投资学第六章课件.ppt

1、主要内容n因子模型n套利定价理论因子模型计算有效前沿：3种资产n3种证券,需要估计9个参数:2323222221212332211)()()()(wwwrEwrEwrEwrEpp3,1313,2322,121222wwwwww计算有效前沿：n种资产n期望收益：nn方差：nn协方差：n(n-1)/2n如何简化计算呢？2/)(22nnnn例子：方正公司股票的下一个月收益率这里表示实际月收益率 表示期望收益率 表示收益率的非期望部分URRRRU因子模型的由来n期望收益率是市场中投资者预期到的收益率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响收益率地全部了解。收益率的非期望

2、部分由下一个月内显示地信息导致，例如n有关方正公司研发的结果nGDP的未预期增长n利率水平未预期上升n方正公司突然的人事变动这里n F由于系统原因导致的收益率的非期望部分n 由于非系统原因导致的收益率的非期望部分RRURF 0E F 0E宏观经济n经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀率这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场收益率的不可预期变化因子模型n单因子模型：将所有相关的经济因素用一个宏观经济的指标来刻画，并假设市场整体随这个指标的变化而变化.n除了这个共有的因素之外，其他剩余的不确定性则规为公司特有.n证券之间的

3、相关性的来源除了共有的因素之外，就没有其他因素了ri=E(ri)+iF+eii=对宏观经济的敏感程度F=未预期的宏观经济变化;F对所有证券是共同的E(F)=0,E(ei)=0,cov(F ei)=0,cov(ei ej)=0单因子模型假设n公司的特有风险与公共因子无关n公司的特有风险与其他公司的特有风险无关另外一种形式ri=i+iF+ei即：E(ri)=i+iE(F);F就不是非预期变化n例子例子n年份 GDP增长率A股票收益率n1 5.7%14.3%n2 6.4 19.2n3 7.9 23.4n4 7.0 15.6n5 5.1 9.2n6 2.9 13.0假设A的收益率与GDP增长率之间的关

4、系可以表示如下n n这里n =A在 t 时的收益率,n =GDP在 t 时的增长率,n =A在 t 时的收益率的特有部分,n =A对GDP的增长率的敏感度,n =有关GDP的零因子。tttebGDPartrtGDPteban4%trtGDP%0.136r%2.36e%9.26GDP零因子是4%，这是GDP的增长率为零时，A的收益率。A的收益率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高的GDP的增长率一定伴随着高的A的收益率。如果GDP的增长率是5%，则A的收益率为14%。如果GDP的增长率增加1%为6%时，则A的收益率增加2%，或者为16%。(ri-rf)=i+i(rm-r

5、f)+eia aRisk PremMarket Risk Prem or Index Risk Premi=the stocks expected return if the markets excess return is zeroi(rm-rf)=the component of return due to movements in the market index(rm-rf)=0 ei =firm specific component,not due to market movementsa a单指数模型对应nF：rm-E(rm)nE(ri):rf+E(rm)-rfnE(ei)=0Le

6、t:Ri=(ri-rf)Rm=(rm-rf)Risk premiumformatRi =a ai+i(Rm)+ei风险溢价的形式假设n公司的特有风险与公共因子无关n公司的特有风险与其他公司的特有风险无关cov(,)0miRcov(,)0ij 单指数模型特征n证券收益率的方差可以分解为两个部分:n源于一般的经济因素，源于指数变动的方差:n源于特有因素的方差:22mi)(2ie)(2222imiie单指数模型特征n两种证券的协方差:n协方差的唯一来源是它们共同依赖的共同因素2),(),(),(mjimjmjjmjjimiijiRRRRRRaa计算有效前沿:2种证券n参数估计:两个期望收益：2 es

7、timates of and ,we need:Covariance terms,we needjmjjjimiiiRRRRaa,(),()ijE rE r2i2j222),(&)(,&mjijiee2,&mji计算有效前沿:n种证券n如果有n种证券，单指数模型成立条件下需要估计的参数个数为3n+1n优势:大大减小了计算量.n假设要分析包括 3000个证券的最优投资组合，单指数模型成立条件下需要估计的参数个数 9001,否则我们需要估计 4500000!单指数模型和 CAPMnCAPM检验所遇到的困难:-如何观察期望收益：我们能够获得的数据只有市场的已实现收益，原则上它并不需要等于期望收益；必

8、须附加条件来实现期望收益与实现收益的“对接”单指数模型和 CAPMn假设指数模型成立:n与 CAPM的相同imiiiRRa2 ),(),(),(),(MiMiMMiMiMiiMiReCovRRCovReRCovRRCova2),(MMiiRRCovOLS回归n如果单指数模型成立，用已实现收益实施的最小二乘（OLS）回归对的估计具有良好的统计特性（最小方差线性无偏估计）Jan.Feb.DecMeanStd Dev5.41-3.44.2.43-.604.977.24.93.3.901.753.32ExcessMkt.Ret.ExcessGM Ret.例子Estimated coefficientS

9、td error of estimateVariance of residuals=12.601Std dev of residuals=3.550R-SQR=0.575-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM-rf=+(rm-rf)a aa a回归证券特征线Excess Returns(i)SCL.Excess returnson market indexRi=a a i+iRm+ei.n系统风险：risk related to the macro economic factor or market index.n非系统风险：risk not related to the

10、macro factor or market index.nTotal risk=Systematic+Unsystematic风险的组成i2=i2 m2+2(ei)where;i2=total variancei2 m2=systematic variance2(ei)=unsystematic variance分解指数模型和分散化n假设有N种证券n指数模型成立n“幼稚”投资组合：在每种证券上投资比例为1/N指数模型和分散化1112222111()PPPPPNPiiNPiiNPiiPMPpRReNNeeNeaaa指数模型和分散化n由于公司特有风险是相互不相关的)(1)()1().()()1(

11、.)()1()()1()(22222122221222enenneenenenep分散化Number of SecuritiesSt.DeviationMarket RiskUnique Risk 2(eP)=2(e)/n P2 M2多因子模型n经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的收益率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子来刻画整个经济可能是不准确的。影响因素n一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。nGDP的增长率n短期国库券的利率水平n长短期国债的收益率之差n公司债与国债的收益率之差n通货膨胀率n石油价格n

12、技术进步n收益率生成过程包括两个因子n在 t 时的两因子模型方程为：n n这里 和 是影响证券收益率的主要因素，和 是证券 i 对两因子的敏感度。是随机项，而 是零因子收益率。1122iiiiirab Fb Fe1F2F1ib2ibieia两因子模型两因子模型n年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票收益率n1 5.7%1.1%14.3%n2 6.4 4.4 19.2n3 7.9 4.4 23.4n4 7.0 4.6 15.6n5 5.1 6.1 9.2n6 2.9 3.1 13.0例子例子证券B的收益率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的收益率、G

13、DP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为tttteINFbGDPbar21ExampleExample作业作业作业nBased on current dividend yields and expected growth rates,the expected rates of return on stocks A and B are 11%and 14%,respectively.The beta of stock A is.8,while that of stock B is 1.5.The T-bill rate is

14、currently 6%,while the expected rate of return on the S&P 500 index is 12%.The standard deviation of stock A is 10%annually,while that of stock B is 11%.a.If you currently hold a well-diversified portfolio,would you choose to add either of these stocks to your holdings?b.If instead you could invest

15、only in bills and one of these stocks,which stock would you choose?Explain your answer using either a graph or a quantitative measure of the ttractiveness of the stocks.套利定价理论n直观的说法是，不花钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型的套利机会。如果一种投资能够产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的）。如果一种投资有非正的成本，但在将来获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零。套利机

16、会均衡与无套利n任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。所以我们假设市场上不存在任何套利机假设市场上不存在任何套利机会会。一价定理与套利一价定理与套利n在竞争性市场中，两项相同或本质相同资产的均衡价格应该相同n两种相同或本质相同的资产的收益率应该相同n一价定理是通过套利过程实现的套利n同时买入和卖出本质相同的资产；n买入相对低估的资产；n卖出相对高估的资产；套利机会？n三种证券的价格和可能的收益证券价格状态下的收益状态下的收益A7050100B6030120C8038112套利机会？n利用证券A和B来构造一个投资组合，使得该组合的

17、收益与证券C的收益完全相同5030381001201120.40.60.4 700.6 6064ababa状态：状态：，b该组合的构造成本一次套利机会？n假设买入400单位A，买入600股B，卖出1000单位C，套利的结果：证券投资状态状态A-28,000+20,000+40,000B-36,000+18,000+72,000C+80,000-38.000-112,000总计+16,00000近似的套利机会n近似的套利机会（almost arbitrage)：风险性质类似得证券组合，其价格、回报率也应该接近。在因子模型这一框架中，因子敏感度相等时，如果不考虑因子风险以外的因素，收益率行为应该一

18、致，否则存在近似套利机会。充分分散化假设单因素模型成立:rP=E(rP)+PF+ePF=因子构造一个包含众多证券的投资组合:)(2222PFPPe充分分散化的投资组合n非系统风险可以分散掉。充分分散化的投资组合是指非系统风险被分散且趋于0的组合n充分分散化的投资组合的方差:n因此，对于充分分散化的投资组合222FPP()ppprE rF投资组合与单个证券FreturnPortfolioFreturnIndividual Security投资组合的计算n投资组合的等于组合中资产的加权平均；cov(,)var()i imimw r rrpiiw套利定价理论n单因子模型成立n用两种充分分散化的证券构

19、造一个零beta投资组合:0jijiiijjjjiiww套利定价理论n新投资组合的期望收益必须为无风险利率 为0,无系统风险;充分分散，无非系统风险.fjijiiijjjjiirrErErEwrEwrE)()()()()(套利定价理论n整理可得:n充分分散投资组合的风险溢价与其成比例.jfjifirrErrE)()(套利定价理论（方程）()()()ifjfijifiE rrE rrE rr例子nSuppose the risk free rate is 4%.A well-diversified portfolio,A,has beta of 1 and expected return of

20、10%.nSuppose another well-diversified portfolio,C,has beta of 0.5,and expected return of 6%.nAre there any arbitrage opportunities?套利机会E(r)%Beta for F1076Risk Free 4ADC.51.0套利机会n卖空组合 Cn应用获得的资金购买组合D.D is composed of half of A&and the rest in a Risk-Free Asset,its beta will be 0.5(0)+0.5(1)=0.5,its ex

21、pected return will be 0.5(4)+0.5(10)=7%nArbitrage profit of 1%nTo preclude arbitrage opportunities,all well diversified portfolios must lie on the same arbitrage pricing line.E(r)%Beta(Market Index)Risk Free M1.0E(rM)-rfMarket Risk PremiumAPT with Market Index PortfolioAPT 与单个证券nAPT的关系是否对单个证券也成立?n假设

22、所有充分分散化的组合均满足期望收益与成正比的关系，那么所有的单个证券也几乎满足该关系.APT 与单个证券n无套利条件要求所有充分分散化的组合均在APT所描述的直线上。n然而，对于少数具有公司特有风险的股票，这些股票虽然不满足APT的方程，单也无法提供无风险的套利机会.APT 与单个证券n考虑这样一种情况：IBM的股价被低估，提供给投资者的期望收益率高于APT计算值1%.n这是一个好的投资机会，但不一定能够提供一个无风险的套利机会.n如果投资者想利用IBM股票被低估而持有大量IBM股票，他将暴露在IBM公司的特有风险下。大量股票违背APT原则n如果 1000只股票的期望收益在APT方程的预测期望

23、收益率之上，就可能构造一个充分分散的投资组合，使套利机会存在n为了创造这个套利机会，定价偏差的证券数量必须超过能够构造充分分散投资组合的最小数量.nAPT对充分分散化的组合成立，对单个证券不一定成立，即有些证券可以不在SML上。n在APT框架下，投资者持有的风险资产不一定相同.n没有市场组合的限制.APT 和CAPMAPTnAPT假设：均值为零的随机扰动项个因素、均值为零的第影响所有资产收益率的的敏感性个因素项资产对第第项资产的期望收益率第项资产的随机收益率第其中：:),2,1(:)(:)(11ikikiiiKiKiiikFKkkibirEirFbFbrErAPT n构造满足以下条件的套利组合

24、 零投资 无风险 组合的期望收益率必然为零（无套利机会）nN资产的套利组合的收益率为NiiiNiKiKiNiiiNiiipFbFbrEr111111)(APT n零投资n无风险n组合的期望收益率等于001Nii和，对于所有的Niikikb100)(1NiiirENiiiw10APT nRoss(1976)证明，必定存在着K+1个系数，使得：n如果存在无风险资产，其收益率为，那么n构造一个投资组合，要求该组合对这K个因素的敏感度为1，同时对其它的因素的敏感度为0。像这样的投资组合就叫作因素资产组合。如果第k个因素资产组合的收益率为 ，则K,10iKKiibbrE110)(frkfkrk0frAP

25、T 因此，可以把理解为第k个因素的风险溢价fkkrk)()()(11fKiKfifirbrbrrEAPT的例子n假设n因素可以理解为，比如说，GDP预期的偏差；而因素则可以表示未预期到的通货膨胀。两个因素的期望值均值为零n假如无风险利率为4%。因素的资产组合的期望收益率为10%，而因素的资产组合的期望收益率为12%iiiiiFbFbrEr2211)(APT的例子n考虑一资产：75.05.021AAbb，%13%6%3%4%875.0%65.0%4 )()()(2211fAfAfArbrbrrE如何确定因子如何确定因子n要利用APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。因为理论本身并没有告

26、诉我们因子是什么，所以我们需要通过经验来构造因子。宏观经济变量n经验证明，这些因子具有以下特征：（1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；（2）它们应该包含通货膨胀；（3）它们应该包含某种利率。直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。3到5个因子例子：n工业生产的增长率n通货膨胀率n长短期利率差n优劣债券回报率之差ExampleExamplenAssume that stock market returns have the market index as a common factor

27、,and that all stocks in the economy have a beta of 1 on the market index.Firm-specific returns all have a standard deviation of 30%.Suppose that an analyst studies 20 stocks,and finds that one-half have an alpha of 2%,and the other half an alpha of 2%.Suppose the analyst buys$1 million of an equally

28、 weighted portfolio of the positive alpha stocks,and shorts$1 million of an equally weighted portfolio of the negative alpha stocks.a.What is the expected profit(in dollars)and standard deviation of the analysts profit?b.How does your answer change if the analyst examines 50 stocks instead of 20 sto

29、cks?100 stocks?作业作业 nConsider the following data for a one-factor economy.All portfolios are well diversified.nPortfolio E(r)Betan A 12%1.2n F 6%0.0nSuppose that another portfolio,portfolio E,is well diversified with a beta of.6 and expected return of 8%.Would an arbitrage opportunity exist?If so,what would be the arbitrage strategy?