2020届高中数学一轮复习人教A版离散型随机变量分布列课件(98张).ppt

1、【知识梳理知识梳理】1.1.离散型随机变量离散型随机变量X X的均值与方差的均值与方差已知离散型随机变量已知离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 ，则有，则有X=kX=kx x1 1x x2 2x xi ix xn nP(X=k)P(X=k)p p1 1p p2 2p pi ip pn n(1)(1)均值均值(数学期望数学期望)：计算公式：计算公式：EX=_.EX=_.作用：反映了离散型随机变量取值的作用：反映了离散型随机变量取值的_._.x x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xi ip pi i+x+xn np pn n平均水平平均水平 (2)(2)方差：方差：计算公式

2、：计算公式：DX=_.DX=_.作用：刻画了随机变量作用：刻画了随机变量X X与其均值与其均值EXEX的的_._.(3)(3)标准差：标准差：_._.n2iii 1(xEX)p平均偏离程度平均偏离程度DX2.2.几个特殊分布的期望与方差几个特殊分布的期望与方差分布分布期望期望方差方差两点分布两点分布EX=pEX=pDX=p(1-p)DX=p(1-p)二项分布二项分布EX=npEX=npDX=np(1-p)DX=np(1-p)【常用结论常用结论】均值与方差均值与方差(1)(1)均值均值EX=xEX=xi ip pi i.(2)(2)方差方差DX=(xDX=(xi i-EX)-EX)2 2p pi

3、 i=EX=EX2 2-E-E2 2X.X.ni 1ni 1(3)(3)若若X X服从两点分布，则服从两点分布，则(DX)(DX)maxmax=，此时，此时p=.p=.(4)(4)若若a a，b b为常数，为常数，X X是随机变量，则是随机变量，则E(aX+b)=aEX+bE(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=aD(aX+b)=a2 2DX.DX.1412【基础自测基础自测】题组一：走出误区题组一：走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关无关.()(

4、2)(2)在投篮比赛中，投中在投篮比赛中，投中1 1次得次得1 1分，不中得分，不中得0 0分分.如果某如果某运动员投篮命中的概率为运动员投篮命中的概率为0.60.6，那么他投篮，那么他投篮1 1次的得分次的得分X X的均值为的均值为0.6.0.6.()(3)(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事况，因此它们是一回事.()提示：提示：(1)(1).数学期望与概率有关数学期望与概率有关.(2).X(2).X服从两点分布，均值为服从两点分布，均值为0.6.0.6.(3)(3).均值反映平均水平，方差反映稳定性均值反映平均水

5、平，方差反映稳定性.2.2.某班有某班有1414名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5 5名学生，其中数学成绩优秀的学生数名学生，其中数学成绩优秀的学生数X XB B 则则E(2X+1)=E(2X+1)=()A.A.B.B.C.3C.3D.D.1(5)4，545272【解析解析】选选D.D.因为因为X XB B ，所以，所以E(X)=E(X)=，所以所以E(2X+1)=2E(X)+1=2E(2X+1)=2E(X)+1=2 +1=.+1=.1(5)4，5454723.3.随机变量随机变量的取值为的取值为0 0，1 1，2.2.若若P(=0)=P(=0)=，E(

6、)=1E()=1，则，则D()=_.D()=_.【解析解析】设设=1=1时的概率为时的概率为p p，则，则E()=0E()=0 +1 +1p+2 =1p+2 =1，解得，解得p=.p=.故故D()=(0-1)D()=(0-1)2 2 +(1-1)+(1-1)2 2 +(2-1)+(2-1)2 2 =.=.答案：答案：15151(1 p)5351535152525题组二：走进教材题组二：走进教材1.(1.(选修选修2-3P612-3P61例例3)3)已知随机变量已知随机变量的分布列是：的分布列是：则则D()=D()=()A.0.6A.0.6B.0.8B.0.8C.1C.1D.1.2D.1.21

7、12 23 3P P0.40.40.20.20.40.4【解析解析】选选B.E()=1B.E()=10.4+20.4+20.2+30.2+30.4=20.4=2，则则D()=(1-2)D()=(1-2)2 20.4+(2-2)0.4+(2-2)2 20.2+(3-2)0.2+(3-2)2 20.4=0.8.0.4=0.8.2.(2.(选修选修2-3P62A2-3P62A组组T3)T3)已知某离散型随机变量已知某离散型随机变量的数的数学期望学期望E()=E()=，的分布列如下，则的分布列如下，则a=_.a=_.0 01 12 23 3P Pa a b b761316【解析解析】因为因为E()=0

8、E()=0a+1a+1 +2 +2 +3b +3b，所以所以b=.b=.因为因为P(=0)+P(=1)+P(=2)+P(=3)=1P(=0)+P(=1)+P(=2)+P(=3)=1，所以所以a+=1a+=1，所以，所以a=.a=.答案：答案：761316161316161313考点一均值与方差的计算考点一均值与方差的计算【题组练透题组练透】1.1.已知某离散型随机变量已知某离散型随机变量X X服从的分布列如表，则随机服从的分布列如表，则随机变量变量X X的方差的方差D(X)D(X)等于等于()X X0 01 1P Pm m2m2m1212A.B.C.D.9933【解析解析】选选B.B.方法一：

9、由方法一：由m+2m=1m+2m=1得得m=m=，所以所以E(X)=0E(X)=0 +1 +1 =，D(X)=D(X)=131323232221222(0)(1)33339 方法二：由方法二：由m+2m=1m+2m=1得得m=m=，根据两点分布的期望和方差公式可得根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)=E(X)=，D(X)=D(X)=13232221339（）2.2.有有1010张卡片，其中张卡片，其中8 8张标有数字张标有数字2 2，2 2张标有数字张标有数字5 5，从中任意抽出从中任意抽出3 3张卡片，设张卡片，设3 3张卡片上的数字之和为张卡片上的数字之和为X X，则则X X的数学期望

10、是的数学期望是()A.7.8A.7.8B.8B.8C.16C.16D.15.6D.15.6【解析解析】选选A.XA.X的取值为的取值为6 6，9 9，1212，相应的概率，相应的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=P(X=12)=E(X)=6E(X)=6 +9 +9 +12 +12 =7.8.=7.8.38310C7C15，2182310C C7C15，1282310C C1C157157151153.3.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx(a0)+bx(a0)的对称轴在的对称轴在y y轴的左侧，轴的左侧，其中其中a a，b-3b-3，-2

11、-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，33，在这些抛物，在这些抛物线中，若随机变量线中，若随机变量=|a-b|=|a-b|，则，则D()=D()=()A.A.B.B.C.C.D.D.448189431127【解析解析】选选A.A.对称轴在对称轴在y y轴的左侧轴的左侧(a(a与与b b同号同号)的抛物的抛物线有线有1818条，条，的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2.2.P(=0)=P(=0)=，P(=1)=P(=1)=，P(=2)=P(=2)=，则，则E()=E()=，所以，所以D()=D()=13492989222184828(0)(1)(2)39999944814.4.某班举行了

12、一次某班举行了一次“心有灵犀心有灵犀”的活动，教师把一张的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给写有成语的纸条出示给A A组的某个同学，这个同学再用组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内若小组内同学甲猜对成语的概率是同学甲猜对成语的概率是0.40.4，同学乙猜对成语的概率，同学乙猜对成语的概率是是0.50.5，且规定猜对得，且规定猜对得1 1分，猜不对得分，猜不对得0 0分，这两个同学分，这两个同学各猜各猜1 1次，则他们的得分之和次，则他们的得分之和X X的数学期望为的数学期望为()A.0.9A.0.9B.0.8B.0.

13、8C.1.2C.1.2D.1.1D.1.1【解析解析】选选A.A.由题意，由题意，X=0X=0，1 1，2 2，则，则P(X=0)=0.6P(X=0)=0.60.5=0.30.5=0.3，P(X=1)=0.4P(X=1)=0.40.5+0.60.5+0.60.5=0.50.5=0.5，P(X=2)=0.4P(X=2)=0.40.5=0.20.5=0.2，所以所以E(X)=0E(X)=00.3+10.3+10.5+20.5+20.2=0.9.0.2=0.9.【规律方法规律方法】求均值与方差的方法技巧求均值与方差的方法技巧技巧技巧方法方法适用题型适用题型巧用特殊巧用特殊分布列分布列利用相应公式直接

14、利用相应公式直接求解求解两点分布、二项分两点分布、二项分布布巧借性质巧借性质利用利用E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=aD(aX+b)=a2 2D(X)D(X)两随机变量有明确两随机变量有明确的线性关系的线性关系利用公式利用公式D(X)=E(XD(X)=E(X2 2)-)-E(X)E(X)2 2计算复杂的方差计算复杂的方差考点二二项分布的均值与方差考点二二项分布的均值与方差【典例典例】(1)(2017(1)(2017全国卷全国卷)一批产品的二等品率为一批产品的二等品率为0.020.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取，从这批产品中每次随机取一

15、件，有放回地抽取100100次，次，X X表示抽到的二等品件数，则表示抽到的二等品件数，则D(X)=_.D(X)=_.(2)(2018(2)(2018湖北荆州中学模拟湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行，某市为响应绿色出行，某市在推出在推出“共享单车共享单车”后，又推出后，又推出“新能源分时租赁汽新能源分时租赁汽车车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按标准由两部分组成：根据行驶里程数按1 1元元/公里计公里计费；费；行驶时间不超过行驶时间不超过4040分时，按分时，按0.120.12元元/分计费；超过分计费；超过

16、4040分时，超出部分按分时，超出部分按0.200.20元元/分计费分计费.已知王先生家离上已知王先生家离上班地点班地点1515公里，每天租用该款汽车上、下班各一次公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(t(分分)是一个随机变量是一个随机变量.现统计了现统计了5050次路上开车花费时次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为的时

17、间视为用车时间，范围为(20(20，6060分分.时间时间t/t/分分(20(20，3030(30(30，4040(40(40，5050(50(50，6060频数频数2 2181820201010写出王先生一次租车费用写出王先生一次租车费用y(y(元元)与用车时间与用车时间t(t(分分)的的函数关系式；函数关系式；若王先生一次开车时间不超过若王先生一次开车时间不超过4040分为分为“路段畅通路段畅通”，设设表示表示3 3次租用新能源分时租赁汽车中次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通路段畅通”的次数，求的次数，求的分布列和期望；的分布列和期望；若公司每月给若公司每月给1 0001 000元的车补

18、，请估计王先生每月元的车补，请估计王先生每月(按按2222天计算天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由时租赁汽车？并说明理由.(.(同一时段，用该区间的中同一时段，用该区间的中点值作代表点值作代表)世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】(1)X(1)XB(100B(100，0.02)0.02)，所以所以D(X)=np(1-p)=100D(X)=np(1-p)=1000.020.020.98=1.96.0.98=1.96.答案：答案：1.961.96(2)(2)当当20t4020t40时，时，y=0.12t+15y=0.12t+15，

19、当当40t6040t60时，时，y=0.12y=0.1240+0.2040+0.20(t-40)+15(t-40)+15=0.2t+11.8=0.2t+11.8，所以所以y=y=0.12t15 20t40.2t11.8,40t60 ，王先生租用一次新能源分时租赁汽车，王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为为“路段畅通路段畅通”的概率的概率P=P=可取可取0 0，1 1，2 2，3.3.P(=0)=P(=0)=2 182.50500332327C()()55125，P(=1)=P(=1)=P(=2)=P(=2)=P(=3)=P(=3)=的分布列为的分布列为0 01 12 23 3P P 12323

20、54C()()55125，2232336C()()55125，3303238C()()55125，8125271255412536125E()=0E()=0 +1 +1 +2 +2 +3 +3 =1.2 =1.2或依题意或依题意B E()=3B E()=3 =1.2 =1.2，王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间平均用车时间 t=25t=25 +35 +35 +45 +45 +55 +55 =42.6(=42.6(分钟分钟)，81252712554125361252(3,),525250185020501050每次上下班租车的费用约为每次

21、上下班租车的费用约为0.20.242.6+11.8=20.32(42.6+11.8=20.32(元元)，一个月上下班租车费用约为一个月上下班租车费用约为20.3220.3222222=894.081 000.2=894.081 000.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用汽车用.【规律方法规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法(1)(1)求随机变量求随机变量的期望与方差时，可首先分析的期望与方差时，可首先分析是否是否服从二项分布，如果服从二项分布，如果B(nB(n，p)p)，则用公式，则用公式E(

22、)=npE()=np，D()=np(1-p)D()=np(1-p)求解，可大大减少计算量求解，可大大减少计算量.(2)(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用应用E(a+b)=aE()+bE(a+b)=aE()+b以及以及E()=npE()=np求出求出E(a+b)E(a+b)，同样还可求出同样还可求出D(a+b).D(a+b).【对点训练对点训练】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量

23、的频率分布直方图销售量的频率分布直方图.如图所示如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立销售量相互独立.(1)(1)求在未来连续求在未来连续3 3天里，有连续天里，有连续2 2天的日销售量都不低天的日销售量都不低于于100100个且另个且另1 1天的日销售量低于天的日销售量低于5050个的概率个的概率.(2)(2)用用X X表示在未来表示在未来3 3天里日销售量不低于天里日销售量不低于100100个的天数，个的天数，求随机变量求随机变量X X的分布列，期望的分布列，期望E(X)E(X)及方差及方差D(X).D(X).【

24、解析解析】(1)(1)设设A A1 1表示事件表示事件“日销售量不低于日销售量不低于100100个个”，A A2 2表示事件表示事件“日销售量低于日销售量低于5050个个”，B B表示事件表示事件“在未在未来连续来连续3 3天里，有连续天里，有连续2 2天的日销售量都不低于天的日销售量都不低于100100个且个且另另1 1天的日销售量低于天的日销售量低于5050个个”，因此因此P(AP(A1 1)=(0.006+0.004+0.002)=(0.006+0.004+0.002)50=0.650=0.6，P(AP(A2 2)=0.003)=0.00350=0.1550=0.15，P(B)=0.6P

25、(B)=0.60.60.60.150.152=0.108.2=0.108.(2)X(2)X可能取的值为可能取的值为0 0，1 1，2 2，3 3，相应的概率为，相应的概率为P(X=0)=P(X=0)=(1-0.6)(1-0.6)3 3=0.064=0.064，P(X=1)=P(X=1)=0.6(1-0.6)0.6(1-0.6)2 2=0.288=0.288，03C13CP(X=2)=P(X=2)=0.60.62 2(1-0.6)=0.432(1-0.6)=0.432，P(X=3)=P(X=3)=0.60.63 3=0.216.=0.216.X X的分布列为的分布列为因为因为X XB(3B(3，

26、0.6)0.6)，所以期望，所以期望E(X)=3E(X)=30.6=1.80.6=1.8，方差方差D(X)=3D(X)=30.60.6(1-0.6)=0.72.(1-0.6)=0.72.X X0 01 12 23 3P P0.0640.0640.2880.2880.4320.4320.2160.21623C33C考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用【明考点明考点知考法知考法】在高考题中，离散型随机变量均值、方差是必考的考在高考题中，离散型随机变量均值、方差是必考的考点，试题常以解答题形式出现，考查与互斥事件、相点，试题常以解答题形式出现，考查与互

27、斥事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用用.解题过程中常渗透分类与整合思想解题过程中常渗透分类与整合思想.命题角度命题角度1 1求离散型随机变量均值、方差求离散型随机变量均值、方差【典例典例】(2018(2018安徽八校联考安徽八校联考)已知由甲、乙两位男已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加某大生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加某大型户外竞技类闯关活动，活动共有四关，设男生闯过型户外竞技类闯关活动，活动共有四

28、关，设男生闯过第一至第四关的概率依次是第一至第四关的概率依次是 女生闯过第一至女生闯过第一至第四关的概率依次是第四关的概率依次是 5 4 3 26 5 4 3，4 3 2 15 4 3 2，(1)(1)求男生闯过四关的概率求男生闯过四关的概率.(2)(2)设设X X表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量量X X的分布列和期望的分布列和期望.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】(1)(1)记男生四关都闯过为事件记男生四关都闯过为事件A A，则则P(A)=P(A)=(2)(2)记女生四关都闯过为事件记女生四关都闯过为事件B B，则则P(B)=P(B)

29、=由题意，知由题意，知X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1，2 2，3 3，4.4.5432165433 4321154325 因为因为P(X=0)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=2)=222464()()35225，12122212414296C()C()335553225，2222221222141212C()()C()()C355333121452C55225，P(X=3)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=4)=所以所以X X的分布列为的分布列为所以所以E(X)=E(X)=12122212114112C()C()335553225，2

30、2111()()35225X X0 01 12 23 34 4P P 12256422596225522251222564965212101234225225225225225 2401622515【答题模板微课答题模板微课】本例的模板化过程：本例的模板化过程：扫码听名师讲解扫码听名师讲解建模板：建模板：【解析解析】(1)(1)记男生四关都闯过为事件记男生四关都闯过为事件A A，则则P(A)=P(A)=5432165433(2)(2)记女生四关都闯过为事件记女生四关都闯过为事件B B，则则P(B)=P(B)=由题意，知由题意，知X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1，2 2，3

31、3，4.4.因为因为P(X=0)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=1)=4321154325 222464()()35225，12122212414296C()C()335553225，P(X=2)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=4)=求概率求概率2222221222141212C()()C()()C355333121452C55225，12122212114112C()C()335553225，22111()().35225所以所以X X的分布列为的分布列为求分布列求分布列所以所以E(X)=E(X)=求均值求均值X X0 01 12 23 34 4P P

32、 12256422596225522251222564965212101234225225225225225 24016.22515套模板：套模板：(2018(2018益阳市、湘潭市高三调考益阳市、湘潭市高三调考)某乒乓球俱乐部派某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名规定一名运动员出线记运动员出线记1 1分，未出线记分，未出线记0 0分分.假设甲、乙、丙出线假设甲、乙、丙出线的概率分别为的概率分别为 他们出线与未出线是相互独立的他们出线与未

33、出线是相互独立的.2 3 3,3 4 5(1)(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率的概率.(2)(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量之和为随机变量，求随机变量，求随机变量的分布列和数学期的分布列和数学期望望.【解析解析】(1)(1)记记“甲出线甲出线”为事件为事件A A，“乙出线乙出线”为事为事件件B B，“丙出线丙出线”为事件为事件C C，“甲、乙、丙至少有一名甲、乙、丙至少有一名出线出线”为事件为事件D D，则则P(D)=1-P()=P(D)=1-P()=

34、ABC112291.34530(2)(2)由题意可得由题意可得的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1，2 2，3 3，则则P(=0)=P()=P(=0)=P()=P(=1)=P(A )+P()+P(C)P(=1)=P(A )+P()+P(C)1121;34530ABCABCBCAB21213211313;34534534560P(=2)=P(AB )+P(A C)+P(BC)P(=2)=P(AB )+P(A C)+P(BC)P(=3)=P(ABC)=P(=3)=P(ABC)=求概率求概率所以所以的分布列为：的分布列为：0 01 12 23 3P P CBA2322131339;3453

35、45345202333.345103101301360920求分布列求分布列E()=E()=求均值求均值113931210123.3060201060 【状元笔记状元笔记】均值与方差的一般计算步骤均值与方差的一般计算步骤(1)(1)理解理解X X的意义，写出的意义，写出X X的所有可能取的值的所有可能取的值.(2)(2)求求X X取各个值的概率，写出分布列取各个值的概率，写出分布列.(3)(3)根据分布列，由均值的定义求出均值根据分布列，由均值的定义求出均值EXEX，进一步，进一步由公式由公式DX=(xDX=(xi i-E(X)-E(X)2 2p pi i求出求出DX.DX.ni 1命题角度命

36、题角度2 2离散型随机变量均值、方差的实际应用离散型随机变量均值、方差的实际应用【典例典例】(2018(2018芜湖模拟芜湖模拟)某市疾控中心流感监测结某市疾控中心流感监测结果显示，自果显示，自20172017年年1111月起，该市流感活动一度出现上月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是升趋势，尤其是1212月以来，呈现快速增长态势，截至月以来，呈现快速增长态势，截至目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复短暂隔离直到康复.假设某班

37、级已知假设某班级已知6 6位同学中有位同学中有1 1位同位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染.下面下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；染同学为止；方案乙：先任取方案乙：先任取3 3个同学，将他们的血液个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3 3位位中的中的1 1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；位，后再逐

38、个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外若结果呈阴性则在另外3 3位同学中逐个检测位同学中逐个检测.(1)(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率的概率.(2)(2)表示依方案甲所需化验次数，表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验方案最佳角度考虑哪种化验方案最佳.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】(1)(1)设设A Ai i(i=1(i=1，2 2，3 3，4 4，5)5)表示依方案表示依方案甲

39、需化验为第甲需化验为第i i次，次，B Bj j(j=2(j=2，3)3)表示依方案乙需化验为第表示依方案乙需化验为第j j次，次，P(AP(A1 1)=P(A)=P(A2 2)=P(A)=P(A3 3)=P(A)=P(A4 4)=)=，P(AP(A5 5)=)=，P(BP(B 2 2)=)=P(BP(B3 3)=1-P(B)=1-P(B2 2)=)=，1613235531316363CC1C CC C3，23A A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数.P(A)=P(AP(A)=P(A2 2B B2 2+A+A3 3B B3 3)=P(A)=

40、P(A2 2)P(B)P(B2 2)+P(A)+P(A3 3)P(B)P(B3 3)=)=11121.63636(2)(2)的可能取值为的可能取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5.5.的可能取值的可能取值为为2 2，3.3.P(AP(A1 1)=P(A)=P(A2 2)=P(A)=P(A3 3)=P(A)=P(A4 4)=)=，P(AP(A5 5)=)=，E=1E=1 +2 +2 +3 +3 +4 +4 +5 +5 =(=(次次)，P(=2)=P(BP(=2)=P(B2 2)=)=，1613161616161310313P(=3)=P(BP(=3)=P(B3 3)=)=，所以所以E=2E=

41、2 +3 +3 =(=(次次)所以方案乙更佳所以方案乙更佳.23132383【状元笔记状元笔记】(1)D(X)(1)D(X)表示随机变量表示随机变量X X对对E(X)E(X)的平均偏离程度，的平均偏离程度，D(X)D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明越大表明平均偏离程度越大，说明X X的取值越分散；的取值越分散；反之，反之，D(X)D(X)越小，越小，X X的取值越集中在的取值越集中在E(X)E(X)附近，统计附近，统计中常用中常用 来描述来描述X X的分散程度的分散程度.D(X)(2)(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随

42、机变量取值偏离于均值的程度，它们从方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定相同，再用方差来决定.【对点练对点练找规律找规律】某投资公司在某投资公司在20172017年年初准备将年年初准备将1 0001 000万元投资到万元投资到“低碳低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目据市场调研，投资到该项目上，到年

43、底可能获利上，到年底可能获利30%30%，也可能亏损，也可能亏损15%15%，且这两，且这两种情况发生的概率分别为种情况发生的概率分别为 和和 ；7929项目二：通信设备项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利到年底可能获利50%50%，也可能亏损，也可能亏损30%30%，也可能不赔不，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为赚，且这三种情况发生的概率分别为 针对以针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项目，并说明理由目，并说明理由.3 11.5 315，和【解析解析】若按若按“项目一

44、项目一”投资，设获利为投资，设获利为X X1 1万元，则万元，则X X1 1的分布列为的分布列为所以所以E(XE(X1 1)=300)=300 +(-150)+(-150)=200(=200(万元万元).).X X1 1300300-150-150P P 79297929若按若按“项目二项目二”投资，设获利投资，设获利X X2 2万元，则万元，则X X2 2的分布列的分布列为为X X2 2500500-300-3000 0P P 1153513所以所以E(XE(X2 2)=500)=500 +(-300)+(-300)+0 +0 =200(=200(万元万元).).D(XD(X1 1)=(30

45、0-200)=(300-200)2 2 +(-150-200)+(-150-200)2 2 =35 000 =35 000，D(XD(X2 2)=(500-200)=(500-200)2 2 +(-300-200)+(-300-200)2 2 +(0-200)+(0-200)2 2 =140 000.=140 000.115351379293513115所以所以E(XE(X1 1)=E(X)=E(X2 2)，D(XD(X1 1)D(X)D(X2 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资综上所述

46、，建议该投资公司选择项目一投资.数学能力系列数学能力系列3131离散型随机变量的均值与方差中离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识体现的应用意识【能力诠释能力诠释】应用意识指能综合应用所学数学知识、应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题问题抽象为数学问题.解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时，要解答

47、离散型随机变量的均值与方差实际应用题时，要注意以下两点：注意以下两点：(1)(1)明确题意，找准变量之间的关系，注意所学概率模明确题意，找准变量之间的关系，注意所学概率模型型(相互独立事件、二项分布等相互独立事件、二项分布等)的应用的应用.(2)(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位本身具有相同的单位.【典例典例】(2018(2018湖南十校联考湖南十校联考)为响应国家为响应国家“精准扶精准扶贫，产业扶贫贫，产业扶贫”的战略，进一

48、步优化能源消费结构，的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的某市决定在地处山区的A A县推行光伏发电项目县推行光伏发电项目.在该县在该县山区居民中随机抽取山区居民中随机抽取5050户，统计其年用电量得到以下户，统计其年用电量得到以下统计表统计表.以样本的频率作为概率以样本的频率作为概率.(1)(1)在该县山区居民中随机抽取在该县山区居民中随机抽取1010户，记其中年用电量户，记其中年用电量不超过不超过600600度的户数为度的户数为X X，求，求X X的数学期望的数学期望.用电量用电量(单位：单位：度度)(0(0，200200(200(200，400400(400(400，6006

49、00(600(600，800800(800(800，1 0001 000户数户数5 51515101015155 5(2)(2)已知该县某山区自然村有居民已知该县某山区自然村有居民300300户户.若计划在该村若计划在该村安装总装机容量为安装总装机容量为300300千瓦的光伏发电机组，该机组所千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.80.8元元/度的价格进行收购度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电电机组年平均发电1 0001 000度，试估计该机组每年所发电度，试估

50、计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？【解析解析】(1)(1)记在抽取的记在抽取的5050户居民中随机抽取户居民中随机抽取1 1户，户，其年用电量不超过其年用电量不超过600600度为事件度为事件A A，则，则P(A)=.P(A)=.由已知可得从该县山区居民中随机抽取由已知可得从该县山区居民中随机抽取1010户，户，记其中年用电量不超过记其中年用电量不超过600600度的户数为度的户数为X X，X X服从二项分布，即服从二项分布，即X XB B 故故E(X)=10E(X)=10 =6.=6.353(105，)，35(2