1、长沙民政职业技术学院教案课程名称数学应用基础课题多变量优化问题授课课时2课型新授课教案编号 5-3 教学目标（知识、技能、素质）：1、 知识目标：掌握图解法的基本步骤和线性（非线性）规划问题的EXCEL求解方法2、技能目标：分析解决问题的能力和数学建模的能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识2、 教学重点：图解法和线性（非线性）规划问题的EXCEL求解方法教学难点：利用EXCEL求解线性（非线性）规划问题主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入在日常生活、经济管理和科学研究等领域，人们经常会遇到一类决策问题：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使所关注的指标达到
2、最优(最大或最小)的决策。例如，资源分配要在有限资源约束下，制定最优分配方案，使资源产生的总效益最大；生产计划要按照产品生产流程和市场需求，制定原料、零件和部件的最佳订购时间点，尽量降低生产成本使利润最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下，安排从各供应点到需求点的最优路线和运量，使运输总费用最低等。二、新课讲授线性规划1. 线性规划问题需要满足三个条件：(1) 有一组决策变量，它表示要寻求的方案，每一组值对应一个具体方案。(2) 存在一组约束条件，且表示约束条件的数学式子都是线性等式或不等式。(3) 有一个目标函数，且目标函数是线性函数。线性规划模型的一般形式为这里()都为常数。2. 图解
3、法图解法的基本步骤如下： （1）根据约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的表达式画出目标函数等值线，并标明目标函数值增加的方向；（3）在可行域中，寻求符合要求的等值线与可行域边界相切的点或点集，并求出最优解和最优值。案例1 求解线性规划问题 解 此题的约束条件同例1，因此，其可行域完全相同。画出等值线，即，容易看出，等值线与直线BC平行，且等值线离原点越远，目标函数值越大。当等值线向右上方移动时，它与可行域边界相切时不是一个点，而是在整个线段BC上相切，如图5-2。这时在B点、C点及BC线段上的任意点都使目标函数值达到最大，即该线性规划问题有无穷多最优解，若取最优点B，则最优解为，最优值为1
4、6。图5-2 无穷多最优解情形案例2 求解线性规划问题解 首先在平面直角坐标系中画出可行域，它是无界区域，如图5-3。作等值线，即，容易看出，等值线离原点越远，目标函数值越大。但由于问题可行域无界，等值线可以无限制地向右上方移动，即目标函数值可以增大至无穷大。该情况下称问题具有无界解或无最优解。图5-3 无最优解情形3. 线性规划问题解的性质含两个变量的线性规划问题的解有下面四种情况：（1）有可行解且有唯一最优解（2）有可行解且有无穷多最优解（3）有可行解但无最优解（4）无可行解解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。4. 使用EXCEL求解线性规划问题当变量多于两个时，线性规
5、划问题不能用图解法，此时，我们一般借助软件求解。EXCEL 的“规划求解”工具可以解决最多有200个变量，100个外在约束和400个简单约束(决策变量整数约束的上下边界)的线性规划与非线性规划问题。案例3 求解线性规划问题：解 第一步：输入数据。图5-5 数据输入第二步：描述约束条件左端和目标函数表达式。图5-6 描述约束条件左端和目标函数表达式第三步：设置求解参数第四步：求解模型。图5-8 “规划求解结果”对话框图5-9 规划求解结果从图5-9可以很容易看出，当变量时，目标函数的最大值为注意：使用“规划求解”工具解线性规划问题时，EXCEL只能帮我们判断最优解是否存在并找到一个最优解，并不能
6、确定是否为唯一的最优解。非线性规划定义1 非线性规划问题：如果一个优化问题的目标函数和约束条件中，至少有一个表达式是非线性关系。案例4 某公司生产和销售两种产品，已知每生产单位产品的工时、电力和原材料消耗如表5-2所示。表5-2 工时、电力和原材料的消耗表产品产品日允许消耗量工时37300（工时）电力45250（千瓦）原材料94420（千克）两种产品的单价与销量之间存在负线性关系，分别为，工时、用电量和原材料的单位成本分别是10、12和50，总固定成本是10000。该公司怎样安排生产，所获利润最大。解 (1) 建立问题的数学模型：设生产、两种产品的日产量分别为单位，则销售收入分别为和，产品的可
7、变成本为，产品的可变成本为，总固定成本是10000，因此利润函数可表示为由于工时每天可供使用量不能超过300，而生产1单位产品需要3个工时，生产1单位产品需要7个工时，故有 ，同理，因受电力、原材料的限制，可以得到以下两个不等式 此外，根据问题的实际意义，应该取非负数。综上所述，建立问题的数学模型为：该模型为非线性规划模型。(2) 使用EXCEL求解该模型：第一步：输入数据图5-10 数据输入第二步：描述目标函数表达式和约束条件左端图5-11 描述约束条件左端和目标函数表达式第三步：设置求解参数图5-12 设置求解参数第四步：求解模型。求解的结果如图5-13所示。图5-13 规划求解结果从图5-13可以看出，当产量时，最大利润为42037.93课后小记
