圆锥曲线基础知识手册(教师版).pdf

1、圆锥曲线圆锥曲线一、一、椭圆及其性质椭圆及其性质第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2)的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2abcOA1A2B2B1x=a2cx=-a2cyxF1F2abcA1A2B2B1y=a2cy=-a2c标准方程x2a2+y2b2=1 ab0y2a2+x2b2=1 ab0范围-axa且-byb-bxb且-aya顶点A1-a，0，A2a，0，B10，-b，B20，bA10，-a，A20，a，B1-b，0，B2b，0轴长长轴长=2a，短轴长=2b，

2、焦距=F1F2=2c，c2=a2-b2焦点F1-c，0、F2c，0F10，-c、F20，c焦半径PF1=a+ex0，PF2=a-ex0PF1=a-ey0，PF2=a+ey0焦点弦左焦点弦|AB|=2a+e(x1+x2)，右焦点弦|AB|=2a-e(x1+x2).离心率e=ca=1-b2a20e0，b0y2a2-x2b2=1 a0，b0范围x-a或xa，yR Ry-a或ya，xR R顶点A1-a，0、A2a，0A10，-a、A20，a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c，0、F2c，0F10，-c、F20，c焦半径|PF1|=a+ex0，|PF2|=

3、-a+ex0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e1准线方程x=a2cy=a2c渐近线y=baxy=abx切线方程x0 xa2-y0yb2=1x0 xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：SF1PF2=b2tan2=c y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinsin-sin=sin(+)sin-sinyxF1F2P第2页共68页三、三、抛物线及其性质抛物线及其性质定义平面内与一个定点F和一条定

4、直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线方程y2=2pxp0y2=-2pxp0 x2=2pyp0 x2=-2pyp0图形yxFx=-p2yxFx=p2yxFy=-p2yxFy=p2顶点0,0对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F-p2，0F 0，p2F 0，-p2准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2离心率e=1范围x0 x0y0y0切线方程y0y=p x+x0y0y=-p x+x0 x0 x=p y+y0 x0 x=-p y+y0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB=2p(最短焦点弦)焦点弦AB为过y2=2px p0焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，倾斜角为.则：(1)AF=x1+

5、p2BF=x2+p2AB=x1+x2+p，(2)x1x2=p24y1y2=-p2(3)AF=p1-cosBF=p1+cos1|FA|+1|FB|=2p(4)AB=2psin2SAOB=p22sinAB为过x2=2py(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，倾斜角为.则：(1)AF=p1-sinBF=p1+sin(2)AB=2p2cosSAOB=p22cos(3)AFBF=，则：=-1+1sinyxFx=-p2ABOyxFABOy2=2px(p0)y2=2px(p0)第3页共68页四、四、圆锥曲线的通法圆锥曲线的通法F1F2POxyOxyFPMOxyF1F2P椭圆双曲线抛物线点差法

6、与通法点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.2、直线与圆锥曲线的位置关系（1 1）直线的设法：）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y=kx+b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a，0)则设直线：x=my+a，可避免对斜率进行讨论（2 2）研究通法：）研究通法：联立y=kx+bF(x，y)=0 得：ax2+bx+c=0判别式：判别式：=b24ac，韦达定理：x1+x2=ba，x1x2=ca（3 3）弦长公式：）弦长公式：AB=(x1-x

7、2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)24y1y23、硬解定理设直线y=kx+与曲线x2m+y2n=1相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)由：y=kx+nx2+my2=mn，可得：(n+mk2)x2+2kmx+m(2-n)=0判别式：=4mn(n+mk2-2)韦达定理：x1+x2=-2kmn+mk2，x1x2=m(2-n)n+mk2由：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2，代入韦达定理：|x1-x2|=n+mk24、点差法：若直线l与曲线相交于M、N两点，点P(x0，y0)是弦MN中点，MN的斜率为kMN

8、，则：在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中，有kMNy0 x0=b2a2;在双曲线x2a2y2b2=1(ab0)中，有kMNy0 x0=b2a2；在抛物线y2=2px(p0)中，有kMNy0=p.(椭圆椭圆)设M、N两两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，第4页共68页则有x12a2+y12b2=1，(1)x22a2+y22b2=1.(2)(1)(2)，得x12x22a2+y12y22b2=0.y2y1x2x1y2+y1x2+x1=b2a2.又kMN=y2y1x2x1，y1+y2x1+x2=2y2x=yx.kMNyx=b2a2.圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概

9、念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2、直线的参数方程(1)过定点P(x0，y0)、倾斜角为(2)的直线的参数方程x=x0+tcosy=y0+tsin(t为参数)(2 2)参数参数t t的几何意义：的几何意义：参数t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M0M|=|t

10、|，|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离.当点M在M0上方时，t0；当点M在M0下方时，tb0)的参数方程为x=acosy=bsin(为参数)；椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的参数方程为x=bcosy=asin(为参数)；(2 2)参数参数 的几何意义：的几何意义：参数表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P对应的离心角为=QOx(过P作PQx轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q)，切不可认为是=POx.5 5、双曲线的参数方程（1）双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的参数方程x=asecy=btan(为参数)；sec=1cos双曲线y2a2-x2b2=1(ab0)的参数方程x=bc

11、oty=acsc(为参数)；csc=1sin（2 2）参数）参数 的几何意义：的几何意义：参数表示双曲线上某一点的离心角.6、抛物线的参数方程（1）抛物线y2=2px参数方程x=2pt2y=2pt(t为参数，t=1tan)；（2 2）参数）参数t t的几何意义：的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=1kOP仿射变换与齐次式仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.2、椭圆的变换：椭圆b2x2+a2y2=a2b2变换内容x=xy=aby x=xy=bay x=baxy=y x=abxy=y 圆方程x2+y

12、2=a2x2+y2=b2图示yxABOCyxABOCyxABOCyxABOC点坐标A(x0，y0)A(x0，aby0)A(x0，y0)A(bax0，y0)斜率变化k=abk，由于kACkBC=1kACkBC=bakACbakBC=b2a2k=abk，由于kACkBC=1kACkBC=bakACbakBC=b2a2弦长变化则AB=1+k2x1-x2AB=1+k2x1-x2=1+(ab)2k2x1-x2yxPOQ第6页共68页面积变化SABC=baSABC(水平宽不变，铅锤高缩小)SABC=abSABC(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，kOPkAB=b2a2，中垂线问题kOPkMP=b2a

13、2，且xM=c2x0a2yN=-c2y0b2，拓展拓展1 1：椭圆内接ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到OBC为120的等腰三角形；ABC为等边三角形；拓展拓展2 2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OAPB4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且kOAkOB=b2a2，则经过仿射变换后kOAkOB=1，所以SAOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：kOAkOB=b2a2SAOB=ab2OM=sinOA+cosOB 0，2，三者等价5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜

14、率和与积的问题）（1 1）题设：）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2 2）步骤：）步骤：将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.由中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C，所有直线方程统一写为：mx+ny=1将圆锥曲线C展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.在齐次式中，同时除以x2，构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1 1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2

15、+y2b2=1(ab0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则xMxN=a2时，AMN=BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则yMyN=b2时，AMN=BMN，即短轴为角平分线；2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1，直线CO的斜率为k2，EO平分AOC则有：k1+k2=tan+tan(-)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程第7页共68页(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程

16、为y-y0=k(x-x0)(除直线x=x0)，其中k是待定的系数;经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0，其中A，B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线 l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(除l2)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+=0(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 Ax+By+C=0(A0，B0)垂直的直线系方程是

17、 Bx-Ay+=0，是参变量4、圆系方程(1)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0，是待定的系数(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，是待定的系数(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A，B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中，分别为MA，MB的倾斜角，则：、MA MB 为定值直线AB恒过定点；、kMAkMB为定值

18、直线AB恒过定点；、+=(00)上的两动点，分别为OA，OB的倾斜角，则：OAOBkOAkOB=-1-=2直线AB恒过定点(2p，0).（3）椭圆中直线过定点模型：A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于右顶点D的两动点，其中，分别为DA，DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DADBkDAkDB=-1-=2直线AB恒过定点(ac2a2+b2，0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y-y0=k(x-x0)可求得定点坐标(x0，y0)2含参形式复杂的通过变换主元法变换主元法求解定点坐标.变换主元法：变换主元法：将直线化为h(x，y)+f(x，y)=0，解

19、方程组：h(x，y)=0f(x，y)=0 可得定点坐标.eg:直线方程：（2m+1）x+(m-5)y+6=0，将m看作主元，按照降幂排列：（2x+y）m+x-5y+6=0，解方程组：2x+y=0 x-5y+6=0，解得：x=-611y=1211，求得直线过定点（-611，1211）.3、关于以AB为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：圆的直径式方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，第8页共68页该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上

20、.(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）SABC=12MNd，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）SABC=12水平宽铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）SAOB=12x1y2-x2y1例题例题1.1.在平面直角坐标系xOy中，已知点O 0，0，A x1，y1，B x2，y2不共线，证明：AOB的面积为SAOB=12x1y2-x2y1.【证明】分析：从三角形的常用面积公式出发，考虑哪些量能快速地用坐标表示.证明一:利用SAOB=12OAOBAOBsinSAOB=12OAOBAOBsin=12OA2 OB2AOBsin=12OA2 OB2-OAOBAOBcos2=

21、12OA2 OB2-OA OB 2=12x21+y21x22+y22-x1x2+y1y22=12x1y2-x2y12=12x1y2-x2y1证明二:利用S=12aha易得直线OA的方程为y1x-x1y=0，所以OA边上的高为d=y1x2-x1y2x21+y21=x1y2-x2y1OA从而有SAOB=12OAd=12OAx1y2-x2y1OA=12x1y2-x2y1证明三:割补法，利用截距若y1=y2，则SAOB=12x1-x2y1=12x1y2-x2y1若y1y2，设直线AB与x轴交于M m，0，则m=x1y2-x2y1y2-y1，故SAOB=12my1-y2=12x1y2-x2y1OABMx

22、y第9页共68页证明四:叉乘若A x1，y1，z1，B x2，y2，z2，C x3，y3，z3，则SABC=12AB AC=12i j k x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1所以SAOB=12OA OB=12i j k x1-0y1-00 x2-0y2-00=12x1y2-x2y12、面积中最值的求解(1)f(x)=x2+x+x+n型：令t=x+nx=t-n进行代换后裂项转化为：y=at+bt(2)f(x)=x+nx2+x+型：先在分母中配出分子式f(x)=x+n(x+n)2+(x+n)+令t=x+n，此时：y=tt2+t+，分子分母同时除t，此时y=1t+t+，再利

23、用对勾函数或不等式分析最值.(3)f(x)=x+x+n型：令t=x+n x=t2-n进行代换后裂项，可转化为：y=at+bt第10页共68页五、五、椭圆的二级结论椭圆的二级结论2.PF1+PF2=2a【证明】椭圆第一定义3.标准方程x2a2+y2b2=1【证明】由定义即可得椭圆标准方程。4.PF1d1=er，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。8.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.【证明】如图，两圆圆心距为d=OM=PF12=2a-PF22=a-PF22=a-r，故两圆内切。9.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线

24、切于A2(或A1).【证明】如图，由切线长定理：F1S+F1T=PF1+PF2+F1F2=2a+2c，F1S=F1T=a+c而 F1T=a+c=F1A2，T与A2重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。10.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个顶点为A1(-a，0)，A2(a，0)，与y轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.【证明】易知A1-a，0A2a，0，设P1x0，y0，P2x0，-y0，第12页共68页则x02a2+y02b2=1A1P1:y=y0a+x0 x+a，A2P2:y=y0a-x0 x-a则xP=a

25、2x0Pa2x0，ay0 x0 xP2a2-yP2b2=a2x02-a2y02b2x02=a2b2-a2y02b2x02=1P点的轨迹方程为x2a2-y2b2=111.若点P0(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上，则在点P0处的切线方程是x0 xa2+y0yb2=1.【证明】证明一:P0(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1上x20a2+y20b2=1，对x2a2+y2b2=1求导得：2xa2+2yyb2=0，将点P0(x0，y0)坐标代入得：2x0a2+2y0y0b2=0y=-b2x0a2y0切线方程为y-y0=-b2x0a2y0 x-x0即x0 xa2+y0yb2=x2

26、0a2+y20b2=1证明二:12.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0 xa2+y0yb2=1.【证明】设P1x1，y1，P2x2，y2，由10得：x0 x1a2+y0y1b2=1，x0 x2a2+y0y2b2=1，因为点P1，P2在直线P1P2上，且同时满足方程x0 xa2+y0yb2=1，所以P1P2:x0 xa2+y0yb2=113.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOMkAB=-b2a2.【证明】设A x1，y1，B x2，y2，M x0，y0则有x21a

27、2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1作差得：x21-x22a2+y21-y22b2=0 x1-x2x1+x2a2+y1-y2y1+y2b2=0kAB=y1-y2x1-x2=-b2x1+x2a2y1+y2=-b2x0a2y0=-b2a2kOMkABkOM=-b2a214.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0 xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.【证明】由12可得：y-y0=-b2x0a2y0 x-x0a2y0y-a2y20+b2x0 x-b2x20=0b2x0 x+a2y0y=b2x20+a2y20 x0 xa2+y0yb2=x

28、20a2+y20b2第13页共68页15.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2.【证明】由12可得：y-y0 x-x0yx=-b2a2a2y2-a2y0y+b2x2-b2x0 x=0b2x2+a2y2=b2x0 x+a2y0yx2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb216.若 PQ 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|，r2=|OQ|).【证明】设P acost，bsint，Q acost，bsint，则kOPkOQ=bsint

29、acostbsintacost=-1tanttant=-a2b21r12+1r22=r12+r22r12r22=a2cos2t+cos2t+b2sin2t+sin2ta2cos2t+b2sin2ta2cos2t+b2sin2t=a21cos2t+1cos2t+b2tan2tcos2t+tan2tcos2ta2+b2tan2ta2+b2tan2t=a22+tan2t+tan2t+b2tan2t+tan2t+2b2tan2ttan2ta4+a2b2tan2t+tan2t+b4tan2ttan2t=a2+b2tan2t+tan2t+2a2a2+b2b22a4+a2b2tan2t+tan2t=1a2+

30、1b2tan2t+tan2t+2a2b22a2b2+tan2t+tan2t=1a2+1b217.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上中心张直角的弦 L所在直线方程为 Ax+By=1(AB0)，则(1)1a2+1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2a2A2+b2B2.【证明】将直线AB代入椭圆方程中得：A2a2+B2b2x2-2Aa2x+a21-B2b2=0=4a2B2b2A2a2+B2b2-1，AB=2ab A2+B2A2a2+B2b2A2a2+B2b2-1设A x1，y1，B x2，y2则x1+x2=2Aa2A2a2+B2b2，x1x2=a21-B2b2A2a2+B2b2，

31、y1y2=b21-A2a2A2a2+B2b2OAOBx1x2+y1y2=0a2+b2=a2b2A2+B2A2+B2=1a2+1b2AB=2ab A2+B2A2a2+B2b2A2a2+B2b2-1=2a2+b2A2a2+B2b2-1A2a2+B2b2=2 A2a4+B2b4+a2b2A2+B2-a2+b2A2a2+B2b2=2 A2a4+B2b4A2a2+B2b218.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(ab0)，C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2，则(i)对C1上任意给定的点P(x0，y0)，它的任一直角弦必须经过C2上一定点Ma2-b2a2+b2x0，-a2-b2a

32、2+b2y0.(ii)对C2上任一点P(x0，y0)在C1上存在唯一的点M，使得M的任一直角弦都经过P点.【证明】设椭圆内直角弦AB的方程为：y-m=k x-n即y=kx+m-kn。第14页共68页当斜率k存在时，代入椭圆C1方程中得：a2k2+b2x2+2a2k m-knx+a2m-kn2-b2=0设A x1，y1，B x2，y2得x1+x2=-2a2k m-kna2k2+b2，x1x2=a2m-kn2-b2a2k2+b2则PA PB=x0-x1x0-x2+y0-y1y0-y2=k2+1x1x2-k2n+ky0+x0-mkx1+x2+x20+y0-m-kn2=0a2k2+1m-kn2-b2+

33、k2n+ky0+x0-mk2a2k m-kn+a2k2+b2x20+a2k2+b2y0-m-kn2=0a2k2+1m-kn2-a2k2+1b2+a2k2+b2x20+a2k2+b2y20+a2k2+b2m-kn2-2y0m-kna2k2+b2-2a2k2m-kn2+2a2kx0m-kn+2a2k2y0m-kn=0a2m-kn2-a2k2+1b2+a2k2+b2x20+a2k2+b2y20+b2m-kn2-2y0m-knb2+2a2kx0m-kn=0 a2k2+b2x20+y20+a2+b2m-kn2-a2b2k2+1+2 m-kna2kx0-b2y0=0a2k2x20+y20+b2x20+y2

34、0+a2+b2m2+a2+b2k2n2-2kmn a2+b2-a2b2k2-a2b2+2ma2kx0-2mb2y0-2k2na2x0+2knb2y0=0a2x20+a2+b2n2-b2x20-2na2x0=0ma2x0+nb2y0=mn a2+b2b2y20+a2+b2m2-a2y20-2mb2y0=0m=b2-a2a2+b2y0n=a2-b2a2+b2x0即直线AB过定点a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。19.设P(x0，y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y

35、2b2=1(a0，.b0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦PP1，PP2斜率存在，记为k1，k2，则直线P1P2通过定点M(mx0，-my0)(m1)的充要条件是k1k2=-1+m1-mb2a2.【证明】必要性：设P1P2：y+my0=k x-mx0。k存在时，代入椭圆方程中得：a2k2+b2x2-2a2km y0+kx0 x+a2m2y0+kx02-a2b2=0设P1x1，y1，P2x2，y2得x1+x2=2a2km y0+kx0a2k2+b2，x1x2=a2m2y0+kx02-a2b2a2k2+b2k1k2=y0-y1y0-y2x0-x1x0-x2=k2x1x2-k my0+mkx0+

36、y0 x1+x2+my0+mkx0+y02x1x2-x0 x1+x2+x20=b2m+12kmx0y0+k2x20m-1+y20m+1a2m-12kmx0y0+k2x20m-1+y20m+1=b2m+1a2m-1k不存在时，P1P2：x=mx0则y=baa2-m2x20，k1k2=y0-baa2-m2x20y0+baa2-m2x20 x201-m2=y20-b2a2a2-m2x20 x201-m2=b2x20m2-1a2x201-m2=b2m+1a2m-1必要性得证。充分性：设P1P2过定点 q，p，则P1P2：y=kx+p-kq。代入椭圆方程得：a2k2+b2x2+2a2k p-kqx+a2

37、p-kq2-a2b2=0设P1x1，y1，P2x2，y2得x1+x2=-2a2k p-kqa2k2+b2，x1x2=a2p-kq2-a2b2a2k2+b2则k1k2=y1-y0y2-y0 x1-x0 x2-x0=k2x1x2+k p-kq-y0 x1+x2+p-kq-y02x1x2-x0 x1+x2+x20=a2k2p-kq2-a2b2k2-2a2k2p-kqp-kq-y0+p-kq-y02a2k2+b2a2p-kq2-a2b2+2a2kx0p-kq+x20a2k2+b2第15页共68页=b2p-kq2-2y0p-kq+y20-k2x20a2p-kq2+2kx0p-kq+k2x20-y20=m

38、+1m-1b2a2p-kq2-2y0p-kq+y20-k2x20p-kq2+2kx0p-kq+k2x20-y20=m+1m-1k2mx20+q2-mqx0-qx0+k mpx0+px0-mqy0+qy0-2pq+mpy0-py0+p2-my20=0mx20+q2-mqx0-qx0=0mpx0+px0-mqy0+qy0-2pq=0mpy0-py0+p2-my20=0q-x0q-mx0=0 1px0m+1+qy01-m=2pqp-y0my0+p=0 3(2)注意到m1，解(1)(3)得p=-my0，q=mx0，代入(2)式，成立。验证k不存在的情况，也得到此结论。故l过定点 mx0，-my0m1，

39、充分性得证。20.过椭圆x2a2+y2b2=1(a0，b0)上任一点A(x0，y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，则直线BC有定向且kBC=b2x0a2y0(常数).【证明】设AB：y-y0=k x-x0即y=kx+y0-kx0y=kx+y0-kx0 x2a2+y2b2=1 a2k2+b2x2+2a2k y0-kx0 x+a2y0-kx02-b2=0 x0+xB=2a2k kx0-y0a2k2+b2xB=a2k2x0-2a2ky0-b2x0a2k2+b2Ba2k2x0-2a2ky0-b2x0a2k2+b2，b2y0-a2k2y0-2b2kx0a2k2+b2同理Ca2k2x0+2

40、a2ky0-b2x0a2k2+b2，b2y0-a2k2y0+2b2kx0a2k2+b2kBC=4b2kx04a2ky0=b2x0a2y021.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2=，则椭圆的焦点三角形的面积为SF1PF2=b2tan2，P acc2-b2tan22，b2ctan2.【证明】OxyF1F2P由余弦定理：PF12+PF22-2 PF1PF2cos=2c2PF1+PF22=4c2+2 PF1PF2cos+14a2=4c2+2 PF1PF2cos+1 PF1 PF2=2b2cos+1=b2cos22SF1PF2=12PF1 PF

41、2sin=b2sincos+1=2b2sin2cos22cos22=b2tan2=c yP yP=b2ctan2，xP=a2-a2b2c2tan22=acc2-b2tan22P acc2-b2tan22，b2ctan2第16页共68页22.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2是焦点，PF1F2=，PF2F1=，则a-ca+c=tan2tan2.【证明】由34：a-ca+c=1-e1+e=sin+sin-sinsin+sin+sin=sin+sin-sin+sin+sin+sin+=sin+sin-sincos-sincossin+sin+sincos+s

42、incos=sin 1-cos+sin 1-cossin 1+cos+sin 1+cos=2sin2cos22sin22+2sin2cos22sin222sin2cos22cos22+2sin2cos22cos22=sin2sin2cos2sin2+cos2sin2cos2cos2sin2cos2+sin2cos2=sin2sin2cos2cos2=tan2tan223.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0(F1(-c，0)，F2(c，0)，M(x0，y0).【证明】由第二定义得：MF1=e x0+a2c=a+ex0，MF2=ea2c

43、-x0=a-ex024.椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦半径公式：PF1=b2a-ccos，MF1=b2a+ccos，MP=2ab2a2-c22cos=2ab2b2+c22sin，PF2=b2a+ccos，MF2=b2a-ccosyxF1F2POM【证明】证明一:第二定义yxF1F2POMA1A2A3如图所示，结合椭圆的第二定义有，PF1PA1=e则 PF1=e PA1=e F1A2+PF1cos=ea2c-c+PF1cos解得 PF1=b2a-ccos同理可得，MF1MA3=e则 MF1=e MA3=e F1A2-MF1cos=ea2c-c-MF1cos解得 MF1=b2a+cc

44、os第17页共68页证明二:余弦定理由余弦定理可得PF22=PF12+F1F22-2 PF1 F1F2cos=PF12+4c2-4c PF1cos=2a-PF12解得 PF1=b2a-ccos25.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1e b 0)上任一点，F1，F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2a-|AF2|PA|+|PF1|2a+|AF2|，当且仅当A，F2，P三点共线时，等号成立.【证明】在APF2中，有PF2-AF2PAPF2+AF2PF1+PAPF1+PF2+AF2=2a+AF2，PF1+PAPF1+PF2-AF2=2a-AF

45、2都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号27.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02(a2-b2)2a2+b2k2.【证明】25.设椭圆上的点A x1，y1，B x2，y2关于l:y=kx+m对称，M x0，y0。由12得：kAB=-b2x0a2y0=-1kk=a2y0b2x0=a2kx0+mb2x0 x0=-a2mc2k，y0=-b2mc2又M在椭圆内，a2m2c4k2+b2m2c4=a2+b2k2m2c4k21m2c4k2a2+b2k2若m=-kx0，则x20b0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2.

46、【证明】设P acos，bsin，由射影定理有:b2sin2=c-acosc+acos=c2-a2cos2c2=a2cos2+a2-c2sin2e2=cos2+1-e2sin2 1+sin2e2=sin2+cos2=1e2=11+sin231.设A，B为椭圆x2a2+y2b2=k(k0，k1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P，Q，则AP=BQ.【证明】设C1:x2a2+y2b2=1，C2:x2a2+y2b2=k k1，AB l:Ax+By+C=0。联立C1，l得：A2a2+B2b2x2+2Aa2Cx+a2C2-a2b2B2=0，由韦达定理：xA+xB=-2Aa2CA2a2

47、+B2b2同理xP+xQ=-2Aa2CA2a2+B2b2。则AP-BQ=1+A2B2xA-xP-1+A2B2xB-xQ=1+A2B2xA-xP-xB-xQ而xA-xP，xB-xQ的符号一定相反，故 xA-xP-xB-xQ=xA+xB-xP+xQ=0。所以AP=BQ32.在 椭 圆x2a2+y2b2=1 中，定 长 为 2 m(o m a)的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 m2=1-x2a2+y2b2a2cos2+b2sin2，其中tan=-bxay，当y=0时，=90.【证明】设A acos，bsin，B acos，bsin，M x0，y0为AB中点。则 AB2=a2cos-cos2+b2s

48、in-sin2=4a2sin2+2sin2-2+4b2cos2+2sin2-2=4m2a2sin2+2sin2-2+b2cos2+2sin2-2=m2而x0=acos+acos2=acos+2cos-2，y0=bsin+bsin2=bsin+2cos-2设A=sin2-2，B=sin2+2，则x20=a21-A1-B，y20=b21-AB，m2=a2AB+b2A 1-B解得A=1-x20a2+y20b2，B=y20b2x20a2+y20b2，代入m2得：m2=1-x20a2+y20b2a2y20b2x20a2+y20b2+b2x20a2x20a2+y20b2令tan=-bx0ay0得：m2=1

49、-x20a2+y20b2a2tan2+1+b2tan2tan2+1=1-x20a2+y20b2a2cos2+b2sin2所以定长为2m(0b0)的通径，定长线段L的两端点A，B在椭圆上移动，记|AB|=l，M第19页共68页(x0，y0)是 AB 中点，则当 l S 时，有(x0)max=a2c-l2ec2=a2-b2，e=ca;当 l c时，当cos2+2=1，即AB垂直于x轴时x0最大。e2x20max-x20max+a2-c2=l24x20max=b2-l241-e2=a24b24b2-l2x0max=a2b4b2-l2考虑到对称性x0min=0对任意情况均成立。x0min=0，x0ma

50、x=a2c-l2ex0maxc，l=2b2a，AB过焦点，cos2+2=x0ca2b4b2-l2x0maxc，lb0)的两个焦点为F1、F2，P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2=，PF1F2=，F1F2P=，则有sinsin+sin=ca=e.【证明】由正弦定理得F1F2sin=PF2sin=PF1sin，所以sinsin+sin=F1F2PF1+PF2=2c2a=ca=e。37.经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|P2A2|=b2.【证明】设P acos，bsin，则P