数学分析-导数课件.ppt

1、 1.熟练掌握导数的四则运算法则熟练掌握导数的四则运算法则;2.熟练掌握反函数复合函数求导法则熟练掌握反函数复合函数求导法则;3.熟记基本初等函数与常见的初等函熟记基本初等函数与常见的初等函 数的导数表达式数的导数表达式;4.了解高阶导数的定义和高阶导数的了解高阶导数的定义和高阶导数的 运算法则运算法则,包括高阶导数的莱布尼兹包括高阶导数的莱布尼兹 公式公式 5.掌握导数和微分的基本应用。掌握导数和微分的基本应用。第五章第五章 导导 数数教学要求教学要求：下页1ppt课件第第 五五 章章 导导数数与与微微分分 1 1 导导数数概概念念 在第一章我们研究了函数，函数的概念刻画了因变量随自变量变化

2、的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。下页2ppt课件变变速速运运动动物物体体的的速速度度问问题题 在中学里我们学过平均速度 ts，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运

3、行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数)(tS，则在 0t到 t 这段时间内的平均速度为 0 00 0t tt t)S S(t tS S(t t)v v 下页3ppt课件可以看出 t 与 0t 越接近，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越

4、接近，当 t 无限接近0t 时，平均速度 v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为 0 00 0t tt t0 0t tt t)S S(t tS S(t t)l li im m)v v(t t0 0 （1）按照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为：T T,0 0t t,g gt t2 21 1s s2 2，按照上面的公式 0 00 0t tt t0 02 20 02 2t tt t0 00 0t tt tg gt t)t t(t t2 2g gl li im mt tt tg gt t2 21 1g

5、gt t2 21 1l li im mt tt ts ss sl li im mv v(t t)0 00 00 0 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。0ttt下页4ppt课件切切线线问问题题 设曲线的方程为)(xf，pL 为过曲线上两点),(000yxP 与 ),(yxP的割线，则pL的斜率为 0 00 0p px xx x)f f(x xf f(x x)k k 如图(d51)当点),(yxP沿着曲线趋近 ),(000yxP时，割线 pL 就趋近于点),(000yxP 处的切线，pk 趋近于切线的斜率 K ，因此切 线的斜率应定义为 0 00 0 x xx xx xx x)f f(x

6、 xf f(x x)l li im mK K0 0 （2）上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容 oxy)(xfyT0 xxNM下页5ppt课件2.切线问题切线问题 割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放下一页上一页6ppt课件割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置返回7ppt课件2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置8ppt课件割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置9ppt课件2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置10ppt课件2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置11ppt课件2.切线

7、问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置12ppt课件二二、导导数数的的定定义义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 00 xxxx)f(xf(x)lim0 （3）定义 1、设函数)(xfy 在点0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 00 0 x xx xx xx x)f f(x xf f(x x)l li im m0 0 存在，则称函数 f 在点0 x 可导，并称该极限为函数 f 在点0 x 处的导数，000 xxxxxx0|dxdf,|d

8、xdy,|y,)(xf 等.若上述极限不存在，则称 f 在点0 x 不可导。下页13ppt课件注：令xxx0，)()(00 xfxxfy，则（3）式可改写为)(x xf fx x)f f(x xx x)f f(x xl li im mx xy yl li im m0 00 00 00 0 x x0 0 x x （4）所以，导数是函数增量y 与自变量增量x 之比xy的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数)(0 xf 则为 f 在0 x 处关于x的变化率，它能够近似描绘函数)(xfy 在点0 x 附近的变化性态。例 1 求函数 2)(xxf 在点1x 处的导数，并求曲

9、线在点（1，1）处的切线方程。解：由定义求得 x x1 1x x)(1 1l li im mx xf f(1 1)x x)f f(1 1l li im m(1 1)f f2 20 0 x x0 0 x x 2 2x x)(2 2l li im mx xx x2 2x xl li im m0 0 x x2 20 0 x x 下页14ppt课件由此知道抛物线 2xy 在点（1，1）处 的切线斜率为 2 2(1 1)f fk k 所以切线方程为 1 1)2 2(x x1 1y y 即 12 xy.例 2 求函数 xy1 在 00 x 处 的导数 解 根据导数的定义 20000 x00000 x000

10、 x0 x1x)(xx1limx)(xxxxxxlimxx1xx1lim)(xf 下页15ppt课件例3 证明函数|x x|f f(x x)在点 0 0 x x0 0 处不可导.证:因为 0 0 x x,1 10 0 x x,1 1x xx x0 0 x xf f(0 0)f f(x x)极限 0 xf(0)f(x)lim0 x 不存在，所以)(xf在0 x 处不可导.例4 证明 函数 0 x,00 x,x1xsinf(x)在0 x 处不可导 证明 由于极限 0 xf(0)f(x)lim0 x，不存在,所以f(x)在0 x处不可导.yo1/1/x1|x|xyo不可导点不可导点不可导点不可导点下

11、页16ppt课件例 5 常量函数 c cf f(x x)在任何一点x x 的导数都等于零，即 0 0(x x)f f 接下来我们来了解一下函数在点0 x 可导与函数 在点0 x 连续的关系，为此先介绍有限增量公式.由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 o o(x x)x x(x xf fy y0 0 我们称这个是式子为有限增量公式。注：此公式对x x=0 仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论：定理 1 若函数)(xf在0 x 处可导，则函数)(xf在 0 x 处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数|xy 在 0 x 处连续，但不可导。例2 证明函数)()(2xDx

12、xf 仅在点 0 x=0 处可导。其中)(xD为狄利克雷函数 o(x)x x(x(xf f0 0下页17ppt课件为无理数x当,0为有理数x当,1D(x)D(x)证：当 x00 时，由归结原理可得 f(x)f(x)在 0 0 x xx x 处不连续，所以,由定理 5.1，x xf(x)f(x)在 00 0 x xx x 处不可导。当 0 0 x x0 0 时，由于D(x)D(x)为有界函数,因此得到.0 0 xD(x)xD(x)limlim0 0 x xf(0)f(0)f(x)f(x)limlim(0)(0)f f0 0 x x0 0 x x 下页18ppt课件（二二）函函数数在在一一点点的的

13、单单侧侧导导数数 类似于函数在一点有左、右极限,对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。定义 2 设函数)(xfy 在点0 x 的某右邻域)x x,(x x0 00 0上有定义，若右极限 x x)f f(x x x x)f f(x xl li im m x x y yl li im m0 00 00 0y y0 0 x x (0 x)或 00 xxxx)f(xf(x)lim0 (00 xxx)存在，则称该极限值为 f 在点 x0 的右导数，记作)(0 xf；类似地，可定义左导数 x x)f f(x x x x)f

14、f(x xl li im m)(x xf f0 00 00 0 x x0 0_ _ 右导数和左导数统称为单侧导数。下页19ppt课件如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：定理5.2 若函数)(xf在点0 x的某邻域内有定义，则)(0 xf 存在的充分必要条件是：)(,)(00 xfxf 都存在，且)(0 xf =)(0 xf。说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。例 1lim0|lim)0(,|)(00 xxxxfxxfxx 1lim0|lim)0(00 xxxxfxx 例 讨论函数 xxxfsgn)(2 在

15、 0 x 的导数。下页20ppt课件xy2xy 0 xy 解 0,0,)(22xxxxxf 00lim)0(20 xxfx 00lim)0(20 xxfx 由定理2，0)0(f 连续函数不存在导数举例 0 x 处是角点，不可导,0,0,)(2xxxxxf下页21ppt课件 0 x 处振荡，左右导数都不存在。,0 x0,0 x,x1xsinf(x)011/1/xy下页22ppt课件（三三）导导函函数数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为 I 上的可导函数。此时对每一个I，都有f的一个导数)(xf（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，

16、称为f在 I 上的导函数，也简称为导数，记作dxdfdxdyyxf,)(等.即 Ix,xf(x)x)f(xlim(x)f0 x.说明：1区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。2在物理学中导数 y也常用牛顿记号 y 表示，而记号 dxdy 是莱布尼茨 首先引用的。目前我们把 dxdy 看作为一个整体，也可把它理解为 dxdy施加于 y 的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种表示导数的形式，。00 xxxx|dxdy或|f 下页23ppt课件例 6 证明：(i)为正整数nnxxnn,)(1;(ii)sinx)(cosx,cosx)(sinx

17、(iii).x1)(lnx特别,)0 x,1a,0a(logx1)x(logeaa 证：（i）对于 y=xn,由于 1nnn2n2n1n1nnnxCxxCxCxxx)(xxy 因此)xcxxcx(climxylimy1nnn2n2n1n1n0 x0 x =1n1n1nnxxc 下页24ppt课件(ii)下面证第一个等式，类似可证第二个等式，由于 x)2xcos(x2x2sinxsinxx)sin(x =,)2xcos(x2x2xsin 因为 cosx 是（-,+）上的连续函数，因此得到)2xcos(xlim2x2xsinlim)(sinx0 x0 x=cosx.(iii)由于)xx(1logx

18、1xxlogx)(xlogaaa=,)xx(1logx1xxa 下页25ppt课件所以 eaxxa0 xxalogx1)xx(1logx1lim)(log.若a=e,且以e 为底的自然地数常写作lnx，则由lne=1 及上式有 x1)(lnx.三、导数的几何意义 我们知道时的极限即正是割线是割线的切线切线在点00 xxk,xxf(x)00 xxxx)f(xf(x)limk0 由导数的定义，)(xfk，所以曲线)(xfy 在点),(00yx的切线方程是)x)(x(xfyy000 （7）下页26ppt课件这就是说：函数f在点x0 的导数)(0 xf 是曲线)(xfy 在点（x0，y0）处的切线斜率

19、，若 表示这条切线与 x 轴正向的夹角，则 )(xf0=tan，从而)(0 xf0 意味着切线与 x 轴正向的夹角 为锐角；)(0 xf=0 表示切线与 x 轴平行。例 7 求曲线 y=x3 在点 P（x0，y0）处的切 线方程与法线方程。解：由于 xy=202033xxxx 2020200 x03x)xx3x(3xlim)(xf 所以根据（7）式，曲线 3xy 在点P 的切线 方程为 )(30200 xxxyy 下页27ppt课件由解析几何知道，若切线斜率为 k，则法线斜率为 k1，从而过点P 的法线方为 )x(x)(xf1yy000 因此曲线 3xy 过点P（00 x）的法线方程为)x(x3x1xy02030 若00 x，则法线方程为0 x。下页28ppt课件四、小结 本节课重点在于“导数”的定义)(0 xf=0000)()(limlimxxxfxfxyxx 1深刻理解导数，左（右）导数的概念（三个阶段）取差 ts ,对整个运动作分割（第一次否定）求平均 ts 以“匀代不匀”；tst0lim 再回到t时刻（第二次否定）2明确导数与单侧导数，可导与连续的关系，导数与导函数的相互联系与区别。3能够从定义出发求某些函数的导数。下页29ppt课件30ppt课件