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1、第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析1.LTI1.LTI连续系统的时域连续系统的时域分析分析：2.2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换时域时域分析法分析法：函数的变量：函数的变量-t t域分析法的基础基础 3.3.时域分析法主要内容：时域分析法主要内容：概述：概述：求出响应与激励关系求出响应与激励关系 经典法经典法 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分冲击响应与卷积积分 建立线性微分方程建立线性微分方程并并本章主要内容本章主要内容2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、

2、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-和和0+值值

3、 三、零输入响应三、零输入响应 四、零状态响应四、零状态响应 五、全响应五、全响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)高等数学中经典解法高等数学中经典解法：完全解完全解 =齐次解齐次解+特解。特解。y(t)(完全解)=y h(t)(齐次解)+y p(t)(特解）LTILTI连续系统：连续系统：常系数的常系数的n n阶线性常微分方程阶线性常微分方程 齐次解：齐次解：满足齐次方程的通解，又叫满足齐次方程的通解，又叫齐次解齐次解 特解：特解

4、：满足非齐次方程的解，叫特满足非齐次方程的解，叫特解解 1.齐次解齐次解与微分方程特征根决定与微分方程特征根决定齐次解是齐次微分方程齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解00111 aaannn0)()()()(01111 tyatyatyatynnnnii ,2,1 齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：r重共轭复根重共轭复根齐次解的形式由微分方程特征根确定齐次解的形式由微分方程特征根确定y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(

5、1)(t)+b0f(t)一般微分方程一般微分方程表表21 不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根单实根/n个单实根个单实根et/r重实根(Cr-1 tr-1+Cr-2 tr-2+C1 t1+C0)et一对共轭复根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+A0cos(t+0)e t齐次解的待定系数待定系数Ci在求得全解后在求得全解后由初始条件由初始条件确定确定满足方程必须代入满足方程必须代入t0时刻时刻的初值的初值 y（

6、0+）参考点参考点齐次解的函数形式仅与系统本身的特性系统本身的特性有关(反映的是系统的结构)而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；nitiiec1 齐次解举例齐次解举例 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tftytyttyttyt12dd16dd7dd2233解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为01216723 03223 ,221重根 tthCCtCty33221ee特征根特征根对应的齐次解为对应的齐次解为2.特解特解特解函数形式与激励的函数有关特解函数形式与激励的函数有关rmm 1mm 110t(PtP tPt P)t10P tP)e （特解的函数形式与激励

7、函数形式有关如下表，将特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特特解函数式解函数式代入原方程，比较定出待定系数。代入原方程，比较定出待定系数。激励激励f(t)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)mtmm 1mm 110P tPtP tP te tPe cost sint 12P costP sint rr 1trr 10P tPtP)e （特征根均不为特征根均不为0特征根特征根=特征根特征根=r重特征根重特征根特征根特征根j有有r重等于重等于0的的特征根特征根特解举例特解举例如果已知：如果已知：分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。tfttftyttyttydd3dd

8、2dd22 ,e 2 ;12ttfttf 例：例：给定微分方程式给定微分方程式 0122pPtPtPty解解:(1)由于由于f(t)=t2，故特解函数式为故特解函数式为 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 ttPPPtPPtP2322 34320121222这里，这里，P2，P1，P0，等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413012122PPPPPP联解得到联解得到2710 ,92 ,31012PPP所以，特解为所以，特解为 271092312pttty(2)(2)当当f(t)=et 时时 特解为特解为yp(t)=P et，这里，这里，P

9、是待定系数。是待定系数。代入方程后有：代入方程后有：tttttPPPeee3e2e31P。于是，特解为te31 3.全解全解完全解完全解 =齐次解齐次解 +特解特解注意：注意：齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关特解中待定系数特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；：特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。：在全解求得后由初始条件定。满足方程必须代入满足方程必须代入t0时刻时刻的初值的初值 y（0+）与激励与激励f f(t t)的函数形式无关的函数形式无关又叫固有响应或自由响应又叫固有响应或自由响应

10、特解的函数形式：特解的函数形式：又叫强迫响应又叫强迫响应由激励确定由激励确定自由响应自由响应强迫响应强迫响应 解:(1)特征方程为2+5+6=0 其特征根 1=2，2=3。齐次解为yh(t)=C1e 2t+C2e 3t 因为因为f(t)=2e t，故其特解可设为 yp(t)=Pe t 将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得P=1 于是特解为yp(t)=e t例 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时

11、的全解。举例举例其中待定常数C1,C2由初始条件确定。0+0+y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1解得C1=3，C2=2最后得全解y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0全解为：全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t 注意：注意：自由响应的系数C Cj j由系统的初始状态和激由系统的初始状态和激励信号共同来确定励信号共同来确定自由响应强迫响应一般输入是在t=0时接入系统方程的解适用于t0 解：齐次解同上。解：齐次解同上。由于f(t)=e2t，其指数与特征根之一相重。故其特解可设为yp(t)=(P1t+P0)e2t代入微分方程

12、可得P1e-2t=e2t所以P1=1 但P0不能求得。全解为全解为y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=1 最后得微分方程的全解为y(t)=2e2t e3t+te2t,t0注：注：上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)总结经典解思路 1 完全解完全解 y(t

13、)(完全解)=y h(t)(齐次解)+y p(t)(特解）2 Y h(t)(齐次解齐次解)Y h(t)-齐次方程齐次方程-特征方程特征方程-特征根特征根-齐次解形式 3 y p(t)y p(t)(特解）-输入激励输入激励f(t)-特解特解带入方程带入方程-待定系数待定系数求特解求特解 4 将将y(t)代入初始条件求解代入初始条件求解齐次解系数c1,c2-完全解在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或起始值起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。若输入f(t)是在t

14、=0时接入系统，方程的解适用于t0则确定确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。二二关于关于0-和和0+状态的转换状态的转换 解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）（由于上式对于所有由于上式对于所有t都都成立，等号两端成立，等号两端(t)项的系数应相等。）项的系数应相等。）由于等号右端为由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，

15、否则y”(t)将含有(t)项。由于于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0处是连续的。处是连续的。故y(0+)=y(0-)=2*方程包含方程包含(t)，则积分后函数有间断点，则积分后函数有间断点，方程不包含方程不包含(t)，则积分后函数连续，则积分后函数连续*例：例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）对式对式(1)两端积分有两端积分有

16、于是由上式得于是由上式得y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2因为y(0+)=y(0-)=2，所以y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)+2=2结论：结论：当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)L LT TI I系统系统 响应响应第第1 1种：自由响应种：自由响应+强迫响应强迫响应第第2 2种：零输入响应种：零输入响应+零状态响应零状态响应y yzizit):t):没有外加输入信号，只由起始状态

17、所产生的响应没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；y yzszst):t):不考虑起始储能的作用（起始状态不考虑起始储能的作用（起始状态=0=0），只由系），只由系统外加输入信号所产生的响应。统外加输入信号所产生的响应。全响应全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：的求取方法：借助借助经典方法经典方法卷积积分法（后面学）卷积积分法（后面学）1.1.概概 述述 y(t)=yh(t)+yp(t)全响应全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)三、零输入响应yzi(t)（没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应）零输入响应，零输入响

18、应，对应的输入为零，齐次微分方程为y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)0当其特征根都为单根，则零输入响应为：当其特征根都为单根，则零输入响应为：njtzijzijeCty1)(由于激励为零，故有由于激励为零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,n-1)由由y yzizi(j)(j)(0(0+)（0+=0-）自由响应njtjjecty1h)(由由y y(j)(j)(0(0+)对比齐次解对比齐次解四、零状态响应起始状态为起始状态为0只由外加输入信号所产生的响应只由外加输入信号所产生的响应非非齐次齐次方程方程y(n)

19、(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均为单根，则其零状态若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为响应为)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj 为待定系数，为待定系数，yp(t)为方程的特解为方程的特解由由y yzszs(j)(j)(0(0+)(j=0,1,2,-n-1)五、全响应五、全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应称为全响应

20、，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)零状态响应零输入响应强迫响应自由响应)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj由由y y(j)(j)(0(0+)由由y yzizi(j)(j)(0(0+)由由y yzszs(j)(j)(0(0+)响应及各阶导数初始值响应及各阶导数初始值(j=0,1,2,-n-1)y(t)=yzi(t)+yzs(t)y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)响应：响应

21、：且且yzi(0+)、yzs(0+)、及各阶导数的确定及各阶导数的确定（1 1）零输入响应零输入响应的的 起始条件起始条件yzi(0+)齐次方程解，系数不同齐次方程解，系数不同其中：其中：Czij要由起始条件要由起始条件yzi(j)(0+)定定且且 yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)零输入响应零输入响应 nitzijziieCy1 注意：注意：cj 初始状态和激励信号初始状态和激励信号共同决定共同决定 自由响应njtjjecty1h)(固有响应固有响应满足方程必须代入满足方程必须代入t0时刻时刻的初值的初值 y（0+）(j=0,1,2,-n-1)（2 2）零状态响应零

22、状态响应起始条件起始条件yzs(0+)njptzsjzstyeCtyj1)()(零状态响应零状态响应C Czsjzsj-由由yzs(j)(0+)定定t=0_时时:激励没有接入激励没有接入yzs(j)(0-)=0零状态（前提）零状态（前提）t0后：后：t0后：后：有输入有输入微分方程微分方程=右端有没有右端有没有函数函数若有，利用若有，利用函数匹配法函数匹配法(j=0,1,2,-n-1)解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故yzi(t)满足yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0该齐次方程的特征根为1，2，故yzi(t)=Czi1e t+Czi2e 2t（Czi1 Czi2 由由

23、 yzi1(0+)、yzi2(0+)决定）决定）yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=0代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得yzi(t)=4e t 2e 2t,t 0例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。注意此时系数注意此时系数C的求法！的求法！（2 2）零状态响应）零状态响应yzs(t)y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成解的形式：同非齐次方程，由两部分组成形式同齐次方程的解

24、形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）（满足非齐次方程）)()(1tyeCtyptnjzsjzsyzs(j)(0+)C Czs1zs1 C Czs2zs2 :由由yzs(0+)及及yzs,(0+)定定y zs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6y yzszs(t)(t)中有中有3 3各系数待定：各系数待定：C Czs1 ,zs1 ,C Czs2,zs2,C CC C 应满足：应满足：带入方程求得：带入方程求得：C=3C=3 yzs(0+)=？yzs(0+)=？由由函数匹配法定：函数匹配法定：分析分析+直接积分直接积分(对对t0后后)yzs(0+)=0yzs(0+)=2 yzs”(t)

25、+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)yzs(0-)=yzs(0-)=0 零状态响应零状态响应yzs(t)满足下列方程满足下列方程yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C 该齐次方程的特征根为1，2y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)右端有右端有(t)微分方程积分得：微分方程积分得：yzs”(t)含有含有(t)yzs(t)跃变跃变yzs(t)在在t=0连续连续yzs(0+)yzs(0-)yzs(0+)=yzs(0-)=0yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-)

26、+2 0000)(62)(dttdttyzs 因此，因此，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2 yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3 代入初始值代入初始值yzs(0+)=0，yzs(0+)=2求得求得 yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应概述：概述：学习了学习了2 2种求种求LTILTI系统响应的方法系统响应的方法自由响应自由响应+强迫响应强迫响应零输入零输入响响应应+零状态响应零状态响应 下面一节的内容，针对下面一节的内容，针对零状态响应零状态响应的求取，的求

27、取，找寻一种好方法。找寻一种好方法。零状态响应零状态响应 把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶 冲击响应冲击响应 阶跃响应阶跃响应跃函数之和跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲击函积分），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用数或阶跃函数的响应，利用LTI LTI 系统的特性，系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应零状态响应。学习系统对冲击或阶跃信号的零状态响应：学习系统对冲击或阶跃信号的零状态响应：一、冲激响应一、冲激响应1定义 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为所引起

28、的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)冲激响应示意图冲激响应示意图 x(0)=02系统冲激响应的求解冲激响应的数学模型对于对于LTILTI系统系统,可以用一可以用一n阶微分方程表示阶微分方程表示 )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn令令 f(t)=(t)则则 y(t)=h(t)响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d01111

29、01111tfbttfbttfbttfbtyattyattyattymmmmmmnnnnn )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn)()(1tecthnitii 例例:当特征根均为单根时当特征根均为单根时 h(t)解的形式:由于由于(t t)及其导数在及其导数在 t0+时都为零，时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零因而方程式右端的自由项恒等于零.及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n,m相对大小有

30、关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关这样原系统的冲激响应形式这样原系统的冲激响应形式与与齐次齐次解的形式相同。解的形式相同。njptzsjzstyeCtyj1)()(0带带(t)当当n阶微分方程右端只含激励阶微分方程右端只含激励f（t）=(t)时时冲击响应满足：h(n)(t)+a n-1 h(n-1)(t)+a1h(1)(t)+a0h(t)=(t)且1)0(h2-n.1,0j0)0(h1-n.1,0j0)0(h)1-n()j()j(，解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3,1034212 冲激响应冲激响应)()ee()(321tCCth

31、tt 例例1 1 求系统的冲激响应求系统的冲激响应 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty mnmn ,1,2 中中不不包包含含冲冲激激项项th两种求待定系数方法：两种求待定系数方法：平衡求平衡求0+0+法法 奇异函数相平衡求待定系数法奇异函数相平衡求待定系数法法一：法一：平衡求平衡求0 0+值确定系数值确定系数)()e(e21)(3tthtt )()()2()()()()1()()(2)()(321,trthtrtthtrttth ，代入h(t)，确定系数C1,C2，得代入微分方程，代入微分方程，利用利用(t)(t)系数匹配系数匹配:a=1 b=-2所以所以：对

32、式对式(1)(1)从从0-0-到到0+0+积分得积分得:h,(0+)h,(0-)=2 000)(dtt，对式对式(2)(2)从从0-0-到到0+0+积分得积分得:h(0+)h(0-)=11)0(2)0(hh，trthtrtatthtrtbtatth32122dddd 设设)()ee()(321tCCthtt )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty 法二：用用奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法求待定系数求待定系数 )(ee)(321tCCthtt )(e3e)()(e3e)(ee)(32121321321tCCtCCtCCtCCthtttttt tCCtCCtCC

33、thtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121ttttCCtCC 2121231212121CCCCCC )(ee21)(3tthtt 根据系数平衡，得根据系数平衡，得不用求 h(0+)、h,(0+)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 解法三：解法三：线性时不变性质法线性时不变性质法 )(ee)(3211tCCthtt 解：解：求冲击响应求冲击响应 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty 设设h h1 1(t t)满足简单方程满足简单方程)()(3d)(d4d)

34、(d11212tthtthtth 00 1011 hh )(ee213ttt 将边界条件代入将边界条件代入h h1 1(t t)式，解得式，解得 C C1 1=1/2=1/2，C C2 2=-1/2=-1/2，)(2d)(d)(11thtthth 则由则由系统的线性时不变特性系统的线性时不变特性 )(ee21)(31tthtt 解根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)由方程可知，h(t)中含(t)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0+)。令h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)h(t)=a(t)+b(t)+p2(t

35、)h(t)=a(t)+p1(t)p1(t)为不含(t)的某函数代入式(1)，有例2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到

36、0+积分得h(0+)h(0-)=12a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲激响应为h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0故h(0+)=3，h(0+)=123.基本单元的冲激响应 二、阶跃响应阶跃响应示意图阶跃响应示意图*阶跃响应是激励为单位阶跃

37、函数阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)(t)时，系统的零时，系统的零状态响应，如下图所示。状态响应，如下图所示。线性非时变系统g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示阶跃响应表示阶跃响应 如果描述系统的微分方程是式如果描述系统的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，当当f(t)=f(t)=(t)(t)时，有时，有01)(atgp式（式（1 1）的）的特解为特解为)1()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值为其初始值为:0)0()0()0()0(

38、)0()0()0()0()2()1()2()1(ggggggggnnnnt0，1)(t若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均为单均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)(nm)为为 )()1()(01taectgnitii若描述系统的微分方程是式描述系统的微分方程是式可根据可根据LTI系统的线性性质和系统的线性性质和微积分微积分特性求出阶跃响应：特性求出阶跃响应：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(g(j)(0+)()()()()()()()(0111101111tbtbtbt

39、bthathathathmmmmnnn解：系统的微分方程解：系统的微分方程 设图中左端左端积分器的输入为x(t)，输出为x(t)，右端右端积分器的其输入为x(t)，则输出为x(t)。左端左端加法器的输出为x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t)（1）右端加法器的输出为：y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）例例2.2-3 如图如图2.2-3 所示的所示的LTI系统，求其阶跃响应系统，求其阶跃响应 y(t)+f(t)-2 3 1 2 x(t)x(t)x(t)x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2 x(t

40、)（2）阶跃响应阶跃响应若设（1）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有 g(t)=-gx(t)+2 gx(t)gx(t)满足方程 gx(t)+3 gx(t)+2 gx(t)(t)gx(0_)=gx(0_)=0其特征根11；22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值为gx(0)=gx(0)=0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0;gx(0)=-C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5所以，gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5)(t)求出 gx(t)，代入g(t)=-gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=-gx(t)+2

41、gx(t)(-3e-t+2e-2t+1)(t)解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）系统的微分方程为：y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当f(t)=(t)时，有)3()(2)()(2)(3)(ttththth0)0()0(hh先求h(0+)和h(0+)令：)6()()()5()()()()4()()()()(210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式从）式从0-到到0+积分得积分得5)0()0(hh将上三式代入（将上三式代入（3）式得）式得)(2)(

42、)(2)(3)(3)()()(210tttrtrtatrtbta23;1baa5;1ba5)0(h由（由（5）式从）式从0-到到0+积分得积分得1)0(h可以求得系统的冲激响应为可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t)(t)0)(2)(3)(ththth当当t0,有有所以所以ttececth221)(5)0(h1)0(h由由)()123()()(2teedxxhtgttt2.3 卷积积分 一、信号的时域分解与卷积积分 1.信号的时域分解(1)预备知识 问f1(t)=?p(t)P（t）延时(2)任意信号分解任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为，用p(t)表示为：f(0

43、)p(t)“1”号脉冲高度f(),宽度为 ，用p(t-)表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度f(-)、宽度为，用p(t+)表示 为：f(-)p(t+)(2)任意信号分解任意信号分解任意任意f(t)用许多窄脉冲表示出来用许多窄脉冲表示出来nntpnftf)()()(dtftftf)()()()(lim0信号信号f(t)f(t)分解为分解为冲击函数叠加冲击函数叠加n（连续）d（无限小）f(n)f()P(t-n )(t-)0有2.任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)f()

44、(t-)由齐次性：由齐次性：f()h(t-)由叠加性：由叠加性：d)()(tf d)()(thff(t)yzs(t)d)()()(thftyzs卷积积分卷积积分3.卷积积分的定义卷积积分的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 )()(d)()()(thtfthftyzs 变量，变量，t为参变量，结果仍为为参变量，结果仍为t 的函数。的函数。和和f2(t)，则定义积分，则定义积分 f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量积分是在

45、虚设的变量下进行的，下进行的，为积分为积分注意积分限问题：)(*)()()(2121tftfdtff)()(*)()()(2121ttftfdtfft)(*)()()()(21021tfttfdtff)()(*)()()()(21021ttfttfdtfft二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元：）换元：t 换为换为得得 f1()、f2()（2）反转平移：由）反转平移：由f2()反转反转 f2()平移平移 t f2(t-)（3）两信号重叠部分相乘：）两信号重叠部分相乘：f1()f2(t-)（有值保留）有值保

46、留）（4）相乘后图形积分：）相乘后图形积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。（重叠面积）（重叠面积）注意：注意：t为参变量，为参变量，t在实数轴上取值在实数轴上取值图解法计算卷积举例图解法计算卷积举例例例1 f(t)、h(t)如图所示，求如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)解解 h(t)函数形式复杂函数形式复杂,换元换元h()。f(t)函数：换元为函数：换元为f()、反折、反折h()f(-)f(t)h(t)tt12122并平移并平移t22t f(t-)h()()(d)()()(thtfthftyzs 图解法计算卷积举例图解法计算卷积举例(2)(2)0t 1 t0 f(t-)：dt

47、fhtfthtyzs)()()()()(yzs(t)=0 f(t-)2th()tzstdty024121)(3)(3)1t 2412121)(1 ttzstdty 21h()t1h()tt0,t0,h(h()=0)=0f(t)1图解法计算卷积举例图解法计算卷积举例(4)(4)2t 3 dtfhtfthtyzs)()()()()(5)(5)3t+0)(tyzs 21243214121)(tzsttdty h()t323tt-1h()2例例2.3-1 f2.3-1 f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)如图所示，求如图所示，求f(t)=ff(t)=f1 1(t)(t)*f f2 2(t)(

48、t)f f1 1(t)(t)t t-222解解f1(t)函数：换元为函数：换元为f1()f2(t)函数：换元为函数：换元为f2()、反折、移位、反折、移位t tf f2 2(t)(t)t t2 f f2 2(-(-)-2f f1 1()2-22tf2(t-)f f1 1()2-22（1）-t -2 没有重叠，没有重叠，f(t)=0（2）-2 t 0tf2(t-)f1()f2(t-)-2 t tttddtfftf2221)2(23432)()()(（3）0 t 2f1()f2(t-)tt-2 ttttddtfftf22213432)()()(（4）2 t 42f1()f2(t-)tt-2 2 2

49、22221)4(23432)()()(tttddtfftf （5）4 t 没有重叠，没有重叠，f(t)=0f 2(t-)f 1()4卷卷 积积 计计 算算例例3 3 f1(t)=3e-2t()，f2(t)=2(t)求求 f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2()2(t-)t解：解：dtetf)(2)(3)(2分析：分析：（1）t t0 即即 0（4）积分限：积分限：0-3(t-5)：-3,t2(t+3)*(t-5)=(t-2)(t-2)1.(t+3)*(t-5)卷积性质例题(t+3)*(t-5)例例1 1解：解：方法二方法二.(t)*(t)=t(t)(t+3)*(t-5)=(t)*(t)*(

50、t+3-5)=t t(t)(t)*(t+3-5)(t+3-5)分析：分析：利用性质及结论利用性质及结论 f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)=(t-2)(t-2)应用应用T(t)产生周期信号产生周期信号 f 1(t)toto T2 TT2TcombT(t)to T2 TT2TfT(t)(a)(b)(c)周期性单位冲击函数序列周期性单位冲击函数序列)()(mTttmTMMmTTmTtfmTttfmTttfttftf)()()()()()()()(1111分配率分配率三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质(1)121212()()()()()()ddfftdfftftftdt