同济大学高等数学本科少学时课件.ppt

1、第一节 映射与函数?一、集合?二、映射?三、函数?四、小结一、集合二、映射三、函数一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.,21naaaA?所具有的特征所具有的特征xxM?有限集无限集,Ma?,Ma?.,的子集是就说则必若BABxAx?.BA?记作记作数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:.,RQQZZN?.,相等与就称集合且若BAABBA?)(BA?,2,1?A例如,0232?xxxC.CA?则不含任何元素的集合称为空集.)(?记作例如,01,2?xRxx规

2、定?空集为任何集合的子集.集合的运算集合的运算（1）集合的并|,BxAxxBABABABABA?或即的并，记为与称为，的所有元素构成的集合和，由和设有集合?（2）集合的交|,BxAxxBABABABABA?且即的交，记为与集合，称为的所有公共元素构成的和，由和设有集合?（3）集合的差|,BxAxxBABABABABA?且即的差，记为与的集合，称为的所有元素构成而不属于，属于和设有集合（4）集合的补|,AAxUxxAAAU?且即的补集，记为为的元素构成的集合，称中所有不属于全集集合的运算律集合的运算律（1）交换律：ABBAABBA?（2）结合律：)()()()(CBACBACBACBA?（3）分

3、配律：)()()()()()(CBCACBACBCACBA?（4）摩根律：)()(BABABABA?2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,baRba?且bxax?称为开区间,),(ba记作bxax?称为闭区间,ba记作oxaboxabbxax?bxax?称为半开区间,称为半开区间,),ba记作,(ba记作),xaxa?),(bxxb?oxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:.0,?且是两个实数与设a).(0aU?记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径?.)(?axaxaUxa?a?a?,邻

4、域的去心的点?a.0)(?axxaU,邻域的称为点数集?aaxx?4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为 常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为 变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:?00aaaaa)0(?a运算性质:;baab?;baba?.bababa?)0(?aax;axa?)0(?aax;axax?或绝对值不等式:二、映射1 1 映射概念映射概念设是两个非空集合，如果存在一个法则,使得对于中每个元素，按法则在中有唯一确定的元素 与之对应，则称为从到的映射，记作其中 称为元素（在映射下）的像，并

5、记作，即而元素称为元素（在映射下）的一个原像；集合称为映射的定义域，记作，即；中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或，即YX、fxfXYyfXYYXf?:yxf)(xf)(xfy?xyfXffDXDf?XffR)(Xf|)()(XxxfXfRf?从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：（1 1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合合，即定义域；集合，即值域的范围：；对应法则，使对每个，有唯一确定的与之对应.XXDf?YYRf?fXx?)(xfy?（2 2）对每个，元素的像是唯一的；而对于每个，元素的原像不一定是唯一的

6、；映射的值域是是的一个子集，即，不一定，不一定.Xx?xyfRy?yffRYYRf?YRf?满射、单射与双射满射、单射与双射设 是从集合到集合的映射，若，即中任一元素都是中某元素的像，则称为到上的映射或满射；若对中任意两个不同元素，它们的像，则称为到的单射；若映射既是单射又是满射，则称为一一映射（或双射）fXYYRf?YyXYfffYXXXf21xx?)()(21xfxf?2.逆映射与复合映射设是从集合到集合的映射，则由定义，对每个有唯一的，适合.于是，可以定义一个从到的新映射，即对每个，规定，这满足.这个映射 称为的逆映射，记作，其定义域，值域fXYfRy?Xx?yxf?)(fRXgXRgf

7、?:fRy?xyg?)(xyxf?)(f1?fgffRD?1XRf?1注意：只有单射才存在逆映射.复合映射：复合映射：设有两个映射其中.则有映射可以定义一个从的对应法则，它将每个映成.显然，这个对应法则确定了一个从的映射，这个映射称为映射构成的复合映射，记作，即ZYfYXg?21:,:21YY?fg和ZX到Xx?Zxgf?)(ZX到fg和gf?,:ZXgf?注意：的值域必须包含在的定义域内，即ggRffgDR?因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx?.),(称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW?数集D叫做这个函数的定义域)(xfy?变量y按照一定法则总有确定

8、的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义 设数集DR?，则称映射RDf?:为定义在D上的函数.即对于每个数Dx?,三、函数三、函数()0 x)(0 xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21 xy?例如，1,1:?D211xy?例如，)1,1(:?D定义:.)(),(),(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxC?oxy),(yxxyWD?如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如，222ayx?(1)符号函数?010001sgnxxxxy当当当几个

9、特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx?sgn(2)取整函数y=xx表示不超过的最大整数1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4321-1-3xyo阶梯曲线x?是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点?1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy?)(),(minxgxfy?yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg?0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12?xy12?xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.例

10、1.)3(,212101)(的定义域求函数设?xfxxxf解?23121301)3(xxxf?212101)(xxxf?122231xx1,3:?fD故M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立有若MxfXxMDX?（1）函数的有界性）函数的有界性:.)(否则称无界上有界在则称函数Xxf2 2、函数的特性、函数的特性（2）函数的单调性）函数的单调性:,)(DIDxf?区间的定义域为设函数,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI?;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf?恒有o)(xfy?)(1xf)(2xfxyI)(xfy?)(1

11、xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,)(DIDxf?区间的定义域为设函数,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI?),()()2(21xfxf?恒有（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,DxD?)()(xfxf?xyx)(xf?)(xfy?o-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,DxD?)()(xfxf?;)(为奇函数称xf奇函数奇函数)(xf?yx)(xfox-x)(xfy?（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l?2l23l?23l,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的)()(x

12、flxf?且为周则称)(xf.)(,DlxDxl?使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立例2解,01)(?QxQxxD设设.)().21(),57(的性质并讨论求xDDDD?,1)57(?D,0)21(?D,1)(?xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,0 x0y0 x0yxyDW)(xfy?函数oxyDW)(yx?反函数o3、反函数与复合函数(1)反函数设函数射是单射，则它存在逆映)(:DfDf?的逆映射为函数则称此映射ffDDff11,)(:?)(xfy?直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy?反函数反函数直接函数与反函数的图

13、形关于直线对称.xy?（2）、复合函数）、复合函数,uy?设,12xu?21xy?定义:设函数)(ufy?的定义域fD,而函数)(xu?的值域为?Z,若?ZDf,则称函数)(xfy?为x的复合函数.,自变量?x,中间变量?u,因变量?y注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsin uy?例如;22xu?)2arcsin(2xy?2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy?例如,uy?,cotvu?.2xv?(1)幂函数)(是常数?xyoxy)1,1(112xy?xy?xy1?xy?4.4.初等函数初等函数(2)、指数函数、指数函数)1,0(?aaa

14、yxxay?xay)1(?)1(?a)1,0(?xey?(3)、对数函数、对数函数)1,0(log?aaxyaxyln?xyalog?xya1log?)1(?a)0,1(?(4)、三角函数、三角函数正弦函数xysin?xysin?xycos?xycos?余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan?xytan?xycot?余切函数余切函数xycot?正割函数正割函数xysec?xysec?xycsc?余割函数余割函数xycsc?(5)、反三角函数、反三角函数xyarcsin?xyarcsin?反正弦函数xyarccos?xyarccos?反余弦函数反余弦函数xyarctan?xyarctan?反

15、正切函数反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot?反余切函数反余切函数arcxycot?arc初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数.例3).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx?求设解?1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时当?x,0?x或,12)(?xx;20?x,0?x或,11)(2?xx;1?x,1)(20时当?x,0?x或,12)(?xx;2?x,0?x或,11)(2?xx;01?x综上所述.2,120011,2,)

16、(2122?xxxxxexexfxx?2sinhxxeex?双曲正弦xycosh?xysinh?),(:?D奇函数.2coshxxeex?双曲余弦),(:?D偶函数.双曲函数xey21?xey?21xxxxeeeexxx?coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数,),(:?D有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx?;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx?;1sinhcosh22?xx;coshsinh22sinhxxx?.sinhcosh2cosh22xxx?反双曲函数反双曲函数奇函数,),(:?D.),(

17、内单调增加在?;sinhxy?反双曲正弦ar).1ln(sinh2?xxxyarsinhar?xy.),1内单调增加在?),1:?D?y反双曲余弦反双曲余弦coshar).1ln(cosh2?xxxyarxcosharx?y.11ln21xx?)1,1(:?D奇函数,.)1,1(内单调增加在?y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh?arxtanharx?y四、小结基本概念基本概念集合集合,区间,邻域邻域,常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数、复合函数、初等函数思考题思考题设0?x，函数值21)1(xxxf?，求函数)0()(?xxfy的解

18、析表达式.思考题解答思考题解答设ux?1则?2111uuuf?,112uu?故)0(.11)(2?xxxxf一、填空题:1、若2251tttf?,则_)(?tf,_)1(2?tf.2、若?3,sin3,1)(xxxt,则)6(?=_，)3(?=_.3、不等式15?x的区间表示法是_.4、设2xy?,要使),0(?Ux?时，)2,0(Uy?,须?_.练练 习习 题题二、证明xylg?在),0(?上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(?aaa上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设)(xf是以 2 为周期的函数，且?10,001,)(2xxxxf,试在),(?上绘出)(xf的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数acxbaxy?的反函数是其本身.七、求xxxxeeeexf?)(的反函数，并指出其定义域.一、1、225tt?,222)1(2)1(5?tt；2、1,1；3、(4,6)；4.2,0(?.七、)1,1(,11ln?xxy.练习题答案练习题答案