1、2.5 2.5 一元二次方程的根与一元二次方程的根与 系数的关系系数的关系 1、一元二次方程的一般形 式？ 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3、当0，=0，0 根的情况如何？ 4、一元二次方程的求根公式是什么？ 同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说 出下列一元二次方程的两根和与两根积？ （1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3）2x2-3x +1=0 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 1 1 2 1 x2- x-1=0 -1 2x2-3x+1=0 1 32 232332 2 1 2 3 2 1 前面学习了方程ax2+bx+c=0 (a0)
2、 的求根公式不仅表 示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与 系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间还有什么关 系呢？ x-x1)(x-x2)=0(两根x1，x2) x2+px+q=0 x1+x2=-p x1x2=q a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 根据求根公式可知，根据求根公式可知， 由此可知 a b xx 21 a c xx 21 根与系数 的关系 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的 和与积： ; 067) 1 ( 2 xx ; 0232)2( 2 xx 2 415)3(xx 1212 1 7,6xxx x 解
3、：（） 1212 39 ,1 23 xxx x 解：（2） 2 1212 510 51 , 44 x xxx x 解：（3）方程化为 4x 设设 的两个实数根的两个实数根 为为 则则: 的值为的值为( ) A. 1 B. 1 C. D. 01 2 xx 21 ,xx 21 11 xx 5 5 5 A 以方程以方程X X2 2+3X+3X- -5=05=0的两个根的相反数为根的方程的两个根的相反数为根的方程 是（是（ ） A、y y2 23y3y- -5=0 B5=0 B、 y y2 23y3y- -5=0 5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0
4、 B 分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则: 21 ,xx 5, 3 2121 xxxx 新方程的两根之和为新方程的两根之和为 3)()( 21 xx 新方程的两根之积为新方程的两根之积为 5)()( 21 xx 点点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的图象上的图象上, 又在一次函数又在一次函数 的图的图 象上象上,则以则以m,n为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为(二次二次 项系数为项系数为1): )0( 2 x x y 2xy 解解:由已知得由已知得, m n 2 2 mn 即 m n=2 m+n=2 所求一元二次方程为所求一元二次方程为: 022 2 xx 已知方程已
5、知方程 的两个实数根的两个实数根 是是 且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2= =- -k k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 - -2 2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- - 2(k+22(k+2）=4=4 K K2 2- -2k2k- -8=0 8=0 = = K K2 2- -4k4k- -8 8 当当k=4k=4时，时， 0 0 当当k=k=- -2 2时，时，0 0 k=k=- -2 2
6、解得：解得：k=4 或或k=2 02 2 kkxx 2, 1 xx 4 2 2 2 1 xx 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系间的关系,求新方程的两根和与两根积求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. 以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次方程 （二次项系数为）为：（二次项系数为）为： 2 60xx 一正根，一负根一正根，一负根 0 X1X20 两个正根两个正根 0 X1X20 X1+X20 两个负根两个负根 0 X1X20 X1+X20 谢谢！
