高中数学讲义微专题31解三角形的要素.doc

1、 微专题 31 解三角形中的要素 一、基础知识： 1、正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，其中R为ABC外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具 备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如： （1） 222222 sinsinsinsinsinABABCababc （2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式） （3） 22 sinsin sin bcBC aA 2、余弦定理： 222 2cosabcbcA 变式： （1） 222 cos 2 bca A bc 此

2、公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A是钝角还是锐角 当 222 bca时，cos0A，即A为锐角； 当 222 bca（勾股定理）时，cos0A，即A为直角； 当 222 bca时，cos0A，即A为钝角 观察到分式为齐二次分式，所以已知, ,a b c的值或者: :a b c均可求出cosA （2） 2 2 21cosabcbcA 此公式在已知bc和bc时不需要计算出, b c的值，进 行整体代入即可 3、三角形面积公式： （1） 1 2 Sa h （a为三角形的底，h为对应的高） （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB （3） 1 2 Sabcr （r为三

3、角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径） （4）海伦公式： 1 , 2 Sp papbpcpabc （5）向量方法： 2 2 1 2 Saba b （其中, a b为边, a b所构成的向量，方向任意） 证明： 2222222 111 sinsin1cos 244 SabCSa bCa bC 221 cos 2 SababC，而cosa babC 2 2 1 2 Saba b 坐标表示： 1122 ,ax yb xy，则 1221 1 2 Sx yx y 4、三角形内角和ABC（两角可表示另一角） 。 sin()sinsinABCC cos()coscosABCC 5、确定三角形要素的条件

4、： （1）唯一确定的三角形： 已知三边（SSS） ：可利用余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角（SAS） ：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求 出剩余两角 两角及一边（AAS 或 ASA） ：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条 边 （2）不唯一确定的三角形 已知三个角（AAA） ：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦 定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：: :sin:sin:sina b cABC 已知两边及一边的对角（SSA） ：比如已知, ,a b A，所确定的三角形有可能唯一，也有可能 是两个。其原因在于当使用正弦定理

5、求B时， sin sin sinsin abbA B ABa ，而 0, 22 B 时，一个sinB可能对应两个角（1 个锐角，1 个钝角） ，所以三角形可 能不唯一。 （判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例 1） 6、解三角形的常用方法： （1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 （2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求 解 7、三角形的中线定理与角平分线定理 （1）三角形中线定理：如图，设AD为ABC的一条中线， 则 2222 2ABACADBD （知三求一） 证明：在ABD中 222 2cosABADBDAD

6、 BDADB 222 2cosACADDCAD DCADC D为BC中点 BDCD ADBADC coscosADBADC 可得： 2222 2ABACADBD D A B C （2）角平分线定理：如图，设AD为ABC中BAC的 角平分线，则 ABBD ACCD 证明：过D作DEAC交AB于E BDBE DCAE EDADAC AD为BAC的角平分线 EADDAC E D AE A D EAD为等腰三角形 E AE D BDBEBE DCAEED 而由BEDBAC可得： BEAB EDAC ABBD ACCD 二、典型例题： 例 1：（1）ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b

7、 c，若2,6,60cbB，则 C _ （2） ）ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 若2 ,6 ,3 0cbC， 则B _ 思路：（1）由已知, ,B b c求C可联想到使用正弦定理： sin sin sinsin bccB C BCb 代入可解得： 1 sin 2 C 。由cb可得：60CB，所以30C 答案：30C （2）由已知, ,C b c求B可联想到使用正弦定理： sin sin sinsin bcbC B BCc 代入可解得： 3 sin 2 B ，则60B 或120B ，由cb可得：CB，所以60B 和 120B 均满足条件 答案：60B 或120B

8、小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确 定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之 间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。 例 2：在ABC中，2,60BCB，若ABC的面积等于 3 2 ，则AC边长为_ 思路： 通过条件可想到利用面积S与,BCB求出另一条边AB， 再利用余弦定理求出AC 即 可 A B C D E 解： 1133 sin2 2222 ABC SAB BCBAB 1AB 222 1 2cos142 23 2 ACABBCAB BCB 3AC 答案：3

9、例 3：（2012 课标全国）已知, ,a b c分别为ABC三个内角, ,A B C的对边，且有 cos3 sin0aCaCbc （1）求A （2）若2a ，且ABC的面积为3，求, b c （1）思路：从等式cos3 sin0aCaCbc入手，观察每一项关于, ,a b c齐次，考虑 利用正弦定理边化角： cos3 sin0sincos3sinsinsinsin0aCaCbcACACBC，所涉及式 子与,A C关联较大，从而考虑换掉sinsinBAC，展开化简后即可求出A 解：cos3 sin0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sinsins

10、insin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 66 A 或 5 66 A （舍） 3 A （2）思路：由（1）可得 3 A ，再由3 ABC S，2a 可想到利用面积与关于A的余弦 定理可列出, b c的两个方程，解出, b c即可 A C B D 解： 1 sin34 2 ABC SbcAbc 22222 2cos4abcbcAbcbc 2222 48 44 bcbcbc bcbc 可解得 2 2 b c 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边

11、与角正弦中是否 具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角, ,A B C同时出现在方程中时，通常要 从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角 例 4：如图，在ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABADABBD BCBD，则 sinC的值为_ 思路： 求sinC的值考虑把C放入到三角形中， 可选的三角形有ABC 和BDC，在BDC中，已知条件有两边,BD BC，但是缺少一个 角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在ABD中，三边比例已知，进而可 求出BDA，再利用补角关系求出BDC，从而BDC中已知两边一角，可解出C 解：由23ABBD可设2BDk则3

12、ABk 3 ,4ADk BCk 在ADB中， 22 2 222 323 3 cos 232 32 kkk ADBDAB ADB AD BDkk 3 coscos 3 BDCADB 6 s i n 3 B D C 在BDC中，由正弦定理可得： sin6 sin sinsin6 BDBCBDBDC C CBDCBC 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时 尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。 （2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的k）， 这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算 例 5：已知A

13、BC中，, ,a b c分别是角, ,A B C所对边的边长，若ABC的面积为S，且 2 2 2Sabc，则tanC等于_ 思路：由已知 2 2 2Sabc可联想到余弦定理关于cosC的内容，而 1 sin 2 SabC，所 以可以得到一个关于sin ,cosCC的式子，进而求出tanC 解： 2 2222 1 22sin2 2 SabcabCabcab 而 222 2coscababC 222 2c o sabca bC代入可得： sin22cossin22cosabCababCCC 22 4 sin sin22cos 5 3sincos1 cos 5 C CC CC C 4 tan 3 C

14、 答案： 4 tan 3 C 例 6：在ABC 中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c ，已知ABC的面积为3 15 ， 1 2,cos, 4 bcA 则a的值为 . 思路：已知cosA求a可以联想到余弦定理，但要解出, b c的值，所以寻找解出, b c的条件， 1 sin3 15 2 ABC SbcA，而 2 15 sin1cos 4 AA代入可得24bc ，再由2bc 可得 2 222 2cos22cos64abcbcAbcbcbcA，所以8a 答案：8 例 7：设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c，若sin3 cos0bAaB，且 2 bac，

15、则 ac b 的值为（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4 思路：由sin3 cos0bAaB可得：sinsin3sincos0BAAB，从而tan3B ， 解得 3 B ，从 2 bac可联想到余弦定理： 22222 2cosbacacBacac，所以 有 2 22 0acacacac，从而ac再由 2 bac可得abc，所以 ac b 的 值为2 答案：C 小炼有话说：本题的难点在于公式的选择， 2 bac以及所求 ac b 也会让我们想到正弦定理。 但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定 选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其

16、次式，可以考虑正弦定理。如果条件中 含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。 例 8： 设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c， 且 22 , 6 babc A ， 则C （ ） A. 6 B. 4 C. 3 4 D. 4 或 3 4 思路：由 22 abbc的结构可以联想到余弦定理： 222 2cosabcbcA，可以此为突破 口，即 222 2cosbbcbcbcA，代入解得： 3 1cb ，进而求出 31 2 ab ， 得到, ,a b c比例代入余弦定理可计算出C 解：由 22 babc可得： 22 abbc， 222 2cosabcbcA 22

17、2 2cosbbcbcbcA 2 31cbc 3 1cb 代入到 22 babc 可得： 222 3 1abb 42331 23 22 abbb 3 1 : :1: 3 1 2 a b c 2 2 222 3 1 13 1 2 2 cos 223 1 2 2 abc C ab 4 C 例 9：已知ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的 2 倍，则最小内角 的余弦值是（ ） A. 3 4 B. 5 6 C. 7 10 D. 2 3 思路：不妨考虑abc，将三个边设为1,1axbx cx，则2CA，想到正弦定 理 sinsin2 2cos sinsin cCA A aAA ，再将

18、cosA利用余弦定理用边表示，列方程解出x，从而求 出cosA 解：设abc，则1,1axbx cx 2CA s i ns i n 2 2 c o s s i ns i n cCA A aAA 222222 2 2 cbcabca abcbc 代入1,1axbx cx可得： 22 2 111 11 xxxx xx x ，解得：5x 4,5,6abc 222 3 cos 24 bca A bc 答案：A 小炼有话说： 本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角 2 倍”这个条件， 可联想到正余弦 的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联 系。如果采用余弦二

19、倍角公式，则有 2 cos2cos1CA，即便使用余弦定理也会导致方程次 数过高，不利于求解。 例 10：在ABC中，D为边BC上一点， 1 ,120 ,2 2 BDCDADBAD，若ADC的 面积为33，则BAC_ 思路：要求出BAC，可在ABC中求解，通过观察条件 120 (120 ),2,33 ADC ADBADCADS ，可 从ADC可解，解出,AD AC，进而求出BD，再在ABD 中解出AB，从而ABC三边齐备，利用余弦定理可求出 BAC 解： 1 sin33 2 ADC SAD DCADC 2 33 231 2 sin 3 DC 1 31 2 BDDC 2 2222 2cos223

20、12 2 231 cos 3 ACADDCAD DCADC 6 42 3 631AC A BC D 同理 222 2cosABADDBAD DBADB 2 2 2 2312 231 cos 3 6 6AB 2 2 2226631331 1 cos 22 26631 ABACBC BAC AB AC 60BAC 答案：60BAC 小炼有话说： （1）本题与例 4 想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件 观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素 （2）本题还可以利用辅助线简化运算，作AMBC于M，进而利用在Rt ADM 中 60 ,2ADCAD得3,1AMDM，再用33

21、 ADC S 解出 231CD 进而31BD ，则在BC上 3,2 33BMBDDMCMCDDM 所 以4 5 , t a n23 CM BAMMAC AM 可 得 ： 15MAC，所以60BAC 三、近年好题精选 1、设、设ABC的内角的内角, ,A B C所对边的长分别为所对边的长分别为, ,a b c，且，且1,2 4 ABC aBS ，则，则sinA （ ） A. 2 10 B. 2 50 C. 82 82 D. 1 10 2、设、设ABC的内角的内角, ,A B C所对边的长分别为所对边的长分别为, ,a b c，且，且3,1,2bcAB，则，则a的值为的值为 （ ） A. 2 B.

22、 2 2 C. 3 D. 2 3 3、 在、 在ABC中，中，D为为BC边上一点，边上一点，2,2,45DCBD ADADC， 若， 若2ACAB， 则则BD （ ） A. 23 B. 4 C. 25 D. 35 A BC DM 4、 （、 （2015，北京）在，北京）在ABC中，中，4,5,6abc，则，则 sin2 sin A C _ 5、 （、 （2015， 广东） 设， 广东） 设ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c， 若， 若 1 3,sin, 26 aBC ， 则则b_ 6、 （、 （2015，福建）若锐角，福建）若锐角ABC的面积为的面积为1

23、0 3，且，且5,8ABAC，则，则BC等于等于_ 答案：答案：7 7、（、（2015， 天津） 在， 天津） 在ABC中， 内角中， 内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c， 已知， 已知ABC的面积为的面积为3 15， 1 2,cos 4 bcA ，则，则a的值为的值为_ 8、 （、 （2014，天津）在，天津）在ABC中，内角中，内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，已知，已知 1 4 bca， 2sin3sinBC，则，则cosA的值为的值为_ 9、 （、 （2014，山东）在，山东）在ABC中，已知中，已知tanAB ACA，当，当 6

24、A 时，时，ABC的面积为的面积为_ 10、 （、 （2014，辽宁）在，辽宁）在ABC中，内角中，内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，且，且ac，已知，已知 1 2,cos,3 3 BA BCBb，求：，求： （1）, a c的值的值 （2）cos BC的值的值 11、 （、 （2015，陕西）设，陕西）设ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，向量，向量 , 3mab与与 cos ,sinnAB平行平行 （1）求）求A （2）若）若7,2ab，求，求ABC的面积的面积 12、 （、 （2015，新课标，新课标 II）在）在ABC

25、中，中，D是是BC上上的点，的点，AD平分平分BAC，ABD的面积是的面积是 ADC面积的面积的 2 倍倍 （1）求）求 sin sin B C （2）若）若 2 1, 2 ADDC，求，求,BD AC的长的长 13、 （、 （2015， 安徽） 在， 安徽） 在ABC中，中， 3 ,6,3 2 4 AABAC ， 点， 点D在在BC边上，边上，ADBD， 求求AD的长的长 14、(2015，江苏）在，江苏）在ABC中，已知中，已知2,3, 3 ABACA （1）求）求BC的长的长 （2）求）求sin2C的值的值 A BC D A C B D 习题答案习题答案： 1、答案：A 解析： 1 si

26、n24 2 2 ABC SacBc 222 2cosbacacB代入可得： 2 2 1 322 1 4 225 2 b 5b 2 sinsin sinsin10 aba AB ABb 2、答案：D 解析：2AB sinsin 22 sincosABBB 2 cosabB 222 c o s 2 acb B ac 2222 1 9 26 22 acba aba aca 22 38aa 2 22423aa 3、答案：C 解析：设BDx，则2CDx，由余弦定理可得： 222 2cos135ABADBDADBD 222 2cos45ACADCDADCD，代入可得： 2 2 2 2 22 244 ABx

27、x ACxx 2ACAB 2 2 122 2244 xx xx 解得：25x 4、答案：1 解析： 222 sin2sin253616 4 2cos221 sinsin22 5 66 AAbcaa A CCbcc 5、答案：1 解析： 由 1 sin 2 B 及 6 C 可得： 6 B ， 从而 2 3 A ， 由正弦定理可得：sin sin ab AB ， 解得1b 6、答案：7 解析：由 1 sin 2 ABC SAB ACA，可得： 3 sin 2 A ，即 3 A ，再由余弦定理可计算 22 2cos7BCACABAB ACA 7、答案：8 解析： 2 115 cossin1cos 4

28、4 AAA 1 sin3 1524 2 ABC SbcAbc 由余弦定理可得： 2 222 2cos21cos64abcbcAbcbcA 8a 8、答案： 1 4 解析：由2sin3sinBC可得23bc代入到 1 4 bca即可得到: :4:3:2a b c ，不妨 设4 ,3 ,2ak bk ck，则 222222 94161 cos 22 324 bcakkk A bckk 9、答案： 1 6 解析： sin tancos cos A AB ACAbcA A 2 sin cos A bc A 2 2 2 11s i n11 s i nt a n 22c os26 ABC A SbcAA

29、A 10、解析：由2BA BC可得：cos2acB 6ac 由余弦定理可得： 2 2 21cosbacacB即 2 9165acac 6 5 ac ac ac 解得： 3 2 a c （2）由 1 cos 3 B 可得： 2 2 2 sin1cos 3 BB 由正弦定理可知： sin4 2 sin sinsin9 bccB C BCb cb C为锐角 2 7 cos1sin 9 CC 23 coscoscossinsin 27 BCBCBC 11、解析： （1）m n 3 cossin3sinBcossinsinbAaBAAB 3cossintan3AAA 3 A （2）由余弦定理可得： 22

30、2 2cosabcbcA即 2 742cc 2 2303ccc 1133 3 sin2 3 2222 ABC SbcA 12、解析： （1） 11 sin,sin 22 ABDADC SAB ADBAD SAC ADCAD 2, ABDADC SSBADCAD 2 , ABD ADC SAB SAC sin1 sin2 BAC CAB （2）2 ABD ADC SBD SDC 22BDDC 在,ABDADC中，由余弦定理可得： 222 222 2cos 2cos ABADBDAD BDADB ACADCDAD CDADC 22222 2326ABACADBDDC 再由2ABAC可解得：1AC

31、13、解析： 222 2cosBCABACAB ACA 2 36182 6 3 290 2 3 10BC 由正弦定理可得： sin10 sin sinsin10 ACBCACA B BABC 3 10 cos 10 B 由ADBD可知ABD为等腰三角形 2ADBB 由正弦定理可得： sinsinsin2 ADABAB BBDAB sinsin10 sin22sincos2cos ABABAB ADBB BBBB 14、解析： （1）由余弦定理可得： 222 2cosBCABACAB ACA 492 2 3 cos7 3 7BC （2）由余弦定理可得： 222 9742 7 cos 272 3 7 ACBCAB C AC BC 2 21 sin1cos 7 CC 21 2 74 3 sin22sincos2 777 CCC