流体力学第04章流体动力学基础课件.ppt

1、12 一、粘性流体运动微分方程一、粘性流体运动微分方程根据牛顿第二定律：(质量力表面力)ma写出 x 方向动力平衡方程式 同理可得其它方向动力平衡方程式 dtdudxdydzdxdydzzdxdydxdzdyydxdzdydzdxxppdydzpdxdydzfxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxxfyfzfdyyppyyyydxxppxxxxdzzppzzzzxxpzzpyypdyyxyxydyyyzyzdxxxyxydxxxzxzdzzzxzxdzzzyzyxzxyzxzyyzyx3在简单剪切流动中应用牛顿内摩擦定律：三个方向的运动方程三个方向的运动方程1()yxxxxzxxdupfdt

2、xyz1()yxyyyzyydupfdtxyz1()yzxzzzzzdupfdtxyz化简可得纳维斯托克斯方程()()()yzyzzyxzzxxzyxxyyxuuyzuuzxuuxy4 纳维斯托克斯（纳维斯托克斯（Navier-StokesNavier-Stokes）方程）方程（NS方程）222222222222222222111xxxxxyyyyyzzzzzuuudupfvxxyzdtuuudupfvyxyzdtuuudupfvzxyzdt5上式可以写成拉普拉斯算式dtduuvzpfdtduuvypfdtduuvxpfzzzyyyxxx222111zuuyuuxuutuuvzpfzuuyuu

3、xuutuuvypfzuuyuuxuutuuvxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx2221116上两式就是适用于不可压缩粘滞性液体的运动微分方程式，一般通称之为纳维斯托克斯方程式。如果液体没有粘滞性（即理想液体）则 ，于是纳维斯托克斯方程式就变成理想液体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则 均等于零，于是纳维斯托克斯方程式就变成静水力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯方程式是不可压缩液体的普遍方程式。0vdtdudtdudtduzyx,7 理想流体，得：欧拉方程0dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx111二、无粘性流体运动微分方程二、无粘性流体运动微分方

4、程8 例例 试用纳维斯托克斯方程式求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）9解：解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为 x 轴，则 。现取纳维斯托克斯方程组中第一式来看 恒定流时，。质量力只有重力时，因 ，所以 。由连续方程式 ，可知 。0,0zyxuuuzuuyuuxuutuzuyuxuvxpfxzxyxxxxxxx22222210tux0 xf0zyuu0,0,0,0zuyuzuuyuuzyxzxy0zuyuxuzyx0 xux10 由此可得，。将以上各值代入纳维斯托克斯方程组第一式，可简化为 因 ，所以 并不沿 x 方向而变化，由上式可知 与 x 无关，

5、即动水压强沿 x 轴方向的变化率 是一个常数，可写成0,022xuxuuxxx2222xxuupxyz0 xuxxuxpxpLpxp常数11式中 为沿 x 方向长度为 L 的管段上的压强降落。由于压强是沿水流方向下降的，所以应在 前加一负号。因为圆管中的液流是轴对称的，相同，而且 y 与 z 都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数 r。而 与 x 无关，仅为 r 的函数，所以 对 r 的偏导数可以直接写成全导数。pp2222zuyuxx与xuxu22222222drudruzuyuxxxx12或 将上式积分 利用轴心处的条件 ，得 。故 222xd upLdr222xd updrL 12xd

6、uprCdrL 0,0drdurx01C13再积分，得 利用管壁处的条件 故 上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按抛物面的规律分布的。2xduprdrL 224xpurCL 2020,0,4xprr uCrL得220()4xpurrL14 一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分 沿流线积分得 以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为 在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力，即U=-gz，带入得dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx1112/(/2)xyzf dxf dyf dzdpd u2/2UpuC15Cgugpz22对微小流

7、束上任意两个过水断面有：16：液体某一点处的几何高度、单位重量液体的位能；：单位重量液体的压能、压强水头；：单位重量液体的动能、流速水头。该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家伯诺里伯诺里（Bernoulli）于1738年首先推导出来的。gugpzgugpz2222222111gpgu2217三、粘性流体元流的伯怒利方程三、粘性流体元流的伯怒利方程 无粘性流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，其总机械能保持不变。对粘性流体，令单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量为 。则1-1断面和2-

8、2断面能量方程为：上式为不可压缩粘性流体恒定元流的能量方程式。应用中需将其对就总流过水断面积分推广为总流的能量方程。2222211122whgugpzgugpzwh18 一、渐变流及其性质一、渐变流及其性质1 渐变流的过流断面近于平面，面上各点速度方向近于平渐变流的过流断面近于平面，面上各点速度方向近于平行。行。2 渐变流的过流断面上的动水压强与静水压强分布规律相渐变流的过流断面上的动水压强与静水压强分布规律相同。同。19二、恒定总流能量方程的推导二、恒定总流能量方程的推导 不可压缩粘性流体恒定流微小流束的能量方程为 各项乘以 ，并分别在总流的两个过水断面A1及A2上积分得：222221112

9、2whgugpzgugpzgdQgdQhgdQgugdQgpzgdQgugdQgpzQwQQQQ222221112)(2)(20共含有三种类型积分：1第一类积分第一类积分 若过水断面为渐变流，则在断面上 积分可得 QQdQggpzgdQgpz)()(gQgpz)(gdQgpzQ)(Cgpz)(21 2第二类积分第二类积分 因 所以 式中 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于1；不均匀分布时，1；在渐变流时，一般 =1.051.1。为计算简便起见，通常取 1。22222332QAdAugdQguAQAudAuA33gdQguQ22udAdQ 22 3第三类积分第三类积分 假定各个微小流束单位

10、重量液体所损失的能量 都用一个平均值 来代替则第三类积分变为：得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。上式反映了总流中不同过水断面上()值和断面平均流速v的变化规律。wQwQwQhdQghdQh21222222111122whggpzggpzQgdQhwwhwhgpz23三、恒定总流能量方程的几何意义三、恒定总流能量方程的几何意义 实际液体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。其中Z代表总流过水断面上单位重量液体所具有的平均位能，一般称为位置水头。代表过水断面上单位重量液体所具有的平均压能，反映了过水断面上各点平均动水压强所对应的压强高度。称为测压管水头。代表过水断面上单位重量液体所具有的平均动

11、能，一般称为流速水头。为单位重量液体从一个过水断面流至另一个过水断面克服水流阻力作功所损失的平均能量，一般称为水头损失。单位重量液体所具有总机械能称为总水头，用 表示。gpgpzgv22whgvgpzH2224四、水头线和测压管水头线四、水头线和测压管水头线粘性流体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线（直线或曲线）：而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。25 总水头线坡度：总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用 J 来表示。dLdhdLdHJw26应用恒定总流能量方程的条件及注意之点应用恒定总流能量方程的条件及注意之点 应用条件：1

12、水流必须是恒定流。2作用于液体上的质量力只有重力。3在所选的两个过水断面上，水流应符合渐变流条 件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是 渐变流。4.在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其 间没有流量加入或分出。27五、补充论述五、补充论述1 气流的伯怒利方程（不讲）气流的伯怒利方程（不讲）2 流程中途有能量输入或输出时的能量方程流程中途有能量输入或输出时的能量方程 28 上式中 为1-1至2-2断面间，通过外加设备使单位重量液体所获得或减少的机械能。当为输入能量时，式中 前符号取“+”号，输出能量时取“”号。对马达和抽水机 对水轮机与发电机 tHggPZ221111whggpz222222

13、tHtHgQPHpptgQPHggt29 3 针对水流分支和汇合能量方程应用：针对水流分支和汇合能量方程应用：因总流能量方程中的各项都是指单位重量液体的能量，所以在水流有分支或汇合的情况下，仍可分别对每一支水流建立能量方程式。如图所示两支会合的水流，从1-1断面及2-2断面在单位时间内输入的液体总能量，应当等于3-3断面输出的总能量加上两支水流能量损失。322311233333222222211111)2()2()2(wwhgQhgQgvgpzgQgvgpzgQgvgpzgQ12330 因 Q3=Q1+Q2 有 上式若要左端两项之和等于零，必须是要求各自分别为零，因为根据其物理意义，它每一项是

14、表示其一支水流的输入总能量与输出总能量之差，因此它不可能是一项为正，另一项为负。即 对每一支有0)2()2()2()2(32233332222223123333211111wwhgvgpzgvgpzQhgvgpzgvgpzQ3223333222223123333211112222wwhgvgpzgvgpzhgvgpzgvgpz31 注意点：注意点：1基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。2能量方程中 项，可以用相对压强，也可以有绝对压强，但对同 一问题必须采用相同的标准。gp32 3在计算过水断面的测压管水头值 时，可以选取过水断面上任意点来计算，以计

15、算方便为宜。对于管道一般可选管轴中心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。4不同过水断面上的动能修正系数 与 严格讲来是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数情况可令 =1，但在某些特殊情况下，其值需根据具体情况酌定。gpz211233能量方程应用举例能量方程应用举例 1、毕托管测流速、毕托管测流速 弯管前端封闭，侧面弯管前端封闭，侧面 孔置于测点孔置于测点A，水面，水面 上升高度上升高度h1，则，则A点点 处水流总能量处水流总能量 ；同一弯；同一弯 管侧面不开孔，前端开孔，置于管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻挡点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转

16、化为压能，故，流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得则可得 22122ApuuHhggghghhguhguh2)(221222134 修正原因：（1）两个小孔的位置不同。（2）毕托管放入水流中所产生的扰动影响。称为毕托管的校正系数，一般 约为0.98-1.0。hgu235362、文丘里流量计、文丘里流量计 文丘里是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。对1-1和2-2断面写总流的能量方程。不计水头损失有 而 whgvgpzgvgpz222222221111gvvhhh221222122112)(ddvv

17、37 由于12断面之间有能量损失，实际流量要比上述值偏小，这个误差一般用文丘里管流量系数来改正，即流量系数 约为0.950.98，一般通过试验率定获得。所以有 因此通过文丘里流量计的流量为 式中hKQ1)(2442121ddgdK1)(242121ddgvh1)(24211ddghvhKddghdvAQ1)(24421211138 例例 有一直径缓慢变化的锥形水管（如图），1-1断面处直径d1为0.15m，中心点A的相对压强为7.2kpa，2-2断面处直径d2为0.3m，中心点B的相对压强为6.1kpa,断面平均流速 为1.5m/s，A、B两点高差为1米，试判别管中水流方向，并求1、2两断面的

18、水头损失。239 因 ，管中水流应从A流向B。水头损失 mggpz57.28.9268.92.702221111mggpz74.18.925.18.91.61222222ggpzggpz222222221111mggpzggpzhw83.074.157.2)2()2(222222111140 质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。今在恒定总流中，取出某一 流段来研究。该流段两端过 水断面为1-1及2-2。经微小时 段dt后，设原流段1-2移至新 的位置1-2。流段内动量的变化 应等于1-2与1-2流段内液体的动量P1-2

19、和P1-2之差。p41 有有 而而 故有故有 任取一微小流束任取一微小流束MN，微小流束，微小流束1-1流段内液体的动量流段内液体的动量 。对断面。对断面A1积分有积分有 同理同理 采用断面平均流速采用断面平均流速v代替代替u，有，有 2121ppp211121ppp222121ppp1122ppp111udtdAu111111111dAuudtdtdAuupAA2222222222dAuudtdtdAuupAA111111111QvdtdAudtpA2222222222QvdtdAudtpA42 其中其中 动量修正系数是表示单位动量修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应

20、的断面平时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。常采用均流速通过的动量的比值。常采用 ，因为，因为 故有：故有：于是得恒定总流的动量方程为：于是得恒定总流的动量方程为：在直角坐标系中在直角坐标系中 的投影为：的投影为：FQ)(1122zzzyyyxxxFQFQFQ)()()(112211221122AvdAuQvdAuuAA220.1QQQ21)(1122vvQdtp43 上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。体。FvQvQvQ111333222如图所示分叉管路，当对分如图所示分叉管路，当对分叉段叉段 水流

21、应用动量方程，水流应用动量方程，可以把沿管壁以及上下游过可以把沿管壁以及上下游过水断面所组成的封闭体作为水断面所组成的封闭体作为控制体，此时该封闭体的动控制体，此时该封闭体的动量方程为量方程为 44 应用动量方程式时要注意以下各点：应用动量方程式时要注意以下各点：1动量方程式是矢量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。2控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一般都是取过水断面。3动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。45 4对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若所求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若所求得的值为负，表明与原假

22、定方向相反。5动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。46 取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端 断面上的 动水压力，还有 管壁对水流的反作用力。恒定总流动量方程式应用举例恒定总流动量方程式应用举例 一、弯管内水流对管壁的作用力一、弯管内水流对管壁的作用力 弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强 不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液 体对管壁的作用力。ApFApFpp2211,47 沿x轴方向动量方程为 因 ，代入上式可解出 沿z轴方向动量方程为（如果是y轴呢？）由上式可解出 注解：液体对弯管

23、离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。xRFApApQ221112cos)cos(11AQ22AQ2211122cos)cos1(ApApAAQFxRzRFGApQsin)sin(0111GApAQFzRsinsin111248二、水流对溢流坝面的水平总作用力二、水流对溢流坝面的水平总作用力 液体流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方法来确定坝面上的动水总压力。取如图所示控制体，并把1-1 和2-2断面取在符合渐变

24、流条 件位置。作用在控制体积上 的外力在X轴方向上的投影，包括1-1断面上的动水压力Fp1；2-2断面上的动水压力Fp2；坝 体对水流的反作用力FRx，液 体的重力在x方向投影为零。49 因 ，沿x轴方向动量方程式为 因令 ，可解出 2121gbhFP2221tPgbhFxRtRXPPxFhhgbFFFF)(212221xxxFQ)(1122bhQx11ttxbhQ221)11(2212222hhbQghghbFttRx50三、射流对垂直固定平面壁的冲击力三、射流对垂直固定平面壁的冲击力 设从喷嘴中喷出的水流，以速度v0射向一与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面壁阻挡以后，对称地分开。沿壁

25、面的流速为v，若考虑的流动在一个平面上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。故 RFQ0)0(0000QFR51 例例 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为900，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差 为2m，已知1-1断面中心处动水压强 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量Q为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。z1pFRxFRyFR52 解：（1）求管中流速 （2）求2-2断面中心处动水压强 以2-2断面为基准面，对1-1与2-2断面写能量方程为 于是 whgagpgag

26、pz2022221whgpzgp122psmdAQ/91.1)2.0(414.306.0)(406.02253（3）求弯头内水重 （4）计算作用于1-1断面与2-2断面上动水总压力kNdLggVG98.0)2.0(414.314.38.9422kNdpFkNdpFPP28.44)20(14.362.1347.34)20(14.376.11422222121212/2.136)1.08.96.1172(8.9)(mkNhgpzgpw将hw=0.1m，=117.6kN/m2代入上式可求出：1p54 （5）对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式 令管壁对水体的反作用力FR在水平和铅垂方向的分力为F

27、Rx及FRy。沿X方向动量方程：xPRFQ1)0(kNQFFPRx815.391.106.0117.31FRxFRxFRyFR55 沿y方向动量方程：管壁对水流的总作用力 令反作用力FR与水平轴x的夹角为，则 水流对管壁的作用力与FR大小相等，方向相反。yPRGFQ2)0(kNQGFFPRy415.391.106.01198.028.42kNFFFxRyRR12.5)415.3()815.3(2222895.0tanxyRRFF04841FRy56作业与预习作业与预习作业：1-5，7-12，16-19预习：第六章流动阻力和水头损失57人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。