1、 线性代数 教学改革 李尚志李尚志 教授教授 中国科学技术大学中国科学技术大学 数学系数学系空间为体空间为体,矩阵为用矩阵为用 研究对象研究对象-几何：线性空间(向量)研究工具研究工具-代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题)-modelingmodeling 矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 向量向量(解答解答)与微积分的关系与微积分的关系:非线性非线性 -微积微积分 线性线性 -线性代数线性代数 抽象抽象 =?抽象抽象 =难得糊涂难得糊涂:忽略差别忽略差别,提取共同点提取共同点从问题出发从问题出发以解决问题为线索以解决问题为线索 展开教学内容展开教学内容例例:怎样建立向量的
2、坐标怎样建立向量的坐标 有方向和大小的量有方向和大小的量 坐标化坐标化 n n 数组数组 向量与坐标运算的对应向量与坐标运算的对应:依赖于依赖于加法与数乘的运算律加法与数乘的运算律(8(8条公理条公理)不直接依赖于平行四边形法则不直接依赖于平行四边形法则 基：基：坐标的唯一性坐标的唯一性 线性无关线性无关,存在性存在性 极大无关组极大无关组 向量向量-坐标坐标:同构同构 坐标变换坐标变换 -数组空间中的坐标变换数组空间中的坐标变换例例:解线性方程组解线性方程组 方程方程(向量向量)-系数组系数组(坐标坐标)互为线性组合互为线性组合(初等变换初等变换)同解变形同解变形(高斯消去法高斯消去法)只用
3、到四则运算只用到四则运算-数域的概念数域的概念 关于方程个数的讨论关于方程个数的讨论:方程方程个数有真假 线性无关与线性相关 几个方程几个方程?4 4个个?为何为何 只剩只剩2 2个个?有假有假!-!-某方程是其余的线性组合某方程是其余的线性组合-线性相关线性相关 打假到底打假到底 极大无关组极大无关组 货真价实货真价实(秩秩)2)2个个秩(方程的真正个数)的唯一性 证明只依赖于运算律证明只依赖于运算律 将方程换成任意向量将方程换成任意向量 行列式的性质行列式的性质0.20.40.60.80.20.40.60.811.20.20.40.60.80.20.40.60.81det(u,v+w)=d
4、et(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)几何变换几何变换(x,y)(x,y)x=f1(x,y),y=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)曲线C:x=f1(x(t),y(t),y=f2(x(t),y(t)线性变换线性变换x=a1x+b1y,y=a2x+b2y.由矩阵 决定 画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?2022-12-16旋转:2022-12-162022-12-16 向量方向的变化特征向量2022-12-16 选取特征向量为基选取特征向量为基-矩阵的对角化矩阵的对角化射影变换射影变换 x=x/(x-1),y=y/(x-1).直线、相交、平行直线、相交、平行？相交于相交于 x=1 的直线的直线？圆圆(与与 x=1 相离、切、交相离、切、交)?相交直线变成平行直线0.511.522.53-0.50.511.522.5-6-4-224-4-3-2-1123圆变成圆锥曲线-1-0.50.51-1-0.50.51-7.5-5-2.52.557.510-4-224 谢谢谢谢！
