1、经济应用数学经济应用数学第三章第三章 经济最优化问题分析经济最优化问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第一节第一节 变化率问题变化率问题导数导数案例分析【切线问题】一张圆形的餐桌上需要安装一块圆形的玻璃，玻璃店的师傅在制作时，会先在方形的玻璃上画出圆形，划掉多余部分后进行不断的打磨，师傅打磨的过程在数学上就是作圆周切线的过程.()yf x曲线的切线：当点N沿着曲线趋向于点M时，割线MN的极限位置MT叫做曲线在M点的切线.00()()MNf xxf xyMNkxx割线的斜率：0000()()limlimMTxxf xxf xyMTkxx 切线的斜率：3
2、.1 3.1 变化率问题变化率问题导数导数000000000()0()()()0()()limlim()xxyf xxxxxxyf xyf xxf xxf xxf xyxxyf xx 定定义义3.1 3.1 设设函函数数在在及及其其邻邻域域内内有有定定义义，当当自自变变量量 在在点点处处有有增增量量（）时时，函函数数取取得得相相应应的的增增量量，如如果果当当时时，极极限限存存在在，则则称称函函数数在在处处可可导导，并并称称此此 00000000000()().()()()limlim.()xxxxxxxxf xxdydffxydxdxf xxf xyfxxxyf xx 极极限限值值为为函函数数
3、在在点点处处的的导导数数（或或微微商商），记记作作，或或，或或，或或即即若若上上式式的的极极限限不不存存在在，则则称称函函数数在在处处不不可可导导.一、导数的定义()(,)()(,)(,),()()().yf xa byf xa bxa bfxfxyf xdydfydxdx 定定义义3.2 3.2 如如果果函函数数在在区区间间内内任任一一点点处处都都可可导导，则则称称函函数数在在区区间间内内可可导导，对对每每一一个个都都有有导导数数值值与与之之对对应应，称称为为函函数数的的导导函函数数，简简称称导导数数.导导数数还还可可以以表表示示为为：或或或或000()()()f xxfxfxx 显显然然，
4、函函数数在在处处的的导导数数值值，即即导导函函数数在在处处的的函函数数值值.二、导数的基本公式121()02()3()ln4()1115(log)log6(ln)ln7(sin)cos(cos)sin9(tan)secxxxxaaCxxaaaeexexxaxxxxxxxx （）（C C为为常常数数）（）（）（）（）（）（）（）（）8 22222(cot)csc11(sec)sectan(csc)csccot1113(arcsin)(arccos)111115(arctan)(cot)11xxxxxxxxxxxxxarcxxx （）（）（）（）（）（）（）10 12 14 16 三、曲线的切线方
5、程000000000000()(,)()()tan()()tanlimlim()()()xxyf xM xyMTf xxf xyxxf xxf xyxxMTkfxMTyyfxxx设曲线，在点的切线为，那么切线的斜率为：切线的方程为：2()(2)f xxf 例例1 1、设设函函数数，求求解222001(2)24()2 43(2)limlim(4)4xxyxxxyxxyfxx （）（）（）()()(1).f xxfxf 例例2 2、设设函函数数，求求、解00012 113()limlimlim211(1)221xxxyxxxyxxxxxyxxxfxxxxxxxf （）（）（）()(1)(2)(10
6、0)(0).f xx xxxf 例例3 3、设设，求求解000()(0)(1)(100)(0)limlim0 lim(1)(2)(100)100!xxxf xfx xxfxxxxx()()(2).f xxfxf 例例4 4、设设函函数数，求求、解解111122()11()()221(2)2 2xxfxxxxf由得：例例5、求下列函数的导数、求下列函数的导数11lg 2cos33yxyyx（）（）（）211(lg)ln102(cos)03113()yxxyyxx（）（）（）21yyxx 例例6 6、在在曲曲线线上上求求一一点点，使使过过该该 点点的的切切线线平平行行于于直直线线，并并求求该该切切线线方方程程.解0003030333332(,)()212(2,)22223 202xykfxxyxxyxxy 设设切切点点为为，则则切切线线的的斜斜率率为为因因为为切切线线平平行行于于直直线线，所所以以解解得得切切点点为为：切切线线方方程程为为：即即：课堂练习：课堂练习：2212log.xxyxyy 一一、设设，求求，.3sin(,)32yx 二二、求求曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程.0000000()()2(2)()lim.()()hf xxfxf xhf xf xhf xh 三三、已已知知在在点点处处可可导导，且且，求求
