1、26.1 二次函数二次函数 知识回顾知识回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数的定义是什么？ ax2+bx+c=0 形如形如y=kx+b(其中其中k ,b为为 常数且常数且k0)的函数叫做的函数叫做x 的一次函数的一次函数 (a0) 二次函数 温馨提示：同桌交流，温馨提示：同桌交流， 互相帮助！互相帮助！ 试一试：试一试： 探究问题探究问题1 要用总长为要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能 使围成的面积最大？使围成的面积最大？ 1 设矩形靠墙的一边设矩形靠墙的一边AB的长的长，
2、矩形的面积矩形的面积y2 能用含能用含x的代数式来表示的代数式来表示y吗吗？ 2 试填试填下面下面的表的表 3 x的值可以任意取的值可以任意取？有限定范围吗有限定范围吗？ 4 我们发现我们发现y是是x的函数，试写出这个函数的关系式的函数，试写出这个函数的关系式。 B C D AB的长（）的长（） 的长（）的长（） 面积（面积（ ） ） A x x 20-2x y=x(20-2x) (0x10) Y=-2x2+20x (0x10) 18 18 32 14 42 16 10 50 8 48 6 42 4 32 18 0x10 2 探究问题探究问题2 某商店将每商
3、品进价为某商店将每商品进价为8元的商品按每元的商品按每10元出售元出售，一天一天 可售出约可售出约100件件。该店想通过降低售价该店想通过降低售价、增加销售量的增加销售量的 办法来提高利润办法来提高利润。经市场调查经市场调查，发现这种商品单价每降发现这种商品单价每降 低低0.1元元，其销售量可增加约其销售量可增加约10件件。将这种商品的售价将这种商品的售价 降低多少时降低多少时，能使销售利润最大能使销售利润最大？ 1 设每件商品降低设每件商品降低x元元（0x2），该商品每天的利润该商品每天的利润 为为y，y是是x的函数吗的函数吗？为什么要限定为什么要限定x的值的值？ 2 怎样写出该关系式怎样写
4、出该关系式？ 试一试：试一试： 温馨提示：同桌交流，温馨提示：同桌交流， 互相帮助！互相帮助！ 单件利润 （元） 每天销量 （件） 每天利润（y元) 降价x元前 降价x元后 (-) 10-8 (10-x-8)(100+100x) 100+100x y=(10-x-8)(100+100x) 即即y=-100x2+100x+200 ( 0x2) 每天利润= 单件利润每天销量 讨论讨论 得到的两个函数关系式有什么特点得到的两个函数关系式有什么特点? 温馨提示：同桌交流，互相帮助！温馨提示：同桌交流，互相帮助！ 答答(1)右边都是关于右边都是关于x的整式的整式. (2)自变量
5、自变量x的最高次数是的最高次数是2. 即都是自变量的二次整式！即都是自变量的二次整式！ 观察观察 （）（） Y=-2x2+20x (0x10) （）（）y=-100x2+100x+200 ( 0x2) 提问提问 对比一次函数归纳二次函数的定义？对比一次函数归纳二次函数的定义？ 概念引入概念引入 二次函数的定义：二次函数的定义： 形如形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)的函的函 数叫做数叫做x的二次函数的二次函数 思考：思考：1. 由问题由问题1和和2你认为判断二次函数的关键是你认为判断二次函数的关键是 什么什么？ 判断一个函数是否
6、是二次函数的关键是：看判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二二 次项的系数是否为次项的系数是否为0 驶向胜利的 彼岸 提问：提问：1上述概念中的上述概念中的a为什么不能是为什么不能是0？ 2. 对于二次函数对于二次函数y=ax2+bx+c中的中的b和和c可否为可否为0？若？若b 和和c各自为各自为0或均为或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？，上述函数的式子可以改写成怎样？ 你认为它们还是不是二次函数？你认为它们还是不是二次函数？ 思考：思考：2. 二次函数的一般式二次函数的一般式y ax2bxc（a0）与一元二次方）与一元二次方 程程ax bxc0（a0）有什么）有什么 联系和区别？联系
7、和区别？ 驶向胜利的 彼岸 联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0 (2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是 函数函数y= ax2bxc中中y=0时得到的时得到的. 区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另一等式另一 边前者是边前者是y,后者是后者是0 知识运用知识运用 例例1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ （ ) (3)
8、y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( ) 不是 是 不是 不是 是 不是 驶向胜利 的彼岸 知识运用知识运用 m22m-1=2 m+1 0 m=3 例2:m取何值时，取何值时， 函数函数y= (m+1)x +(m-3)
9、x+m 是二次函数？是二次函数？ 12 2 mm 解解:由题意得由题意得 小结 拓展 驶向胜利的 彼岸 你认为今天这节课最需要你认为今天这节课最需要 掌握的是掌握的是 _ 。 独立独立 作业作业 知识的升华 祝你成功！祝你成功！ 结束寄语 生活是数学的源泉生活是数学的源泉. . 下课了! 探索是数学的生命线探索是数学的生命线. . &nb
10、sp;二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 x y 怎样直接作出怎样直接作出 函数函数y=3xy=3x2 2- -6x+56x+5 的图象的图象? ? 函数y=ax+bx+c的图象 我们知道我们知道, ,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象, ,通过平移抛物线通过平移抛物线 y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2- -6x+56x+5的图象的图象. . 1.1.配方配方: : 563 2 xxy 3 5 23 2 xx 提取二次项系数 3 5 1123 2 xx 配方:加上再减去一
11、次项 系数绝对值一半的平方 3 2 13 2 x 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 . 213 2 x 化简:去掉中括号 老师提示老师提示: 配方后的表达配方后的表达 式通常称为式通常称为配配 方式方式或或顶点式顶点式 直接画函数y=ax+bx+c的图象 4.4.画对称轴画对称轴, ,描点描点, ,连线连线: :作出二次函数作出二次函数y=3(xy=3(x- -1)1)2 2+2+2 的图象的图象 2.2.根据配方式根据配方式( (顶点式顶点式) )确定开口方向确定开口方向, ,对称轴对称轴, ,顶点坐标顶点坐标. . x -2 -1 0 1 2 3 4
12、 3.3.列表列表: :根据对称性根据对称性, ,选取适当值列表计算选取适当值列表计算. . 2929 1414 5 5 2 2 5 5 1414 2929 a=30,a=30,开口向上开口向上; ;对称轴对称轴: :直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2). 学了就用,别客气 ? 作出函数作出函数y=y=2 2x x2 2- -1212x+x+1313的图象的图象. . 563 2 xxy X=1 (1,2) 13122 2 xxy X=3 (3,-5) 例例.求次函数求次函数 y=ax +b
13、x+c的对的对 称轴和顶点坐标称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 一般地一般地, ,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方法我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标推导出它的对称轴和顶点坐标. . 1.1.配方配方: : cbxaxy 2 c c x a b xa 2 提取二次项系数 a c a b a b x a b xa 22 2 22 配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方 2 2 2 4 4 2a bac a b xa 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 .
14、4 4 2 2 2 a bac a b xa 化简:去掉中括号 老师提示老师提示: 这个结果通常这个结果通常 称为求称为求顶点坐顶点坐 标公式标公式. . 4 4 2 2 2 a bac a b xay 顶点坐标公式 ? 因此因此, ,二次函数二次函数y=axy=ax +bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线. . 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： . 2 : a b x它的对称轴是直线. 4 4 , 2 2 a bac a b 它的顶点是 . 4 4 2 2 2 a bac a b xay ;131
15、22.1 2 xxy ;319805.2 2 xxy ;2 2 1 2.3 xxy .2123.4xxy 例：指出抛物线例：指出抛物线: : 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与标、与y y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x x轴的交点坐轴的交点坐 标。并画出草图。标。并画出草图。 对于对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴轴 的交点坐标、与的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时）轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。，这样就可以画出它的
16、大致图象。 练习练习: 1.抛物线抛物线y=x2-bx+3的对称轴是的对称轴是 x=2,求求b的值的值. 2.已知二次函数已知二次函数y=-x2+2x+c的最的最 大值是大值是4,求求c的值的值. 例例4：若抛物线：若抛物线y=x2-4x+c的顶点的顶点 在在x轴上，求轴上，求c的值。的值。 变化：抛物线变化：抛物线y=x2-4x+c的顶点在的顶点在 y=x+1上，求上，求c的值。的值。 解题时可以考虑多种方法解题时可以考虑多种方法 练习练习：已知抛物线：已知抛物线y=-3x2-2x+m的的 顶点在直线顶点在直线 上，上，
17、求求m的值的值 y=3x+ 1 3 例例5：抛物线：抛物线y=2x2+bx的对称轴在的对称轴在 y轴的右侧。求轴的右侧。求b的取值范围。的取值范围。 例6 已知二次函数已知二次函数 3)2(2 2 mxmmy x (1)当当m取何值时取何值时,函数图象关于函数图象关于y轴轴 对称对称; (2)当当m取何值时取何值时,函数图象与函数图象与y轴交轴交 点纵坐标是点纵坐标是1; (3)当当m取何值时取何值时,函数最小值是函数最小值是-2. 例例7 已知抛物线已知抛物线 和和 (1)求证求证:不论不论m取何值取何值,抛物线抛物线y1的顶点的顶点 总在总在y2抛物线上抛物线上; (2)当抛物线经过原点时
18、当抛物线经过原点时,求求y1的解析式的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象在同一坐标系中作出两个图象; ) 1(2)4( 2 1 mxm x y 64 2 2 x xy 指出下列抛物线的开口方向、求出指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与它的对称轴、顶点坐标、与y y轴的交轴的交 点坐标、与点坐标、与x x轴的交点坐标。并画出轴的交点坐标。并画出 草图。草图。 2 56yxx B 1.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x+8x- -1111的顶点在的顶点在 （ ） &
19、nbsp;A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的的 顶点都顶点都在在 A.A.直线直线y = xy = x上上 B.B.直线直线y = y = - - x x上上 C.xC.x轴上轴上
20、 D.yD.y轴上轴上 3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2 + 4x+a + 4x+a- -1 1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是的值是 A.A. 4 B. 4 B. - -1 C. 3 D.41 C. 3 D.4或或- -1 1 4.4.若二次函数若二次函数 y=axy=ax2 2 + b x + c + b x + c 的图象如下的图象如下, ,与与x x
21、 轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则下列则下列 各式中不成立的是各式中不成立的是( )( ) A.bA.b2 2- -4ac0 B.abc04ac0 B.abc0 C.a+b+c=0 D.aC.a+b+c=0 D.a- -b+c 0a 0 a n 1 2 在对称轴的右边在对称轴的右边y随随x的增大而减小的增大
22、而减小 通过本节的学习你有哪些收获呢？ 驶向胜利 的彼岸 课堂小结课堂小结 在同一直角坐标系中，画出下列函数 的图象： （1） y3x2； （2） y x2 课堂作业: 3 1 求二次函数的表达式 1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式. 二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求 其表达式. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 解析： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c， 由条
23、件得： a-b+c=10， a+b+c=4， 4a+2b+c=7， 解方程组得： 因此，所求二次函数的表达式是 a=2, b=-3, c=5. y=2x2-3x+5. 【例1】已知一个二次函数的图象过（1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式. 【例题】 【例2】已知抛物线的顶点为 (-1，-3),与y轴交点为 (0，-5),求抛物线的表达式. y o x 解析： 设所求的二次函数为y=a(x1)2-3, 由点( 0,-5 )在抛物线上得： a-3=-5, 得a=-2， 故所求的抛物线表达式为y=2(x1)2-3. -1 -3 【规律方法】1.求二次
24、函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是求 出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象上 三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k, 将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的 值. （西安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的表达式. 【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得 解之 得 所求抛物线的表达式为 A y x O C B 【跟踪训练】
25、 1（衢州中考）下列四个函数图象中，当x0时， y随x的增大而增大的是( ) C 2.（莆田中考）某同学用描点法画 y=ax2+bx+c(a0)的图象时，列出如下表格: 经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这 个二次函数的表达式 . x x 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 y 3 0 2 0 3 y=x24x+3 3.（潼南中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），AOC= 60，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
26、 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0t4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是( ) x y A B CO M N l t s O 24 2 3 4 3 A t s O 24 2 3 4 3 B t s O 24 2 3 4 3 C t s O 24 2 3 4 3 D 解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE= ，当点M在OA 上时，ON=t，MN= ，所以S= （0t2）；当点M在AB上时，MN的 值不变为 ，所以S= （2t4），故选C
27、. 你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. 确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点 ，恰当地选用一种函数表达方式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式. 一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激； 如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心. 佚名 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央 垂直于水面竖一根柱子，上面的垂直于水面竖一根柱子
28、，上面的A处安装一个喷处安装一个喷 头向外喷水。连喷头在内，柱高为头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流。水流 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下， 根据根据 图纸可知，水流喷出的高度图纸可知，水流喷出的高度y（m）与水平）与水平 距离距离x（m）之间满足关系式）之间满足关系式y=-x2+2x+0.8 （1 1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2)2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为如果不计其他因素，那么水池的半径至少为 &n
29、bsp; 多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ A O B A O A O y x y=-x +2x+0.8 最大高度最大高度 顶点纵坐标顶点纵坐标 实际问题与函数实际问题与函数 知识的对应知识的对应 配方配方得得 y= (x-1) +1.8由由y=-x +2x+0.8 最大高度为最大高度为1.8m1.8m 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ y x A O 水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 析题分意：析题分意： 水池为圆形，
30、水池为圆形， O点在中央，点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。喷水的落点到圆心的距离相等。 A O y x 最小半径最小半径 线段的长度线段的长度 (点的横坐标点的横坐标) 最小半径为最小半径为. .m m 注意自变量的实际注意自变量的实际 意义意义 令令y,即即(x-1) +1.8 =0 则则x的值为的值为 x12.34 x2 0.34 舍去舍去 水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ （ 2.236，结果保留两位小数） (不合题意不合题意,舍去舍去) 5 y=-x +2x+0.8 一个涵洞的截面成抛物线形，如一个涵洞的截
31、面成抛物线形，如 图，图，测得测得当水面宽当水面宽AB1.6m时，时， 涵洞顶点与水面的距离为涵洞顶点与水面的距离为2.4m， A B D E 1）建立适当的平面直角坐标系，建立适当的平面直角坐标系， 求出抛物线的函数解析式；求出抛物线的函数解析式；2)离离 开水面开水面1.5m处，涵洞宽处，涵洞宽ED是多是多 少？是否会超过少？是否会超过1m？ ）一只宽为）一只宽为m，高为，高为.5m 的小船能否通过？为什么？的小船能否通过？为什么？ 例例2 2 y x O 点题点题 分析分析 问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的
32、函数解析式；函数解析式； y x O y x O 方法方法1 方法方法2 方法方法3 y x O (0.8,0) (-0.8,0) (0,2.4) y=- x +2.4 点题点题 分析分析 问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的 函数解析式；函数解析式； 4 15 y x O (0.8,0) (-0.8,0) (0,2.4) y=- x +2.4 (?,1.5) 问题(2)离开水面离开水面1.5m处，涵洞宽处，涵洞宽ED是多少？是否会超是多少？是否会超 过过1m？ 离开水面离开水面1.5m 点
33、题点题 分析分析 4 15 当y= x y 问题（）小船宽为问题（）小船宽为m，高为，高为 1.5m，能否通过？，能否通过？ 能否通过？能否通过？ 学生讨论学生讨论 y=- x +2.4 4 15 x y 问题（）小船宽为问题（）小船宽为m，高为，高为 1.5m，能否通过？，能否通过？ 当当x0.5时时 得得 y=1.46 1.46 r r r r 1 1、已知圆的直径为、已知圆的直径为13cm13cm，设直线和圆心的距离，设直线和圆心的距离 为为d d ： 3 3) )若若d= d= 8 8 cm ,cm ,则直线与圆
34、则直线与圆_, _, 直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 2)2)若若d=6.5cm ,d=6.5cm ,则直线与圆则直线与圆_, _, 直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 1)1)若若d=4.5cm ,d=4.5cm ,则直线与圆则直线与圆 , , 直线与圆有直线与圆有_个公共点个公共点. . 相交相交 相切相切 相离相离 2 1 0 3)若若AB和和O相交相交,则则 &n
35、bsp; . 2、已知、已知O的半径为的半径为5cm, 圆心圆心O与直线与直线AB的距的距 离为离为d, 根据条件填写根据条件填写d的范围的范围: 1)若若AB和和O相离相离, 则则 2)若若AB和和O相切相切, 则则 d 5cm d = 5cm d rdr 1 1 d=rd=r 切点切点 切线切线 2
36、 2 drdr l d r l d r O l d r . . A A C C B B . . . . 相离相离 相切相切 相交相交 已知已知O的半径的半径r=7cm,直线直线l1 / l2, 且且l1与与O相切相切,圆心圆心O到到l2的距离为的距离为9cm. 求求l1与与l2的距离的距离m. o 。 l1 l2 A B C l2 讨论讨论 D 在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=5cmAC=5cm，BC=12cmBC=12cm， 以以C C为圆心，为圆心，r r为半径作圆。为
37、半径作圆。 当当r r满足满足 时，时， 直线与直线与相离。相离。 当当r r满足满足 时，直线与时，直线与相切。相切。 当当r r满足满足 时，直线与时，直线与相交。相交。 12 B C A 13 0r 13 60 r= 13 60 r 13 60 当当r r满足满足 &
38、nbsp; 时时, , 线段线段与与只有一个公共点。只有一个公共点。 或或5r12 r= 13 60 5 CD= cm 13 60 (1)当当r= 时时,O上有且只有上有且只有1个点到直线个点到直线l 的距离为的距离为3; 在同一平面内在同一平面内,已知点已知点O到直线到直线l的距离的距离 为为5.以点以点O为圆心为圆心,r为半径画圆为半径画圆. (2)当当r= 时时
39、, O上有且只有上有且只有3个点到直线个点到直线l 的距离为的距离为3; (3)随着随着r的变化的变化, O上到直线上到直线l的距离等于的距离等于3 的点的个数有那些变化的点的个数有那些变化? 27.3 27.3 圆中的计算问题圆中的计算问题 （第1课时） 问题情景问题情景： 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100 米，圆心角为90你能求出这段铁轨的长度吗?（ 取3.14 ） 图 23.3.1 分析分析：我们容易看出这段铁轨是圆周 长的四分之一，所以铁轨的长度 =157.0（米）. 4 10032 问题探究问题探究 上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心
40、角为n0， 如何计算它所对的弧长呢？ 思考：思考： 请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、450、 10、n0所对的弧长。 图 23.3.2 O B A 探索： （1）圆心角是180，占整个周角的 ，因此它所对的弧长 _； （2）圆心角是90，占整个周角的 ，因此它所对的弧长 _； （3）圆心角是45，占整个周角的_，因此它所对 的弧长_； （4）圆心角是1，占整个周角的_，因此它所对 的弧长_； （5）圆心角是n，占整个周角的_，因此它所对 的弧长_ 360 180 rr2 360 180 360 90 rrr 2 1 18
41、0 90 2 360 90 360 45 rrr 4 1 180 45 2 360 45 360 1 rr 180 1 2 360 1 360 n r n r n 180 2 360 结论：结论： 如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长 的计算公式为： 练一练：练一练： 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60，求此圆弧的 长度。 180 2 360 rn r n l = 3 50 cm 答：此圆弧的长度为 3 50 cm 解：解： 扇形：扇形： 定义：如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形扇形 提问：提问： 1.将组成扇形的一条半径绕着
42、圆心旋转，可以发现，扇 形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关圆 心角越大，扇形的面积也越大怎样计算圆心角为n 的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么 圆面积的计算公式为Sr2，半径为r的扇形的面积与 半径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1的扇形 面积以及圆心角为n的扇形面积分别是圆面积的几分 之几？ 探探 索索 图 23.3.4 （1） 如图，圆心角是180，占整个周角的 ，因此圆心角 是180的扇形面积是圆面积的_； （2） 圆心角是90，占整个周角的_，因此圆心角 是90的扇形面积是圆面积的_； （
43、3） 圆心角是45，占整个周角的_，因此圆心角 是45的扇形面积是圆面积的_； （4） 圆心角是1，占整个周角的_，因此圆心角是 1的扇形面积是圆面积的_； （5） 圆心角是n，占整个周角的_，因此圆心角是 n的扇形面积是圆面积的_ 360 180 结论：结论： 如果设圆心角是n的扇形面积为S，圆的半径为r，那么 扇形的面积为： 因此扇形面积的计算公式为 lr rrnrn S 2 1 2180360 2 360 2 rn S 或 lrS 2 1 小试牛刀：小试牛刀： 1、如果扇形的圆心角是20，那么这个扇形的面积 等于这个扇形所在圆的面积的_； 2、扇形的面
44、积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆 心角的度数是_. 3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是 _ 3 2 答案： 36 23 ； 240， r s2 例题讲解例题讲解 例1 如图，圆心角为60的扇形的半径为10厘米，求这 个扇形的面积和周长（3.14） 360 1014. 360 360 22 rn S =52.33(平方厘米)； 扇形的周长为 20 180 1014. 360 2 180 r rn l 30.47（厘米）。 图 23.3.5 解：因为n60，r10厘米，所以扇形面积为 如图，一块等边三角形的木版，边长为图，一块等边三角形的木版，边长为1，
45、现将木板沿水平线翻滚两次，现将木板沿水平线翻滚两次， 那么那么B点从开始到结束所经过的路径长是多少？点从开始到结束所经过的路径长是多少？ A B C 课堂小结： 本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积 的计算公式，一方面，要理解公式的由 来，另一方面，能够应用它们计算有关 问题，在计算力求准确无误。 再 见 碑 27.3 27.3 圆中的计算问题圆中的计算问题 （第2课时） 回顾回顾 180 Rn l 360 2 Rn S 扇形 图 23.3.2 R O P A B r r h h a a 1.1.圆锥圆锥是由是由一个底面一个底面和和一个侧面一个侧面围成围成 的
46、的, ,它的它的底面是一个圆底面是一个圆, ,侧面是一个曲面侧面是一个曲面. . 2 2. .把圆锥底面把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥圆周上的任意一点与圆锥 顶点的连线顶点的连线叫做圆锥的叫做圆锥的母线母线. . 如图中的如图中的a a. . 3.3.连结连结顶点与底面圆心顶点与底面圆心的线段叫做的线段叫做 圆锥的圆锥的高高. .如图中的如图中的h.h. 圆锥的母线有几条？圆锥的母线有几条？ 圆锥的再认识圆锥的再认识 无数条无数条 圆锥的底面半径、高线、母线长圆锥的底面半径、高线、母线长 三
47、者之间有什么关系三者之间有什么关系? ? O P A B r r h h a a 思考思考 a、h、r 构成一个直角三角形构成一个直角三角形 填空、填空、根据下列条件求值（其中根据下列条件求值（其中r r、h h、a a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1 1）a a = = 2 2，r=r=1 1 则则 h=_h=_ ( (2 2) h =) h =3 3, r=, r=4 4 则则 a=_a=_ ( (3 3) ) a a = = 1010, h = , h = 8 8 则则
48、r=_r=_ 图 23.3.6 5 6 圆柱侧面展开图圆柱侧面展开图 1.1.圆圆柱柱的的侧面展开图侧面展开图是一个是一个矩形矩形, ,它的一边它的一边 长是圆长是圆柱柱的的母线长母线长; ;它的另一边长是圆它的另一边长是圆柱柱的的 底面底面圆周长圆周长。 2 2. .圆圆柱柱的侧面积的侧面积是母线与圆是母线与圆柱柱的底面圆周的底面圆周 长围成的矩形面积长围成的矩形面积。 3.3.圆圆柱柱的全面积的全面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积 回顾回顾 1.1.圆锥的圆锥的侧面展开图侧面展开图是一个是一个扇形扇形 2 2. .圆锥的圆
49、锥的底面圆周长底面圆周长就是其就是其 侧面展开图侧面展开图扇形的弧长扇形的弧长 3.3.圆锥的圆锥的母线母线就是其侧面展开图就是其侧面展开图 扇形的半径扇形的半径。 a a h h r r 圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图 4 4. .圆锥的侧面积圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长就是弧长为圆锥底面的周长、 半径为圆锥的一条母线的长的半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积扇形面积. . 5.5.圆锥的全面积圆锥的全面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积. . 例例1 1、一个圆锥形零件的母线长为一个圆锥形零件
50、的母线长为a a， 底面的半径为底面的半径为r r，求这个圆锥形零件的求这个圆锥形零件的 侧面积和全面积侧面积和全面积 图 23.3.6 解解: :圆锥的侧面展开后是一个扇形圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形该扇形 的半径为的半径为a a，扇形的弧长为扇形的弧长为2 2rr，所以所以 S S侧 侧 S S底 底 rr2 2； S S ra ra rr2 2 答：这个圆锥形零件的侧面积答：这个圆锥形零件的侧面积 为为rara，全面积为，全面积为rararr2 2 2 1 2 2rra arara
51、O P A B r h a 圆锥的侧面积圆锥的侧面积 S S 侧 侧 = = rara a a h h r r 圆锥的全面积圆锥的全面积 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 根据圆锥的下面条件，求它的侧根据圆锥的下面条件，求它的侧 面积和全面积面积和全面积 （ 1 1 ） r=12cm, a=20cm r=12cm, a=20cm （ 2 2 ） h=12cm, r=5cmh=12cm, r=5cm 图 23.3.6 （1）侧：）侧：240 全：全：384 （2）侧：）侧：65 全：全：90 填空、填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的根据下列条件求圆锥侧面积展开图的 圆心角（圆心角（r r、h h、a a分别是圆锥的底面半径、高分别是圆锥的底面半径、高 线、母线长）线、母线长） （1 1）a a = 2= 2，r = 1r = 1，则，则 =_ =_ (2) h=3(2) h=3， r=4r=4，则，则 =_=_ r
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