弹性力学应力状态课件.ppt

1、一、面力一、面力面力面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等物体之间的接触力等 面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负 体力体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。体力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负体力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负 一、单元体及应力分量表示一、单元体及应力分量表示二、正面与负面及应力的

2、正负号元规定二、正面与负面及应力的正负号元规定正面正面指某一单元面的外法线沿坐标轴的正向指某一单元面的外法线沿坐标轴的正向 负面负面指某一单元面的外法线沿坐标轴的负向指某一单元面的外法线沿坐标轴的负向 应力正负：应力正负：作用在正面上的应力沿坐标轴的正向为正作用在正面上的应力沿坐标轴的正向为正作用在负面上的应力沿坐标轴的负向为正作用在负面上的应力沿坐标轴的负向为正反之，为负。反之，为负。一点所有截面的应力矢量的集合称为一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态一点的应力状态),cos(),cos(),cos(znnynmxnlnmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxx任一

3、斜单元面上全应力在坐标轴上投影的计算公式任一斜单元面上全应力在坐标轴上投影的计算公式任一斜单元面上全应力的计算公式任一斜单元面上全应力的计算公式:222zyxppppnlmnlmnmlnpmplpzxyzxyzyxzyxn222222222222nzyxnnpppp正应力正应力剪应力剪应力已知物体内一点的已知物体内一点的9个应力分量，就可求出个应力分量，就可求出任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。四、应力张量四、应力张量使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态 坐标系作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的坐标系

4、作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的 新的坐标系新的坐标系Oxyz 新坐标系与旧坐标系新坐标系与旧坐标系之间有如下关系之间有如下关系:一、新旧坐标系下的方向余弦一、新旧坐标系下的方向余弦二、应力坐标转换公式二、应力坐标转换公式1.作斜截面作斜截面ABC与与x轴垂轴垂直，其应力矢量为直，其应力矢量为P，再将再将P向旧坐标系上进行投影，得：向旧坐标系上进行投影，得：111111111nmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxx2.将将Px、Py、Pz投影到投影到x轴上，得轴上，得x面上的正应力：面上的正应力：3.将将Px、Py、Pz分别向分别向y、z轴投影，得轴投影，得x面上

5、沿面上沿y方方向的剪应力和沿向的剪应力和沿z的剪应力：的剪应力：三、平面问题的应力坐标转换公式三、平面问题的应力坐标转换公式主平面主平面是指剪应力为零的平面是指剪应力为零的平面 应力主轴应力主轴为主平面法线方向（或主方向）为主平面法线方向（或主方向）主应力主应力为主平面的正应力为主平面的正应力一、应力状态的特征方程一、应力状态的特征方程A点处有一个主面点处有一个主面n剪应力为剪应力为0正应力即全应力正应力即全应力主应力的三个分量为主应力的三个分量为Px,Py，Pz npmplpiziyixnmlnpnmlmpnmllpzzyzxizyzyyxiyxzxyxix代入公式，得代入公式，得整理，得整

6、理，得且且这是关于主平面方向余弦l，m，n的齐次线性方程组 这个方程组具有非零解的条件为系数行列式等于零 展开行列式，得展开行列式，得其中：其中：zxyzxyxyzzxyyzxzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII2222322221特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根 1 1，2 2，3 3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于对于应力主方向应力主方向，将，将 1 1，2 2，3 3分别代入前式。分别代入前式。I1,I2,I3分别称为分别称为应力张量的第一，第二和第三不变量应力张量的第一，第二和第三不变量 所谓不变量是指同一点的应力张量而言的

7、，所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，它们与坐标轴的选取无关它们与坐标轴的选取无关 二、应力张量不变量二、应力张量不变量321313322123211III主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。l不变性l实数性l正交性一、最大和最小的正应力一、最大和最小的正应力最大和最小的正应力即为三个主应力最大和最小的

8、正应力即为三个主应力最大和最小的正应力即为最大和最小的正应力即为321主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力二、最大和最小的剪应力二、最大和最小的剪应力231321zyxnZmYlX3211232221ZYX任一斜单元面上的全应力在坐标轴上的分量：得椭球方程：通过通过A点所有单元上全应力的矢量末端都落在椭球面上。点所有单元上全应力的矢量末端都落在椭球面上。（应力椭球）（应力椭球）ijiiijsmmmmm000000ii333231232221131211ssssssssssmzzyzxyzmyyxxzxymxij)(31mzyx应力偏量方程：应力偏

9、量方程：032213JSJSJSiii可得应力偏量的三个不变量：可得应力偏量的三个不变量：zxyzxyxymzxzmyyzmxmzmymxzxyzxymzmymxzxyzxymxmzmzmymymxmzmymxJJJ2)()()()()()(6)()()(61)()()(0)()()(222222322222222221当取坐标轴为应力主轴时有：当取坐标轴为应力主轴时有：)()()()()(610321321323222121mmmJJJ13212831)(31)(31Inzyxii221133221232121323222186231)(6)(231)()()(31II 432rd平衡物体整

10、体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。平衡微分方程切应力互等定理 jiij0,bjiijF0Xzyxzxyxx00ZzyxYzyxzyzzzyyxy弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知边界面力已知面力边界S iijsjnF面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。边界的应力分量的关系。nmlZnmlYnmlXzzyzxyzyyxxzxyx静力边界条件面力边界条件静力边界条件面力边界条件如平面问题的静力边界条件：如平面问题的静力边界条件：mlYmlXyyxxyx面力边界条件描述弹性体表面的平衡，描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。