1、授课者：许红梅授课者：许红梅数学选修数学选修4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程做一做做一做 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。条曲线。定义定义：直线在圆上纯滚动时，：直线在圆上纯滚动时，直线上一点直线上一点M的轨迹叫做该的轨迹叫做该圆的渐开线圆的渐开线。该圆叫渐开线的。该圆叫渐开线的基圆基圆，直线叫渐开线的直线叫渐开线的发生线发生线。思考：思考：动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔
2、尖）满足什么几何条件？ABMO渐开线的参数方程渐开线的参数方程ABMOxy 以基圆圆心以基圆圆心O为原点，为原点，直线直线OA为为x轴，建立平轴，建立平面直角坐标系。面直角坐标系。ABMOxy渐开线的参数方程渐开线的参数方程)sin(cos)cos(sinrxry为参数例例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所求齿廓所在的渐开线的参数方程。在的渐开线的参数方程。解：因为基圆的直径为解：因为基圆的直径为22mm，所以，所以基圆的半径为基圆的半径为11mm，因此齿廓线的，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：渐开线的参数方程为：
3、X=11(cos+sin)Y=11(sin cos)（为参数）为参数）例例2.当当=，时，求出渐开线时，求出渐开线2X=cos+sin Y=sin cos的对应点的对应点A，B坐标，并求出坐标，并求出A，B的的距离。距离。23 思考：思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？色印记会画出什么样的曲线？定义定义：当一个圆沿着一条定直线无滑动地：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹叫做滚动时，圆周上一个定点的轨迹叫做平摆线平摆线，简称简称摆线摆线，
4、又叫，又叫旋轮线。旋轮线。OABM 思考：思考：圆在滚动过程中，圆周上的这个动圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。点满足的几何条件。OABM摆线的参数方程摆线的参数方程 根据点根据点M满足的几何条件，我们取定直线满足的几何条件，我们取定直线为为X轴，定点轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r。xyODAEBMC所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1 cos).xryr为参数(,),Mx yM 设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有xyODAE
5、BMC(1)在在摆摆线线的的参参数数方方程程中中，参参数数 的的取取值值范范 思思 考考：围围是是什什么么？一一个个拱拱的的宽宽度度与与高高度度各各是是多多少少？0);22().rrr 参参数数 的的取取值值范范围围是是，一一个个拱拱的的宽宽度度是是，高高度度是是其其中中是是滚滚动动圆圆的的半半径径(sin),()(1 cos).xryr为参数小结：(sin),()(1 cos).xryr为参数)sin(cos)cos(sinrxry为参数1.渐开线和摆线渐开线和摆线2.渐开线参数方程渐开线参数方程3.摆线参数方程摆线参数方程作业优化学案50页：3题，6题，8题其他常见类型摆线其他常见类型摆线水调歌头水调歌头重上井冈山重上井冈山 毛泽东久有凌云志，重上井冈山。千里来寻故地，旧貌变新颜。到处莺歌燕舞，更有潺潺流水，高路入云端。过了黄洋界，险处不须看。风雷动，旌旗奋，是人寰。三十八年过去，弹指一挥间。可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还。世上无难事，只要肯登攀。
