圆锥曲线的光学性质课件.ppt

1、 割線割線 LPQ切線切線 PQ割線割線 L圓錐曲線與直線關係圓錐曲線與直線關係1.切線與割線的意義：切線與割線的意義：(1)當直線 L 與曲線 交於 P、Q 兩相異點時，L 就不再是割線，此時稱直線 L 為曲線 的切線，P 為切點。割線 L 繞 P 點旋轉，當 Q 點一旦與 P 點重合，(2)固定 P 點，當 Q 點在曲線 上移動逼近 P 點時，此時稱 L 為 的一條割線。0,0ax yxcfby，2.圓錐曲線與直線關係的判別：圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為 f(x,y)=0 及一直線 L：ax+by+c=0，(3)當 D0 時，圓錐曲線與直線 L 相交於相異兩點(L 為割

2、線)。可得 x 的一元二次方程式 px2+qx+r=0，令其判別式 D=q24pr，解聯立方程組則：P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：圓錐曲線的切線：(1)當直線與橢圓相交於一點時，(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。此直線必為切線。P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：注意：交於一點(如下圖所示)(切線 有重根 判別式 D=0)不一定為切線。切線 交於一點。切

3、線的性質：切線的性質：(1)過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。(2)圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點，但它們都不是切線。圓錐曲線切線的基本求法圓錐曲線切線的基本求法111.(,)0(,)f x y A x y 過：外部一點，求作切線：111111(,)()(,)00()A x y yym xx f x yDmyym xx設過點的切線方程式為，則 僅有一交點，利用判

4、別式 求出 002.(,)0(,)f x y A xy 過：上一點，求作切線：000000(,)()(,)00()A xy yym xx f x yDmyym xx設過點的切線方程式為，則 僅有一交點，利用判別式 求出 3.(,)0 mf x y 已知切線斜率，求作：的切線：(,)00 ymxk f x yDmymxk設切線方程式為，則 僅有一交點，利用判別式 求出 也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜率利用公式圓錐曲線圓錐曲線切線方程式切線方程式42xcy42ycx22122xyab22122xyab22122yxab004()2yyx xc004()2xxy yc00221x xy ya

5、b00221x xy yab00221y yx xab00(,)xy 過圓錐曲線上一個定點的切線20200022 x x xy y yxxx yyy 代換成圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線的切線方程式0000()()022xDEAxCyxyxyyF。11()()8022222xxy 故所 求為。圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線的切線方程式1.已知切點的切線方程式：在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中 A、C 不皆為 0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 上一已知點 P(x0,y0)為切點的切線方程式為(見P.63-65)2.範例：

6、範例：求過點(2,2)且與拋物線 x2+xy8=0 相切的直線方程式。整理得切線方程式為 5xy12=0。解：解：切點P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為22(1)(2,3)1818xy求過點且與橢圓 相切的直線方程式。311828xy所求為 。33824()()911022xyxy 所求為 。馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線 4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為 4xy11=0。(2)切點 P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為 3x+2y12=0。解：解：(1)切點 P(x0,y0)=(

7、2,3)，相切的直線方程式。圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線圓錐曲線切線方程式切線方程式42xcy42ycx22122xyab22122xyab22122yxab2ymxcmcymx+m222ymxa mb222ymxa mb222ymxb mam 圓錐曲線已知切線斜率為 的切線圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式122xyAB221()BxyA若曲線可表為 橢圓、雙曲線2mymxBAm故所求斜率 的切線為 。以 x 集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.已知斜率的切線方程式：證明：證明：設切線 L：y=mx+k，2mymAxmB斜率 的切線為 。

8、2 。mABk代入 Bx2+Ay2AB=0，因為相切 x 有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得 k2=Am2+B，得 Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，22()()(1)1()xhyABk 若圓錐曲線可表為 的形式 橢圓、雙曲線 ，2()mykm xhAmB斜率為 的切線為 。22(2)1BxyA 拋物線無法表為，注意：注意：設斜率為 m 的切線為 y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切 判別式 D=0，即可求得 k。拋物線已知斜率之切線22222244()4400(4)4(4)0 ymxk xcy xc m

9、xk xcmxck D cmck kcm ymxcm 設切線方程式，代入，得，整理得 因相切有重根，判別式，所以則。代回得切線方程式為 42 xcy m 拋物線，求斜率為的切線221136xy已知橢圓 ，求斜率為 的切線方程式。22661 3 ,3BxyA由 ，2ymxABm所求切線為 ，2(361)yx ，即 x+y3=0 或 x+y+3=0。4.範例：範例：解：解：y=x3，且 m=12211542yx已知雙曲線 ，求斜率為 的切線方程式。225514,4 BxyA 由 ，2ymxABm所求切線為 ，211()2245yx ，122yx ，馬上練習：Ans：x2y+4=0 或 x2y4=0

10、。解：解：即 x2y+4=0 或 x2y4=0。12m 且 22(3)1212094xyxy求橢圓 在直線 上的正射影長。12m 其斜率 。22(3)1 994,4 AxyB由 ，211(3)()9422yx切線為 ，2(8)52 5故所求。x2y=k2x+y+12=05.範例：範例：解：解：設切線 L：x2y=k，即 x2y+2=0 或 x2y8=0。x2y+2=0 x2y8=02353xxxk 得 2(8)4 1(3)0 k 6.範例：範例：求斜率為 3 且與拋物線 y=x2+5x+3 相切的直線方程式，及其切點。解：解：設所求 y=3x+k，代入 y=x2+5x+3，相切 判別式 D=0

11、 得切線為 y=3x+19。故切點為(4,7)。x28x+(k3)=0 k=19。x=4。且 x28x+(193)=025231xxxk 得 2(8)4 2(1)0 k 7 k 。馬上練習：設拋物線 y=2x23x+1，求斜率為 5的切線方程式，及其切點。Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。解：解：設所求 y=5x+k，代入 y=2x23x+1，相切 判別式 D=0得切線為 y=5x7。故切點為(2,3)。且 2x28x+(1+7)=0 x=2。2 28(1)0kxx，PPPPP7.曲線外已知點的切線方程式：曲線外已知點的切線方程式：(1)過拋物線外一點 P，有兩條切線。(2)過橢圓外一點

12、 P，有兩條切線。(3)過雙曲線外一點 P，切線有三種情形：當 P 點為中心中心時，過點 P 的任意直線都不是切線 當 P 點不是中心且落在漸近線上時 當 P 點不在漸近線上且不在雙曲線內部時 沒有切線。只有一條切線。有兩條切線。22(1,4)136xyP 求過點 且與橢圓 相切的直線。22661 3 ,3BxyA由 ，2436(1,4)mmP 代入得，22(4)36 mm解，8.範例：範例：解：解：點 P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。236ymxm 設切線為 ，1,5 m 得。001 36x xy y則切線為，00(1,4)230 xy點

13、代入上式得，0022(,)136yxyx又 滿足 00(,)(,)223,)513(xy解聯立得 或 ，001 36yx xy代回，(1,4)注意：注意：可設過(1,4)的切線其切點為(x0,y0)，得切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。(x0,y0)2020136yx ，221 1 414BAxy由 ，234(,3)1mm點代入得 ，22(3)4 mm解，馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線 4x2y2=4 相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(1,3)非中心且不在漸近線 2xy=0 上故所求切線為 13x6y+5=0 或 x=1(鉛直線鉛直線)。24ymxm設切

14、線為 ，兩條切線。解：解：13 6m 得。點(1,3)不在雙曲線上，2(2)240 xmxm整理得，2(2)4 1(24)0mm ，9.範例：範例：求過點(2,0)且與拋物線 y=x22x+4 相切的直線方程式。解：解：點(2,0)不在拋物線上，相切 判別式 D=0 解得 m=2 或 6。故所求切線為 2x+y4=0 或 6xy12=0。設切線方程式為 y=m(x2)，代入 y=x22x+4，21 42ymxxmy 以 代入 ，22820 myym整理得，2(2)4(82)0mm ，11 42m 解得 或 。馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線 2x=y2 相切的直線方程式。Ans：x+4y+

15、8=0，x2y+2=0。解：解：點(4,1)不在拋物線上，設切線 y+1=m(x+4)，故所求切線為 x+4y+8=0 或 x2y+2=0。相切 判別式 D=0，F平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。圓錐曲線的光學性質圓錐曲線的光學性質1.拋物線的的光學性質：拋物線的的光學性質：由拋物線焦點 F 射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經反射後，都會通過焦點 F。PAPF ，AFPPM 故 在 的中垂線 上。()QAFQP在 的中垂線上任取一點 QFQAQH ，PPAFM 即 的中垂線 與拋物線相切於 點。PMAF 連線段 的

16、中垂線 即為拋物線的切線。PHA切線切線1F準線 LQ23M故 1=2。證明：證明：設點 P為拋物線上任一點 注意：注意：準線 L上任一點 A 與焦點 F且此時 2=3，又 QHA 為直角 所以 Q 點不在拋物線上，QAQF ，1=3(對頂角相等)，4044 13PF 的斜率4 3:40PFxy 。244043xyyx解 41y 或 1(,1)4Q 得所求 。PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x 上一點 P，經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。解：解：光線碰到 上的點 P(4,4)後，反射必過 y2=4x 的焦點 F(1,0)，2.範例：範例：一光線經過點(7,4)沿水平方向前進，1

17、 43404PF 的斜率:34160PFxy 。21634160 xyxy解 416x 或(16,16)Q 得所求 。PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y 上一點 P，經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。Ans：(16,16)解：解：光線碰到 上的點 P(4,1)後，反射必過 x2=16y 的焦點 F(0,4)，1 43404PF 的斜率:34160PFxy 。21634160 xyxy解 416x 或(16,16)Q 得所求 。PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y 上一點 P，經

18、反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。Ans：(16,16)解：解：光線碰到 上的點 P(4,1)後，反射必過 x2=16y 的焦點 F(0,4)，PQ軸F準線RSO2OFRO OSAF2F1P3.橢圓的光學性質：橢圓的光學性質：由橢圓焦點 F2 射出的光線，經反射後都會通過另一個焦點 F1。射到橢圓上的點 P，22AFa，1PAPF2122PFPPFPFaA，1()Q QQAQFFAP在 的中垂線上任取一點 ，2221()2QFQAQFQFAFa 圓半徑，PPAFM 橢圓即 的中垂線 與相切於 點。PF2F1QA1232aMF2F1O切線切線12O法線法線P設點 A 為圓上任一點 證明：證

19、明：以 F2 為圓心，半徑為 2a(橢圓長軸長)作一圓，注意：注意：F2PF1 的平分線即為過 P 點的法線。故 1=2。且此時 2=3，因此 Q 點不在橢圓上。因此 P 點在橢圓上。12 AFAFPPM 作 的中垂線 交 於 點 1=3(對頂角相等)，切線12:4 2:5 24:5PFPF 由，12:4:5DFDF 得 1 43(,)39D 由分點公式得 ，43319135()3PD 的法斜率線 PF2F1O切線切線O法線法線D4k5k4.範例：範例：已知橢圓 的兩焦點為 F1(1,7)、F2(2,2)，且 P(5,3)在 上，試求過 P 與 相切的直線方程式。解：解：切線的斜率=3。故所求

20、切線為 3xy12=0。128ABPFPF且，求 。12,PFnPFm令 ，ABPAPB則 11 822mn切線切線300法線法線BPF2F1A300Ans：16。解：解：馬上練習：如圖 F1、F2 為橢圓 的兩焦點，直線 L 切 於 P 點，且F1PF2=600。設 F1、F2 對 L 的投影點分別為 A、B，sin30sin308mn ，=16mn所求。mn300300PF2F1其反射光所在的直線會通過另一個焦點 F2。5.雙曲線的光學性質：雙曲線的光學性質：由焦點 F1 射出的光線，射到雙曲線上的點 P22AFa ，12 AFAFPMP 作 的中垂線 交 於 點，1PAPF1222PFP

21、PFPAFa，2221()2QFQAQFQFAFa圓半徑，PPAFM 雙曲線即 的中垂線 與相切於 點。PF2F1QA證明：證明：以 F2 為圓心，半徑為 2a(雙曲線貫軸長)作一圓，設點 A 為圓上任一點 因此 P 點在雙曲線上。因此 Q 點不在雙曲線上，注意：注意：F2PF1 的平分線即為過 P 點的切線。1()QAQFPAQFQ 在 的中垂線上任取一點，M故 1=2。且此時 2=3，1=3(對頂角相等)，2a切線123442 3()()26443022xyxy 切線 。F1、F2 為雙曲線的兩焦點，求F1AF2 的分角線方程式。切線切線AF2F16.範例：範例：已知 A(4,3)為雙曲線

22、 x22y2+4x+4y26=0 上一點，且整理所求為 3x2y6=0。切點 A(x0,y0)=(4,3)，解：解：所求即為過 A 點的切線22:154xy設 ，26019(3)2AF 的斜率230 xyPA ：。22154230 xyxy解 4411y(不合)或 ，PF2F1A(9,6)馬上練習：故所求點 P(5,4)。若一光線從 的焦點 F1(3,0)發射，碰到 上的 P 點，反射後通過點A(9,6)，Ans：P(5,4)。解：解：反射線 PA 的延長線必過 F2(3,0)，已知 P 點在第一象限，求 P 點坐標。22:12516xy在橢圓 的諸弦中，222222111(11(2)25)1

23、62516BxyxyA又，在上 ，22222112(1)02(2)516xyxy 得 ，22211121()()()()2516xxyyxxyy，221124()()2516xyxy ，212182 5AByxymxM(1,2)B(x2,y2)A(x1,y1)解：解：設此弦此弦交 於 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 x1+x2=2，y1+y2=4，圓錐曲線的弦圓錐曲線的弦1.範例範例(中點弦中點弦)：求以(1,2)為中點之弦方程式。所求為 8x+25y58=0。1222126(2)6(1)yBAxxy又，在 上 ，222112(2)(1)6()yxyx 得 ，221211()()6()

24、yyxyyx，2211)6()6(yxyx，2121 1AByxmyxM(4,3)B(x2,y2)A(x1,y1)馬上練習：在拋物線：y2=6x 的諸弦中，Ans：xy1=0。求以 M(4,3)為中點之弦方程式。解：解：設此弦此弦交 於 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 x1+x2=8，y1+y2=6，所求為 xy1=0。PQ求 的長度。11221238yyyy 由根與係數得 ，222211(2)yyyy2215()yy213355()4()282。解：解：將 x=12y 代入 x2+4y2=4，2.範例：範例：若直線 x+2y=1 與橢圓 x2+4y2=4 交於 P，Q 兩點，設交點

25、P(x1,y1)，Q(x2,y2)，2211(1 2(1 2)xyxy且 221125()4yyyy222211()()PQxyxy12)2(yy ，得 8y24y3=0，根根 與與 係係 數數&(a b)2 與與(a+b)27PQ 若 ，RS求 之長。41。1212xxxaxb由根與係數得，212()PQxx21212()4xxx x2449ba。34342axxxbx由根與係數得 ，234()RSxx23434()4xxx x284ba得 x2+ax+(b+2)=0，將 y=0 代入 y=x2+ax+(b+2)，馬上練習：設 a、b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y=x2+ax+b 與 x

26、 軸交於 P、Q 兩點，若拋物線 y=x2+ax+(b+2)Ans：解：解：將 y=0(即 x 軸)代入 y=x2+ax+b，設交點 P(x1,0)，Q(x2,0)，設交點 R(x3,0)，S(x4,0)，(99學測)與 x 軸交於 R、S 兩點，得 x2+ax+b=0，49841。00011()22Ly yxxy：，且斜率。0002()yyyxMx：法線 01(,0)2xxM交 軸於法線 。00011()22Ly yxxy：，且斜率。0002()yyyxxM法：線 01(,0)2xMx交 軸於法線 。01(,0)2xx又 軸必過點 。00102axx 且 12a所求範圍：。OLxyP(x0,y0)MP(x0,y0)LM01(,0)2x L1L2y10.範例：範例：如圖，拋物線 y2=x 的圖形中有三條法線，L1、L2、L3(x軸)通過點(2,0)，試求此拋物線有三條法線通過點(a,0)的 a 的範圍。解：解：設直線 L 與 y2=x 相切於 P(x0,y0)同理，過 P(x0,y0)的切線為12L3Ox