观得到的观次次测量了测量了对某种电子装置的输出对某种电子装置的输出 XXXXXzezFXXXXXze,)()(5maxzFzF 因因为为41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所以所以.),(iii),(ii),(i),2121图所示图所示如如开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLL

12、LXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例3度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL ,0,0,0,)(xxexfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就就停停止止工工作作系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时由由于于当当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0,0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL ,0,0,0,1)(xxexFxX ,0,0,0,)(xxexfxX ,0,0,0,)(yyeyfyY ;0,0,0,)(yyeyfyY由由 .0,0

13、,0,1)(yyeyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX .0,0,0,1)(zzez .0,0,0,)()()(minzzezfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为的分布函数为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX .0,0,0),1)(1(zzeezz .0,0,0,)()()(maxzzeeezfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL精品课件精品课件！精品课件精品课件！,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()(zyyzyee0)(d zyzyee0)(d备用的情况备用的情况(iii)