单元刚度矩阵-西南交通大学课程与资源中心课件.ppt

1、 s o u t h w e s t j I a o t o n g u n I v e r s I t y西南交通大学西南交通大学Southwest Jiaotong University山岭隧道山岭隧道课程课程第第 五五 章章支护结构设计支护结构设计山岭隧道山岭隧道1 荷载结构模式计算方法荷载结构模式计算方法 地层结构模式计算方法地层结构模式计算方法 复合式衬砌结构设计复合式衬砌结构设计 单层衬砌结构设计单层衬砌结构设计 TBM管片衬砌结构设计管片衬砌结构设计 衬砌结构耐久性设计概要衬砌结构耐久性设计概要主要内容主要内容山岭隧道山岭隧道2第一节第一节 荷载结构模式计算方法荷载结构模式计算方

2、法数值方法数值方法山岭隧道山岭隧道3地下结构地下结构地层中的封闭式结构，超静定问题。地层中的封闭式结构，超静定问题。考虑结构与围岩的相互作用，由结构的变位才能考虑结构与围岩的相互作用，由结构的变位才能确定弹性反力的范围和大小。确定弹性反力的范围和大小。结构的变位又是在主动荷载和弹性反力共同作用结构的变位又是在主动荷载和弹性反力共同作用下发生的，求解是一个下发生的，求解是一个非线性问题非线性问题。计算方法计算方法：主动荷载模型主动荷载模型，假定弹性反力模型假定弹性反力模型，计算弹性反力模型。计算弹性反力模型。山岭隧道山岭隧道4地下结构杆系结构有限元基本原理为：地下结构杆系结构有限元基本原理为：n

3、将结构与围岩共同组成的结构体系将结构与围岩共同组成的结构体系-离散离散-节点和单节点和单元（梁单元、杆单元和弹性支承单元等）元（梁单元、杆单元和弹性支承单元等）；n以每一个节点的以每一个节点的（分别为（分别为x方向、方向、y方向的位移及方向的位移及xOy平面内的转角）平面内的转角）3个位移为未知数个位移为未知数；n2个连续条件个连续条件：连接在同一连接在同一节点节点的各单元的节点位移应该相等的各单元的节点位移应该相等变形协调条件变形协调条件；节点节点上作用的各单元的节点力相平衡上作用的各单元的节点力相平衡静力平静力平衡条件衡条件。山岭隧道山岭隧道5有限元分析过程如下：初期支护单元模型初期支护单

4、元模型 首先首先要进行单元分析，找出单元节点力与单元节要进行单元分析，找出单元节点力与单元节点位移的关系点位移的关系单元刚度矩阵单元刚度矩阵，然后然后进行整体分析进行整体分析，建立起以节点静力平衡为条件的总体结构刚度方程，建立起以节点静力平衡为条件的总体结构刚度方程式，在总体构刚度方程式中引入边界条件，式，在总体构刚度方程式中引入边界条件，求得结构节点位移后，求得结构节点位移后，再再由各单元的由各单元的节点荷载与位移的关系计算各单元节点荷载与位移的关系计算各单元的节点抗力、单元内力。的节点抗力、单元内力。山岭隧道山岭隧道6结构力学计算模型的建立结构力学计算模型的建立单元刚度矩阵分析单元刚度矩阵

5、分析等效节点荷载等效节点荷载整体分析整体分析计算模型建立工程实例计算模型建立工程实例 单元内力分析单元内力分析主要内容主要内容山岭隧道山岭隧道7一、结构力学计算模型建立一、结构力学计算模型建立山岭隧道山岭隧道8结构体系的理想化结构体系的理想化外荷载理想化外荷载理想化边界条件边界条件主要内容主要内容山岭隧道山岭隧道9地下结构地下结构有限个有限个单元单元的组合体；的组合体；单元之间通过单元之间通过节点节点连接，作用在结构上的外荷连接，作用在结构上的外荷载和内力只能通过节点力进行传递；载和内力只能通过节点力进行传递；以以节点节点位移（或节点力）来代表整个结构的位移（或节点力）来代表整个结构的变变形形

6、状态（或受力状态）状态（或受力状态）。对于地下结构体系来说，结构的理想化包括对于地下结构体系来说，结构的理想化包括支护结构支护结构的理想化和的理想化和围岩围岩的理想化两部分内容。的理想化两部分内容。1、结构体系的理想化结构体系的理想化山岭隧道山岭隧道10杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元1 1）支护结构理想化支护结构理想化单元的联节点视为单元的联节点视为节点节点；地下支护结构地下支护结构：弯矩弯矩和和轴力轴力是主要因素，离散化是主要因素，离散化为为同时承受弯矩和轴力的直杆所组成的折线形组合体；同时承受弯矩和轴力的直杆所组成的折线形组合体；隧道支护结构单元的

7、力学性质隧道支护结构单元的力学性质荷载和位移的关系荷载和位移的关系，由弹性地基梁理论确定，即它是由弹性地基梁理论确定，即它是小变形的小变形的，符合符合虎克虎克定律定律。山岭隧道山岭隧道11杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元1 1）支护结构理想化支护结构理想化山岭隧道山岭隧道12 拱拱、墙墙的单元的单元各取各取相等的长度。假定每个单相等的长度。假定每个单元都是元都是等厚度等厚度的，其计算厚度有三种取法：的，其计算厚度有三种取法：取单元两端厚度的平均值；取单元两端厚度的平均值；取单元中点的厚度；取单元中点的厚度；取单元的平均厚度。取单元的平均厚度。1 1）支护

8、结构理想化支护结构理想化山岭隧道山岭隧道13 整体式隧道衬砌结构本身的理想化模型见下图。拱形结构边墙底端是弹性固定的，能产生转动和垂直下沉。整体式拱形结构的理想化1 1）支护结构理想化支护结构理想化山岭隧道山岭隧道14复合式隧道衬砌结构复合式隧道衬砌，l喷层较薄（如5cm以下）时，可离散化为杆单元，l喷层较厚（如5cm以上）时，可离散化为梁单元；喷层和二次衬砌之间用杆单元连接，如下图。1 1）支护结构理想化支护结构理想化山岭隧道山岭隧道15将连续围岩离散为独立将连续围岩离散为独立岩柱岩柱，纵向计算宽度，取，纵向计算宽度，取单位长度单位长度,b=1,b=1；另一边长；另一边长取取两个相邻的衬砌单

9、元的两个相邻的衬砌单元的长度和之半长度和之半,h,h。用用弹性支承弹性支承代替岩柱，并以代替岩柱，并以铰接铰接的方式作用在衬的方式作用在衬砌单元的节点上，只承受轴力。砌单元的节点上，只承受轴力。弹簧服从局部变形假定（即弹簧服从局部变形假定（即温克尔假定温克尔假定）,即：即：2 2）围岩的理想化围岩的理想化Khbk KK围岩的围岩的弹性抗力系数弹性抗力系数，隧隧规规山岭隧道山岭隧道162 2）围岩的理想化围岩的理想化拱形结构围岩的理想化山岭隧道山岭隧道17围岩围岩-限制衬砌轴线的限制衬砌轴线的法向位移法向位移和和切向位移切向位移。法向设置，代替围岩的法向设置，代替围岩的法向约束法向约束，切向设置

10、，切向设置，代替围岩的代替围岩的切向约束切向约束。2 2）围岩的理想化围岩的理想化弹性支承的设置方向山岭隧道山岭隧道18衬砌与围岩的衬砌与围岩的粘结粘结就比较好，传递就比较好，传递法向压力法向压力、法向法向拉力拉力，具有具有抗剪强度抗剪强度，遵循，遵循摩尔摩尔库仑库仑条件，即：条件，即：=tg+c 、衬砌与围岩接触面的衬砌与围岩接触面的切向切向和和法向法向应力；应力；衬砌与围岩间的的衬砌与围岩间的的摩擦角摩擦角；c衬砌与围岩的衬砌与围岩的粘结力粘结力。2 2）围岩的理想化围岩的理想化复合式衬砌，喷层和二次衬砌之间设有复合式衬砌，喷层和二次衬砌之间设有防水层防水层，只，只传递法向力传递法向力，可

11、用法向可用法向杆单元杆单元来模拟来模拟。山岭隧道山岭隧道19隧道结构的外荷载，除了隧道结构的外荷载，除了自重自重外，主要是外，主要是围岩的压围岩的压力力。外荷载和内力都通过外荷载和内力都通过节点节点进行进行传递传递。隧道结构理想化隧道结构理想化：将作用在单元中间的荷载，置换将作用在单元中间的荷载，置换成作用在单元节点上的荷载，称为成作用在单元节点上的荷载，称为节点荷载节点荷载。2 2、外荷载理想化外荷载理想化应应按按静力等效原则静力等效原则进行置换，即虚功进行置换，即虚功原理原理。实际实际常按常按简支分配简支分配的原则进行置换的原则进行置换山岭隧道山岭隧道202 2、外荷载理想化外荷载理想化外

12、荷载理想化山岭隧道山岭隧道21例如：例如：第第1 1节点的节点荷载节点的节点荷载P1P1为为:第第2 2节点的节点荷载节点的节点荷载P2P2为：为：2 2、外荷载理想化外荷载理想化2221211xqbxxxqbP 221323122xxqbxxxxqbP山岭隧道山岭隧道22边界条件边界条件就是通常所说的结构支承方式。就是通常所说的结构支承方式。拱形支护结构拱形支护结构：无仰供无仰供墙脚水平刚性约束，竖向和转动弹性约束；墙脚水平刚性约束，竖向和转动弹性约束；有仰供有仰供基底较硬时可以法向采用刚性约束，较软时，基底较硬时可以法向采用刚性约束，较软时，竖向和切向弹性约束；竖向和切向弹性约束；统一解决

13、方案：统一解决方案：封闭结构采用全周的弹性约束（法向或封闭结构采用全周的弹性约束（法向或切向），不封闭结构还需考虑脚趾处的弹性转动约束。切向），不封闭结构还需考虑脚趾处的弹性转动约束。3 3、边界条件边界条件山岭隧道山岭隧道23二、二、单元刚度矩阵分析单元刚度矩阵分析山岭隧道山岭隧道24梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵（重点）（重点）杆单元刚度矩阵杆单元刚度矩阵弹簧支承单元的刚度矩阵弹簧支承单元的刚度矩阵基底弹性支承单元的刚度基底弹性支承单元的刚度主要内容主要内容山岭隧道山岭隧道25用用杆系结构杆系结构有限元分析地下结构时有限元分析地下结构时:梁单元梁单元之间用之间用节点节点连接连接地下结构与围岩

14、地下结构与围岩的作用的作用弹簧弹簧单元表示单元表示:单元定义单元定义ijk1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 1、梁单元刚度矩阵山岭隧道山岭隧道26 离散的梁单元离散的梁单元可用它的两端点来命名。可用它的两端点来命名。（1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵对每一根梁单元对每一根梁单元ijij均可取一个坐标均可取一个坐标x ox oy y，称为称为ijij梁单元的梁单元的局部坐标系局部坐标系。1、梁单元刚度矩阵梁单元的局部坐标系1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道271、梁单元刚度矩阵

15、梁单元在荷载作用下将产生梁单元在荷载作用下将产生变形变形，两节点也，两节点也将产生位移将产生位移,以列阵表示：以列阵表示：Tvu、则则 称为梁单元局部坐标系中的节点位移列阵称为梁单元局部坐标系中的节点位移列阵。1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道281、梁单元刚度矩阵对于对于i节点：节点：对于对于j节点：节点：uiixyijvivjujj 节点位移XiMixyijYiYjXjMj 内力分量 Tiiivu、i Tjjjvu、j1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道291、梁单元刚度矩阵 梁端内力梁端内力

16、,在局部坐标系中分别用在局部坐标系中分别用X X、Y Y、M M表示，组成一个列阵。表示，组成一个列阵。对于对于i i节点：节点：对于对于j j节点：节点：TiiiMYX、ijf TjjjMYX、jif1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道30 利用叠加原理，可以得到局部坐标系下，在利用叠加原理，可以得到局部坐标系下，在局部坐标系的分量的表达式为：局部坐标系的分量的表达式为：jjiiijjiiijiilEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEIYulEAulEAX2646612612222323式中式中：E-E-弹性模量弹性模量；l-

17、l-单元的长度，单元的长度，I-I-单元的截单元的截面惯性矩，面惯性矩，A-A-单元的横截面积。单元的横截面积。1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 1、梁单元刚度矩阵山岭隧道山岭隧道31这三个式子可以用矩阵表示：这三个式子可以用矩阵表示：（2.2.7）jjjiiiiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYX2604606120612000002223231、梁单元刚度矩阵1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道32同理可得同理可得j端内力矩阵表达式：端内力矩阵表达式：（2.2.8）j

18、jjiiijjjvuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYX4602606120612000002223231、梁单元刚度矩阵1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道33将（将（2.2.7）和（）和（2.2.8）式合并，则：）式合并，则：（2.2.9）jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYX4602606120612000002604606120612000002223232223231、梁单元刚度

19、矩阵1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道34简写为：简写为：其中：其中：kf TjjjiiiMYXMYX、jiijfff Tjjjiiivuvu、ji1、梁单元刚度矩阵1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道351、梁单元刚度矩阵 矩阵称为梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。矩阵称为梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵 具有如下性质：具有如下性质：梁单元刚度矩阵只与梁单元的物理性质（如梁单元刚度矩阵只与梁单元的物理性质（如E E）和）和几何尺寸（如几何尺寸（如A A、I I、

20、l l）有关）有关；是一个是一个对称矩阵对称矩阵；对应的行列式对应的行列式=0,=0,奇异矩阵。奇异矩阵。1 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道山岭隧道361、梁单元刚度矩阵2 2）坐标变换坐标变换 在对整个支护结构进行讨论时，必须要对整在对整个支护结构进行讨论时，必须要对整个结构再建立一个统一的，通用的坐标系个结构再建立一个统一的，通用的坐标系xoyxoy，这样建立的坐标系称为整体坐标系，如图这样建立的坐标系称为整体坐标系，如图2.2.52.2.5所示。所示。山岭隧道山岭隧道371、梁单元刚度矩阵图2.2.5 节点内力坐标系下转换XjXiMi=Mixyi

21、jYiYjyxMj=MjXjXiYiYj2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道381、梁单元刚度矩阵 对于梁单元在局部坐标系中存在的这些量各对于梁单元在局部坐标系中存在的这些量各关系，在整体坐标系中，也将有相应的量和关系关系，在整体坐标系中，也将有相应的量和关系存在。存在。坐标变换，内容包括：坐标变换，内容包括：i i）导出梁单元梁端内力在局部坐标系中的分量）导出梁单元梁端内力在局部坐标系中的分量和在整体坐标系中的分量之间的关系；和在整体坐标系中的分量之间的关系；2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道391、梁单元刚度矩阵ii)ii)导出梁单元节点位移在局部坐标系中的分量导出梁单元节点位移在局部坐

22、标系中的分量和在整体坐标系中的分量之间的关系；和在整体坐标系中的分量之间的关系；iii)iii)给出在整体坐标系中梁端内力列阵给出在整体坐标系中梁端内力列阵 和节点和节点位移列阵位移列阵 之间的关系式。之间的关系式。坐标变换是由局部坐标系中对梁单元的分析过渡坐标变换是由局部坐标系中对梁单元的分析过渡到由整体坐标系中对梁单元的分析中不可缺少的到由整体坐标系中对梁单元的分析中不可缺少的一个中心环节。一个中心环节。2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道40图2.2.6 杆单元的坐标转换1、梁单元刚度矩阵 梁端内力的坐标变换梁端内力的坐标变换 如图如图2.2.62.2.6所示所示,设局坐标系设局坐标系

23、和整体坐标系和整体坐标系 之间的夹角为之间的夹角为。2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道411、梁单元刚度矩阵则在局部坐标系下的梁端内力分量为则在局部坐标系下的梁端内力分量为：iiiMYXijf jjjMYXjif2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道421、梁单元刚度矩阵则在整体坐标系下的梁端内力分量为：则在整体坐标系下的梁端内力分量为：iiiMYXijf jjjjiMYXf2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道431、梁单元刚度矩阵 以以i i端为例，导出梁端内力在局部坐标系下端为例，导出梁端内力在局部坐标系下的分量和在整体坐标系下的分量关系，写成矩阵的分量和在整体坐标系下的分量关系，写成矩阵

24、形式：形式：（2.2.132.2.13）iiiiiiMYXMYX1000cossin0sincos2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道441、梁单元刚度矩阵研究研究j j端情况，同理可得：端情况，同理可得：（2.2.142.2.14）jjjjjjMYXMYX1000cossin0sincos2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道451、梁单元刚度矩阵合并（合并（2.2.132.2.13）和（）和（2.2.142.2.14），得：），得：（2.2.152.2.15）jjjiiijjjiiiMYXMYXMYXMYX1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0

25、000sincos2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道461、梁单元刚度矩阵简写为：简写为：（2.2.162.2.16）fRf TjjjiiiMYXMYXjiijfff TjjjiiiMYXMYXjiijfff2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道471、梁单元刚度矩阵 R称为转换矩阵。1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosR2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道481、梁单元刚度矩阵 梁端位移的坐标变换梁端位移的坐标变换 完成由局部坐标系下的分量向整体坐标系下完成由局部坐标系下的分量向整体坐标系下的分量转换，可建立如下类似关系的分

26、量转换，可建立如下类似关系。节点位移坐标系下转换节点位移坐标系下转换ujuii=ixyijvivjyxj=jujuivivj2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道491、梁单元刚度矩阵 （2.2.18）jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道501、梁单元刚度矩阵简写为：简写为：（2.2.192.2.19）R Tjjjiiijivuvu Tjjjiiijivuvu2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道511、梁单元刚度矩阵 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系

27、下的单元刚度矩阵 在式（在式（2.2.192.2.19）及式（）及式（2.2.162.2.16）两边左乘以）两边左乘以一个一个RR-1-1，考虑，考虑RR为正交矩阵，为正交矩阵，R R-1-1=R=RT T，可以推导出：可以推导出：=R=RT T （2.2.202.2.20）f f=R=RT Tf f （2.2.212.2.21）2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道521、梁单元刚度矩阵 内力分量和梁端的位移分量之间的内力分量和梁端的位移分量之间的k称为在称为在整体整体系中的梁单元刚度矩阵。整体整体系中的梁单元刚度矩阵。通过变换，得出通过变换，得出表示在整体坐标系中梁单元表示在整体坐标系中梁单

28、元的关系式为：的关系式为：2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道531、梁单元刚度矩阵 (2.2.27)展开得：(2.2.28)(2.2.29)jijjjiijijiijkkkkffi jijiiiijkkf jjjijijikkf2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道541、梁单元刚度矩阵 按（按（2.2.292.2.29）式，可由梁单元在整体坐标系）式，可由梁单元在整体坐标系中的梁端节点位移分量计算梁端内力分量。中的梁端节点位移分量计算梁端内力分量。整体坐标系中的梁单元刚度矩阵整体坐标系中的梁单元刚度矩阵kk和局部和局部坐标系中的梁单元刚度矩阵坐标系中的梁单元刚度矩阵kk，一样具有对称性一样具

29、有对称性和奇异性和奇异性。2）坐标变换坐标变换山岭隧道山岭隧道55 杆单元可用它的两端节点来命名（图杆单元可用它的两端节点来命名（图2.2.7），），如杆单元一端节点号为如杆单元一端节点号为i，另一端节点号为，另一端节点号为j，则该杆，则该杆单元为单元为ij杆单元。它的刚度矩阵的推求方法同梁单元。杆单元。它的刚度矩阵的推求方法同梁单元。2、杆单元刚度矩阵图2.2.7 单元定义山岭隧道山岭隧道561）局部坐标系下的杆单元刚度矩阵局部坐标系下的杆单元刚度矩阵 同理，按梁单元的推导方式可得同理，按梁单元的推导方式可得局部坐标系局部坐标系下的杆单元刚度矩阵下的杆单元刚度矩阵：2、杆单元刚度矩阵山岭隧道

30、山岭隧道57 （2.2.32）式中，分别为杆单元在局部坐标系中的内力分量；分别为杆单元在局部坐标系中的位移分量；k即为杆单元在局部坐标系中的刚度矩。2、杆单元刚度矩阵 0000010100000101lEAkjjiiYXYX、jjiivuvu、山岭隧道山岭隧道582）整体坐标系下的杆单元刚度矩阵整体坐标系下的杆单元刚度矩阵杆单元整体坐标系见图2.2.8所示。2、杆单元刚度矩阵图2.2.8 杆单元的坐标转换山岭隧道山岭隧道59转换矩阵转换矩阵如下；如下；（2.2.35）2、杆单元刚度矩阵 cossin00sincos0000cossin00sincosR山岭隧道山岭隧道60杆单元在整体坐标系中的

31、刚度矩阵杆单元在整体坐标系中的刚度矩阵如下：如下：（2.2.41）2、杆单元刚度矩阵 22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoslEAk山岭隧道山岭隧道61 当隧道支护结构向围岩方向变形时，围岩作用当隧道支护结构向围岩方向变形时，围岩作用支护结构以弹性反力，则计算图示可按图支护结构以弹性反力，则计算图示可按图2.2.92.2.9所示，所示，即弹簧支承单元按径向布置。即弹簧支承单元按径向布置。3、弹簧支承单元的刚度矩阵图图2.2.9 隧道支护结构计算图示（不计摩擦力）隧道支护结构

32、计算图示（不计摩擦力）山岭隧道山岭隧道621 1）局部坐标系下的弹簧单元刚度矩阵局部坐标系下的弹簧单元刚度矩阵 如图如图2.2.102.2.10所示，弹簧支承单元所示，弹簧支承单元i i一端固定，另一端固定，另一端与梁单元节点一端与梁单元节点i i相连，则可称为该弹簧支承单元相连，则可称为该弹簧支承单元为为i i号弹簧支承单元。号弹簧支承单元。3、弹簧支承单元的刚度矩阵图2.2.10 弹簧单元山岭隧道山岭隧道63 设设i i号弹簧支承单元作用范围的大小为沿隧号弹簧支承单元作用范围的大小为沿隧道周边长度道周边长度l li i、沿隧道纵向长度为、沿隧道纵向长度为b b的矩形区域，的矩形区域，则：则

33、：A Ai i=l=li ib b （2.2.422.2.42）3、弹簧支承单元的刚度矩阵图图2.2.11 每根弹簧作用范围每根弹簧作用范围山岭隧道山岭隧道64 弹簧支承单元在局部坐标系下的单元刚度矩弹簧支承单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵阵如下：如下：（2.2.472.2.47）3、弹簧支承单元的刚度矩阵00000000blkiiik山岭隧道山岭隧道652）整体坐标系下的弹簧单元刚度矩阵整体坐标系下的弹簧单元刚度矩阵 整体坐标系整体坐标系下，如下，如图图2.2.11所示。所示。3、弹簧支承单元的刚度矩阵图2.2.11 弹簧支承单元的坐标转换山岭隧道山岭隧道66 弹簧支承单元在整体坐标系下的单

34、元刚度矩弹簧支承单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵阵如下：如下：（2.2.552.2.55）3、弹簧支承单元的刚度矩阵0000sincossin0cossincos22blkiiik山岭隧道山岭隧道67 为了模拟墙底和地基的这种作用，定义一种为了模拟墙底和地基的这种作用，定义一种基底弹性支座单元（图基底弹性支座单元（图2.2.122.2.12）：假定隧道支护）：假定隧道支护结构的墙底放在一个无厚度的板上，板放在弹性结构的墙底放在一个无厚度的板上，板放在弹性地基上，弹性地基对板的作用可用垂直弹簧和水地基上，弹性地基对板的作用可用垂直弹簧和水平弹簧来模拟。下面推导这种基底弹性支座单元平弹簧来模拟。下

35、面推导这种基底弹性支座单元的刚度矩阵。的刚度矩阵。4、基底弹性支承单元的刚度山岭隧道山岭隧道684、基底弹性支承单元的刚度图图2.2.12 2.2.12 基底弹性支座单元基底弹性支座单元1）局部坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵建立局部坐标系见图2.2.12所示。山岭隧道山岭隧道69 基底弹性支座单元与地基的接触面积为Ai，Ai可由隧道支护结构墙底的厚度di和隧道纵向计算长度b确定，即：Ai=bdi （2.2.56）4、基底弹性支承单元的刚度山岭隧道山岭隧道70 假定地基的垂直弹性抗力系数为假定地基的垂直弹性抗力系数为k kd d，横向综，横向综合抗力系数为合抗力系数为k k。局部坐标系中基底

36、弹性支座单。局部坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵元的刚度矩阵如下：如下：（2.2.612.2.61）4、基底弹性支承单元的刚度ik12/0000003ididifbdkbdkbdk山岭隧道山岭隧道712 2）整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵 整体坐标系见图整体坐标系见图2.2.132.2.13所示。所示。4、基底弹性支承单元的刚度图图2.2.13 2.2.13 基底弹性支座单元的坐标转换基底弹性支座单元的坐标转换山岭隧道山岭隧道72整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵如下：如下：（2.2.642.2.64）4

37、、基底弹性支承单元的刚度iiiMYXiiiididifidfidfidifvubdkbdkbdkbdkkbdkkbdkbdk12/000cossincossin)(0cossin)(sincos32222山岭隧道山岭隧道73三、等三、等效节点荷载效节点荷载山岭隧道山岭隧道74匀布荷载匀布荷载转化为等效节点荷载转化为等效节点荷载梯形分布荷载梯形分布荷载转化为等效节点荷载转化为等效节点荷载集中力集中力作用转化为等效节点荷载作用转化为等效节点荷载力偶力偶作用下的等效节点荷载作用下的等效节点荷载复杂荷载复杂荷载转化为等效节点荷载转化为等效节点荷载自重荷载自重荷载作用下的等效节点荷载计算作用下的等效节点

38、荷载计算地下结构等效节点荷载列阵的形成地下结构等效节点荷载列阵的形成本章主要内容本章主要内容山岭隧道山岭隧道75 单元和单元之间通过节点相连，作用在隧道单元和单元之间通过节点相连，作用在隧道结构上的任何荷载，都结构上的任何荷载，都必须必须转换为节点荷载。转换为节点荷载。等等效节点荷载效节点荷载 用等效节点荷载来代替非节点荷载，其用等效节点荷载来代替非节点荷载，其处理原处理原则则为在等效节点荷载作用下结构的节点位移与实际为在等效节点荷载作用下结构的节点位移与实际非节点荷载作用下结构的节点位移应相等。非节点荷载作用下结构的节点位移应相等。山岭隧道山岭隧道76 地下结构所受的荷载都可分解成如下地下结

39、构所受的荷载都可分解成如下六类基本荷载（如图六类基本荷载（如图2.3.12.3.1）。山岭隧道山岭隧道77 单元单元ijij受如图所示的匀布荷载受如图所示的匀布荷载q q，单元长度为，单元长度为l l，为两坐标系之间的夹角（图示逆时针转角为正）。为两坐标系之间的夹角（图示逆时针转角为正）。2.3.1.匀布荷载转化为等效节点荷载山岭隧道山岭隧道78 假想将单元假想将单元ijij的两端节点位移完全约束住如图的两端节点位移完全约束住如图2.3.32.3.3所示。这样，单元所示。这样，单元ijij成为两端固定的杆件，匀成为两端固定的杆件，匀布荷载布荷载q q在两端节点上产生的在局部坐标系中的固端在两端

40、节点上产生的在局部坐标系中的固端力为力为,即即山岭隧道山岭隧道79 解除约束，即将上述固端力变号并由式进行坐解除约束，即将上述固端力变号并由式进行坐标转换，得到结构坐标系中的单元标转换，得到结构坐标系中的单元ijij的等效节点荷的等效节点荷载阵列载阵列。在局部坐标系中的单元等效节点荷载为在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即，即FEFF山岭隧道山岭隧道80 对于单元对于单元ijij，有，有1000cossin00sincos10000cossin0sincosT山岭隧道山岭隧道81则结构坐标系中的单元等效节点荷载阵列为12/cos2sin212/cos2sin212/2/012/2/0100

41、0cossin00sincos10000cossin0sincos2222qlqlqlqlqlqlqlqlqlqlMFFMFFTjyjxjiyixiEF山岭隧道山岭隧道82单元单元ijij受如图受如图2.3.42.3.4所示的梯形分布荷载所示的梯形分布荷载：2.3.2.梯形分布荷载转化为等效节点荷载图图2.3.4 梯形分布荷载转化为等效节点荷载梯形分布荷载转化为等效节点荷载山岭隧道山岭隧道83梯形分布荷载在两端节点上产生的在局部坐标梯形分布荷载在两端节点上产生的在局部坐标系中的固端力为系中的固端力为 ，即，即在局部坐标系中的单元等效节点荷载为在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即，即山岭隧道

42、山岭隧道84得结构坐标系中单元ij的等效节点荷载阵列，即21221121121212211211212122112121221121)(20112cos)(2072sin)(2072)(30112cos)(2032sin)(2032)(20112)(20720)(30112)(20320lqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqlqqlqTMFFMFFTjyjxjiyixiEF山岭隧道山岭隧道85单元单元ijij受如图受如图2.3.52.3.5所示所示：2.3.3.集中力作用转化为等效节点荷载图图2.3.5 集中力集中力转化为等效节点荷载转化为等

43、效节点荷载山岭隧道山岭隧道86集中力作用在两端节点上产生的在局部坐标系中集中力作用在两端节点上产生的在局部坐标系中的固端力为的固端力为 ：在局部坐标系中的单元等效节点荷载为在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即，即山岭隧道山岭隧道87得结构坐标系中单元得结构坐标系中单元ijij的等效节点荷载阵列的等效节点荷载阵列 ，即，即lxlxPlxlxPlxlxPlxPxlxlxPlxlxPlxlxPxlxlxPlxPxlxlxPTMFFMFFTjyjxjiyixi222222222222)1(cos)0.32(sin)0.32()1(cos)1)(21(sin)1)(21()1()0.32(0)1()

44、1)(21(0EF山岭隧道山岭隧道88单元单元ijij受如图受如图2.3.62.3.6所示的力偶作用所示的力偶作用：2.3.4.力偶作用下的等效节点荷载图图2.3.6 2.3.6 力偶作用下的等效节点荷载力偶作用下的等效节点荷载P山岭隧道山岭隧道89力偶作用在两端节点上产生的在局部坐标系中的力偶作用在两端节点上产生的在局部坐标系中的固端力为固端力为在局部坐标系中的单元等效节点荷载为在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即，即山岭隧道山岭隧道90得结构坐标系中单元得结构坐标系中单元ijij的等效节点荷载阵列的等效节点荷载阵列 ，即，即lxlxPlxlxPlxlxPlxPxlxlxPlxlxPlx

45、lxPxlxlxPlxPxlxlxPTMFFMFFTjyjxjiyixi222222222222)1(cos)0.32(sin)0.32()1(cos)1)(21(sin)1)(21()1()0.32(0)1()1)(21(0EF山岭隧道山岭隧道91得结构坐标系中单元得结构坐标系中单元ijij的等效节点荷载阵列的等效节点荷载阵列 ，即，即)32(cos)1(6sin)1(6)1)(13(cos)1(6sin)1(6)32()1(60)1)(12()1(60222222lxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPlxlxPTMFFMFFFTjyjxj

46、iyixiE山岭隧道山岭隧道922.3.5.2.3.5.复杂荷载转化为等效节点荷载复杂荷载转化为等效节点荷载图2.3.7 复杂荷载作用下的等效节点荷载 所受的荷载，分解成平行于所受的荷载，分解成平行于x x轴和轴和y y轴的荷载作轴的荷载作用，假定单元用，假定单元ijij受受力力如图如图2.3.72.3.7所示。所示。山岭隧道山岭隧道93则在整体坐标系下，则在整体坐标系下，i i节点的等效节点荷载为：节点的等效节点荷载为：j j节点的等效节点荷载为：节点的等效节点荷载为：山岭隧道山岭隧道94单元单元ijij受如图受如图2.3.82.3.8所示的自重作用，单元和整体所示的自重作用，单元和整体坐标

47、系的夹角为坐标系的夹角为（逆时针转角为正）。（逆时针转角为正）。2.3.6.2.3.6.自重荷载作用下的等效节点荷载计算自重荷载作用下的等效节点荷载计算山岭隧道山岭隧道95则在整体坐标系下，则在整体坐标系下，i i节点的等效节点荷载列阵为：节点的等效节点荷载列阵为：j j节点的等效节点荷载列阵为：节点的等效节点荷载列阵为：山岭隧道山岭隧道962.3.7.2.3.7.地下结构等效节点荷载列阵的形成地下结构等效节点荷载列阵的形成 先求出各单元的等效节点荷载列阵，然后将各先求出各单元的等效节点荷载列阵，然后将各单元的等效节点荷载列阵叠加起来，就得到隧道支单元的等效节点荷载列阵叠加起来，就得到隧道支护

48、结构的等效节点荷载列阵。护结构的等效节点荷载列阵。（1 1）、各单元的等效节点荷载列阵的计算）、各单元的等效节点荷载列阵的计算荷载作用在隧道支护结构上，见图荷载作用在隧道支护结构上，见图2.3.92.3.9所示。所示。山岭隧道山岭隧道97山岭隧道山岭隧道98山岭隧道山岭隧道99（2 2）、隧道支护结构等效节点荷载列阵的计算）、隧道支护结构等效节点荷载列阵的计算 将每个单元的等效节点荷载列阵将每个单元的等效节点荷载列阵FF求出后，再求出后，再进行叠加，即可得到支护结构等效节点荷载列阵，进行叠加，即可得到支护结构等效节点荷载列阵，即：即：式中，式中，FF为隧道支护结构等效节点荷载列阵，为隧道支护结

49、构等效节点荷载列阵，FeFe为第为第e e单元的等效节点荷载列阵，单元的等效节点荷载列阵，n n为单元总数。为单元总数。山岭隧道山岭隧道100 有一个等截面直梁，分成有一个等截面直梁，分成3 3个单元，受荷载情个单元，受荷载情况如图况如图2.3.102.3.10所示，三个单元的长度相等，都为所示，三个单元的长度相等，都为l l节点编号见图。节点编号见图。山岭隧道山岭隧道101对于单元，节点1等效节点荷载：节点2等效节点荷载：对于单元，节点2等效节点荷载（同理可得其他节点的受力）：TlqqlqlqqlqP21221121)1(130112,2032,0 TlqqlqlqqlqP21221121)

50、1(220112,2072,0 TlxPxlxlxPP22)2(21,121,0山岭隧道山岭隧道102将节点将节点1 1的等效节点力、节点的等效节点力、节点2 2的等效节点力、节的等效节点力、节点点3 3的等效节点力、节点的等效节点力、节点4 4的等效节点力组成矩阵，的等效节点力组成矩阵，即得结构的等效荷载列阵：即得结构的等效荷载列阵：)3(4)3(3)2(3)2(1)1(2)1(14321ppppppFFFFF 可以看出，在求结构的等效荷载列阵时，只要把可以看出，在求结构的等效荷载列阵时，只要把具有相同下标的等效节点力列阵相加到一起即可。具有相同下标的等效节点力列阵相加到一起即可。山岭隧道山