(高中数学必修5)基本不等式课件.ppt

1、2abab 会标的设计源中国会标的设计源中国古代数学家古代数学家为了证为了证明发明于中国周代的勾明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的它既标志着中国古代的数学成就，数学成就，又像一又像一只转只转动的风车，欢迎来自世动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。界各地的数学精英们。ADBCEFGHab22ab你能在图中找出一些面积的相等或你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗不等关系吗一般一般地，对于任意实数地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222abababba222不等式：不等式：（当且仅当（当且仅当

2、a=b时，等号成立）时，等号成立）222abab特别地，如果特别地，如果a0a0、b0,b0,用用 分别分别代替代替a a、b b得：得：ab、2aba b22（）+（）即：即：2 aba+b写成：写成：(0,0)2a babab_要证要证2abab只要证只要证ab显然是成立的，当且仅当显然是成立的，当且仅当_时，等号成立时，等号成立下面证明不等式：下面证明不等式：(0,0)2a babab证明：证明：2 ab要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)02 abababABEDCab?由由“半径不小于半弦半径不小于半弦”得：得：几何解释几何解释(0,0)2a bababR

3、 Rt tACDACDR Rt tDCBDCBCDCD2 2=AC=AC BC BCCD=CD=ab2abab即即(0,0)2ababab当且仅当当且仅当C C与圆心重合，即与圆心重合，即a=ba=b时，等号成立时，等号成立基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：不等式不等式的的。(0,0)2a babab222abab的适用范围呢？的适用范围呢？a,bR1.如果把如果把 看作是正数看作是正数a、b的等差中项，的等差中项，看作是正数看作是正数a、b的等比中项，那么该定的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小理可以叙述为：两个正数的等

4、差中项不小于它们的等比中项于它们的等比中项.2.在数学中，在数学中，我们称我们称 为为a、b的算术平均的算术平均数，数，称称 为为a、b的几何平均数的几何平均数.本节定理本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数于它们的几何平均数.2baab2baab 注意：注意：)0,0(2babaab基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab222abab常用的不等式：常用的不等式：重要不等式：重要不等式：2()2abab2a bab 基本不等式的变形：基本不等式的变形：其中恒成立的是其中恒成立的是 _例例1：设：设0a1，给出下列不等式，给出

5、下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa 解解:2(1)1(1)01,10(1)24aaaaaa 112aaa当且仅当即时，等号成立一正一正二定二定三相等三相等 解解:22111aa当且仅当时，等号成立22222111 0,12(1)211aaaaa （2）显然222211(1)11aaa而否则就有，等号不成立一正一正二定二定三相等三相等其中恒成立的是其中恒成立的是 _例例1：设：设0a1，给出下列不等式，给出下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa 归纳小结：用基本不等式要注意归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是其中恒成立的是 _例例1：设：设0a1，给出下列不

6、等式，给出下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa(1)(1)（1 1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2 2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3 3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否 能取能取“”，否则会出现错误，否则会出现错误例例2：下列各式中，用基本不等式可以得到：下列各式中，用基本不等式可以得到 最小值最小值 4 的是（的是（）4.Ayxx4.sin(0)sin2B yxxx1.8(0)2Cyxxx1.(1)1.(1)已知

7、两个正数已知两个正数a,ba,b的积等于的积等于36,36,则当则当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的和它们的和最小最小,最小值等于最小值等于_？(2)(2)已知两个正数已知两个正数a,ba,b的和等于的和等于18,18,则则 当当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的积最大它们的积最大,最大值等于最大值等于_？12yxx函数的最小值是222sin22sin(1 4)yxx11函数(0 x012(1)1 3(1)xx 1121xxx 当且仅当即时，有最小值3一正一正二定二定三相等三相等基本不等式基本不等式(0,0)2ababab2abab2()2abab2abab布置作业布置作业P10

8、0 AP100 A组组 第第1 1题题P101 BP101 B组组 第第1 1题题选做题：选做题：当当x0 x0时，求时，求 的最大值的最大值 xx1应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题分析：分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）_一定，求一定，求_的最大值的最大值长与宽的积长与宽的积联想：联想：2abab例例2、（、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为）一段

9、长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？例例2、（、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用二：解决最

10、大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题解：解：(1)设长为设长为xm,宽为宽为ym,则则xy=100,篱笆的长为篱笆的长为2(x+y)m由由100102xyxy可得可得20 xy 2（x+y）40当且仅当当且仅当x=y即即x=y=10时，等号成立时，等号成立答答(略略)一正一正二定二定三相等三相等例例2、（、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的

11、长、宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题解：解：(2)设长设长xm,宽宽ym,则则2(x+y)=36,x+y=18面积为面积为xy m2由由18922xyxy可得可得81xy 当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立时，等号成立答答(略略)应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题（1）两个正数的）两个正数的 为定值，为定值，有最小值有最小值（2）两个正数的）两个正数的 为定值，为定值，积积有最大值有最大值例例2、（、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？