数的整除课件.ppt

1、数的整除数的整除整除和除尽：整除和除尽：1202=601212=60.5 上面这两个除法算式的共同点是：商到了某一位时，计上面这两个除法算式的共同点是：商到了某一位时，计算就结束了，算就结束了，人们把这种情况叫做人们把这种情况叫做“除尽除尽”了；了；上面这两个除法算式的不同点是：第一个算式的商是整上面这两个除法算式的不同点是：第一个算式的商是整数，第二个算式的商带有小数，数，第二个算式的商带有小数，所以，第一个算式叫做能够所以，第一个算式叫做能够“整除整除”；第二个算式却只能够叫做第二个算式却只能够叫做“除尽除尽”；除此以外还有什么情况的除法呢？除此以外还有什么情况的除法呢？1207=17.1

2、4285714285710017=5.8823529411764上面这两个算式叫做上面这两个算式叫做“除不尽除不尽”。除尽除尽除不尽除不尽整除整除数的整除性的基本性质：数的整除性的基本性质：【要记住要记住】1、如果两个、如果两个【或者多个或者多个】数，都能够被某个数数，都能够被某个数 a 整除，那整除，那么，它们的和或者差，也一定能够被么，它们的和或者差，也一定能够被 a 整除；整除；例如：例如：1004=25644=16(10064)4=41(10064)4=92、如果两个、如果两个【或者多个或者多个】数，其中有一个不能够被某个数数，其中有一个不能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差，

3、也一定不能够被整除，那么，它们的和或者差，也一定不能够被 a 整除；整除；例如：例如：1004=25624=15.5(10062)4=40.5(10064)4=9.53、如果两个、如果两个【或者多个或者多个】数，其中有两个数，其中有两个【或者好几个或者好几个】不不 能够被某个数能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差的整除性，整除，那么，它们的和或者差的整除性，无法确定；无法确定；例如：例如：1024=25.5624=15.51644=41404=10例如：例如：1034=25.75654=16.25(10365)4=42(10365)4=9.54、如果一个数能够被、如果一个数能够被 a

4、整除，那么，这个数与另外一个或整除，那么，这个数与另外一个或者几个数的乘积，也一定能够被者几个数的乘积，也一定能够被 a 整除。整除。例如：例如：1044=26(1043)4=78(10435)4=3905、如果一个数能够被、如果一个数能够被 a 整除，那么，这个数除以另外一个数整除，那么，这个数除以另外一个数 所得的商，不一定能够被所得的商，不一定能够被 a 整除。整除。例如：例如：1004=25(1002)4=12.5(1005)4=5总而言之：加减关系，都能整除，才能整除；总而言之：加减关系，都能整除，才能整除；相乘关系，一个能整除就能整除。相乘关系，一个能整除就能整除。6、如果一个数能

5、够被、如果一个数能够被 a 整除，也能够被整除，也能够被 b 整除，且整除，且 a、b 不不能同时被除能同时被除 1 以外的自然数整除以外的自然数整除【叫做叫做“互素互素”】，那么，那么这个数就能够被这个数就能够被 ab 的积整除。的积整除。例如：例如：24 既能够被既能够被 3 整除，也能够被整除，也能够被 4 整除，且整除，且 3 和和 4 互素，所以它就能够被互素，所以它就能够被 12 整除；整除；24 虽然既能够被虽然既能够被 2 整除，也能够被整除，也能够被 8 整除，但是它不能整除，但是它不能够被够被 16 整除整除【因为因为 2 和和 8 不互素，都能够被不互素，都能够被 2 整

6、除整除】；1、能够被、能够被 2 或者或者 5 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数的个位数是如果一个数的个位数是 0、2、4、6、8 中的一个，中的一个，这个数就能够被这个数就能够被 2 整除。整除。如果一个数的个位数是如果一个数的个位数是 0 或者或者 5，这个数就能够被，这个数就能够被 5 整除。整除。为什么不需要考虑除个位数以外的高位数？为什么不需要考虑除个位数以外的高位数？因为：比如因为：比如 1238=1230+8，因为，因为1230 肯定能够被肯定能够被 2 整除，所以根据前面的性质整除，所以根据前面的性质 1，可知，只要个位数的，可知，只要个位数的 8 能够被能够被 2

7、整除，整除，1238就肯定能够被就肯定能够被 2 整除。整除。因为：比如因为：比如 1238=1230+8，因为，因为1230 肯定能够被肯定能够被 5 整除，所以根据前面的性质整除，所以根据前面的性质 2，可知，只要个位数的，可知，只要个位数的 8 不能够被不能够被 5 整除，整除，1238就肯定不能够被就肯定不能够被 5 整除。整除。2、能够被、能够被 3 或者或者 9 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数的各位数字之和是如果一个数的各位数字之和是 3 的倍数，这个数就能够的倍数，这个数就能够被被 3 整除。整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数可以一直求数字之和，到成为一位数】这

8、是为什么？这是为什么？如果一个数的各位数字之和是如果一个数的各位数字之和是 9 的倍数，这个数就能够的倍数，这个数就能够被被 9 整除。整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数可以一直求数字之和，到成为一位数】原理比较难懂，要注意理解并思考。原理比较难懂，要注意理解并思考。1、各位数字都是、各位数字都是 9 的数，一定能够被的数，一定能够被 3 或者或者 9 整除；整除；2、个位数字是、个位数字是 0 的数，可以进行以下变形：的数，可以进行以下变形：10=(9+1)，70=7(9+1)=79+7 100=(99+1)，500=5(99+1)=599+5 1000=(999+1)，2000=2(

9、999+1)=2999+2 10000=(9999+1)，40000=4(9999+1)=49999+4 现在我们任意写一个数：现在我们任意写一个数：比如：比如：4239=4000+200+30+9 =4(999+1)+2(99+1)+3(9+1)+9 =4999+4+299+2+39+3+9 =4999+299+39+4+2+3+9 一定能够被一定能够被 3 或者或者 9 整除整除如果也能够被如果也能够被 3 或者或者 9 整除整除则：则：就也能够被就也能够被 3 或者或者 9 整除整除如果不能够被如果不能够被 3 或者或者 9 整除整除就不能够被就不能够被 3 或者或者 9 整除整除各位数

10、字之和！各位数字之和！练习：从练习：从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。整除的数，并将这些数从小到大进行排列。要能同时被要能同时被 2、5 整除，个位数只能是整除，个位数只能是 0；个位数是个位数是 0 的三位数可以是：的三位数可以是：250，520，270，720，570，750；其中能被其中能被 3 整除的有：整除的有：从小到大排列：从小到大排列：270，570，720，750；练习：个位数是练习：个位数是 5，且能被，且能被 9 整除的三位数共有多少个？整除的三位数共有多少个？个位数是个位数是 5

11、，且能被，且能被 9 整除，百位和十位的和应该是整除，百位和十位的和应该是 4 或或 13；可以是可以是 405、315、225、135；也可以是也可以是 945、495、855、585、765、675；一共一共 10 个。个。练习：一些四位数，百位上的数字都是练习：一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都，十位上的数字都是是 6，并且它们既能被，并且它们既能被 2 整除又能被整除又能被 3 整除。在这样的四整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？位数中，最大的和最小的各是多少？369936123、能够被、能够被 4 或者或者 25 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数的

12、末两位数如果一个数的末两位数【十位和个位十位和个位】是是 4 的倍数的倍数【包包括括00】，这个数就能够被，这个数就能够被 4 整除。整除。这是为什么？这是为什么？这个比较好懂。这个比较好懂。1、因为、因为 425=100，所以，所以100的倍数一定能够被的倍数一定能够被 4 和和 25 整除；整除；2、所以一个数的百位以上、所以一个数的百位以上【包括百位包括百位】的部分，一定能的部分，一定能 够被够被 4 和和 25 整除；整除；如果一个数的末两位数如果一个数的末两位数【十位和个位十位和个位】是是 25 的倍数的倍数【包括包括00】，这个数就能够被，这个数就能够被 25 整除。整除。3、所以

13、一个数能否被、所以一个数能否被 4 和和 25 整除，就决定于这个数的末整除，就决定于这个数的末 两位能否被两位能否被 4 和和 25 整除；整除；4、能够被、能够被 8 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数的末三位数如果一个数的末三位数【百位、十位和个位百位、十位和个位】是是 8 的倍的倍数数【包括包括000】，这个数就能够被，这个数就能够被 8 整除。整除。这个道理也比较好懂。这个道理也比较好懂。1、因为、因为 8125=1000，所以，所以1000的倍数一定能够被的倍数一定能够被 8 整除；整除；2、所以一个数的千位、所以一个数的千位【包括千位包括千位】以上的部分，一定能够以上的部

14、分，一定能够 被被 8 整除；整除；3、所以一个数能否被、所以一个数能否被 8 整除，就决定于这个数的末三位整除，就决定于这个数的末三位 能否被能否被 8 整除；整除；要考察一个三位数能不能被要考察一个三位数能不能被 8 整除，可以把此数连续用整除，可以把此数连续用 2 除除 3 次，如果能整除次，如果能整除，那么它就能够被，那么它就能够被 8 整除，否则，就整除，否则，就不能被不能被 8 整除。整除。因为：因为：A8A(222)A222 可以先只看个位数；不行再看十位数；再不行，再看百可以先只看个位数；不行再看十位数；再不行，再看百位数。也可以用短除法：位数。也可以用短除法：31221562

15、78239*能够被能够被 8 整除的部分三位数：整除的部分三位数：【供查阅，不需要记住供查阅，不需要记住】813104；814112；815120；816128；817136；818144；819152；820160；821168；822176；823184；824192；825200；826208；827216；828224；829232；830240；831248；832256；833264；834272；835280；836288；837296；838304；839312；840320；841328；842336；843344；844352；845360；846368；847376；84

16、8384；849392；850400；851408；852416；853424；854432；855440；856448；857456；858464；859472；860480；5、能够被、能够被 7 整除的数的特征：整除的数的特征：判断一个数能否被判断一个数能否被 7 整除，可以用整除，可以用“割减法割减法”。下面举例介绍下面举例介绍“割减法割减法”：比如：判断比如：判断 6692 能否被能否被 7 整除。整除。写出这个数：写出这个数：6 6 9 2从个位开始：从个位开始：割掉末位数字割掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一位减去割去数字的去数字的 2 倍：倍：46 6 5再割掉末位数字再割

17、掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一位减去割去数字的去数字的 2 倍：倍：1 05 6到能够看出剩余数字能否被到能够看出剩余数字能否被 7 整除时为止。整除时为止。如果剩余数字能被如果剩余数字能被 7 整除，则原来的数字也能被整除，则原来的数字也能被 7 整除。整除。如果剩余数字不能被如果剩余数字不能被 7 整除，则原来的数字也不能被整除，则原来的数字也不能被 7 整除。整除。练习：判断下列各数能否被练习：判断下列各数能否被 7 整除整除1895845166263213216这又是为什么呢？这又是为什么呢？让我们看一看让我们看一看“割减法割减法”的实质：的实质：6 6 9 246 6 51

18、05 6 6 6 9 24 26 6 5 01 0 5 05 6 0 0=221=237=5021=5037 原来，割掉末位数字，再在它的前一位减去割去数字原来，割掉末位数字，再在它的前一位减去割去数字的的 2 倍，实际上就是从原数中减去了割掉数字的倍，实际上就是从原数中减去了割掉数字的21倍。也倍。也就是说减去的这部分肯定是就是说减去的这部分肯定是 7 的倍数。的倍数。所以剩余部分如果是所以剩余部分如果是 7 的倍数，则原数能够被的倍数，则原数能够被 7 整除。整除。顺便说一句，如果割减以后，剩余部分是顺便说一句，如果割减以后，剩余部分是21的倍数，的倍数，说明原来的数可以被说明原来的数可以

19、被 7 整除，也可以被整除，也可以被 21 整除，当然也可整除，当然也可以被以被 3 整除。整除。6、能够被、能够被 11 整除的数的特征：整除的数的特征：判断一个数能否被判断一个数能否被 11 整除，也可以用整除，也可以用“割减法割减法”。下面举例介绍下面举例介绍“割减法割减法”：比如：判断比如：判断 9416 能否被能否被 11 整除。整除。写出这个数：写出这个数：9 4 1 6从个位开始：从个位开始：割掉末位数字割掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一位减去割去的数字：去的数字：69 3 5再割掉末位数字再割掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一位减去割去的数字：去的数字：58 8到能够

20、看出剩余数字能否被到能够看出剩余数字能否被 11 整除时为止。整除时为止。如果剩余数字能被如果剩余数字能被 11 整除，则原来的数字也能被整除，则原来的数字也能被 11 整除。整除。如果剩余数字不能被如果剩余数字不能被 11 整除，则原来的数字也不能被整除，则原来的数字也不能被 11 整除。整除。可以看出，割减法的实质是减去所割去数字的可以看出，割减法的实质是减去所割去数字的 11 倍，倍，所以有以上结论。所以有以上结论。判断一个数能否被判断一个数能否被 11 整除，还有一种整除，还有一种“奇偶位差法奇偶位差法”：比如：判断比如：判断 9416 能否被能否被 11 整除。整除。写出这个数：写出

21、这个数：9 4 1 6从个位开始，把个位、百位、万位等奇位数字加起来；从个位开始，把个位、百位、万位等奇位数字加起来；1010再把十位、千位、十万位等偶位数字加起来；再把十位、千位、十万位等偶位数字加起来；0再把上面的两个和相减；再把上面的两个和相减；如果差是如果差是 11 的倍数的倍数【包括包括 0】，则原数能够被，则原数能够被 11 整除；整除；练习：判断下列各数能否被练习：判断下列各数能否被 11 整除整除1985849196263313266“奇偶位差法奇偶位差法”的原理比较难懂，试试看吧：的原理比较难懂，试试看吧：1、先看一个事实：、先看一个事实：911 不能整除；不能整除；9911

22、=9 能整除；能整除；99911 不能整除；不能整除；999911=909 能整除；能整除；9999911 不能整除；不能整除；99999911=90909 能整除；能整除；奇数个奇数个911 不能整除；不能整除；偶数个偶数个911 能整除；能整除；2、再看一个事实：、再看一个事实：111 不能整除；不能整除；1111=1 能整除；能整除；10111 不能整除；不能整除；100111=91 能整除；能整除；1000111 不能整除；不能整除；10000111=9091 能整除；能整除；奇数位奇数位11 不能整除；不能整除；偶数位偶数位11 能整除；能整除；看看看看“奇偶位差法奇偶位差法”的巧妙

23、之处：的巧妙之处：比如：判断比如：判断 9416 能否被能否被 11 整除。整除。9416=9000+400+10+6=9(10011)+4(99+1)+1(111)+6=910019+499+4+1111+6=91001+499+111 9+41+6肯定是肯定是 11 的倍数的倍数如果也是如果也是 11 的倍数的倍数则原数肯定是则原数肯定是 11 的倍数。的倍数。练习：用练习：用19九个数码组成能被九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最整除的没有重复数字的最大九位数。大九位数。如果不考虑能够被如果不考虑能够被 11 整除，则最大的没有重复数字的整除，则最大的没有重复数字的九位数是九位数是

24、987654321；这个数的奇偶位差：这个数的奇偶位差：(97531)(8642)5；可见，可见，987654321不能被不能被11整除；整除；为了满足题意，我们尽量调整低位数字，只要使奇数为了满足题意，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加位的数字和增加3(偶数位的数字和自然就减少偶数位的数字和自然就减少3)，就可以，就可以了；了；(97534)(8612)11；答案为：答案为：987652413。7、能够被、能够被 13 整除的数的特征：整除的数的特征：判断一个数能否被判断一个数能否被 13整除，可以用整除，可以用“割加法割加法”。下面举例介绍下面举例介绍“割加法割加法”：比如：判

25、断比如：判断 22971 能否被能否被 13 整除。整除。写出这个数：写出这个数：2 2 9 7 1从个位开始：从个位开始：割掉末位数字割掉末位数字在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的 4 倍：倍：4+2 3 0 1再割掉末位数字再割掉末位数字4+2 3 4在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的 4 倍：倍：再割掉末位数字再割掉末位数字在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的 4 倍：倍：1 6+3 9到能够看出剩余数字能否被到能够看出剩余数字能否被 13 整除时为止。整除时为止。如果剩余数字能被如果剩余数字能被 13 整除，则原来的数字也能被整除，则

26、原来的数字也能被 13 整除。整除。如果剩余数字不能被如果剩余数字不能被 13 整除，则原来的数字也不能被整除，则原来的数字也不能被 13 整除。整除。练习：判断下列各数能否被练习：判断下列各数能否被 13 整除整除76336 11102 11129 54883 这又是为什么呢？让我们仔细观察一下这又是为什么呢？让我们仔细观察一下“割加法割加法”的过程：的过程：写出这个数：写出这个数：2 2 9 7 14+2 3 0 14+2 3 41 6+3 9这一步是从原数中减去这一步是从原数中减去 1；这一步是再加上这一步是再加上 40；总结果是把原数总结果是把原数39，成为，成为23010；这一步是从

27、这一步是从23010中减去中减去 10；这一步是再加上这一步是再加上 400；总结果是把总结果是把23010390，成为，成为23400；这一步是从这一步是从23400中减去中减去 400；这一步是再加上这一步是再加上 16000；总结果是把总结果是把2340015600，成为，成为39000；这些数都能够被这些数都能够被 13 整除：整除：最终和最终和加数加数 1加数加数 2加数加数 3根据数的整除性性质根据数的整除性性质 1 可以推出：如果各个加数与和都能够可以推出：如果各个加数与和都能够被被 13 整除，则被加数就一定能够被整除，则被加数就一定能够被 13 整除；如果和不能被整除；如果和

28、不能被 13 整除，则说明被加数也不能被整除，则说明被加数也不能被 13 整除。整除。所以原数能够被所以原数能够被 13 整除。整除。8、能够被、能够被 17 整除的数的特征：整除的数的特征：判断一个数能否被判断一个数能否被 17 整除，也可以用整除，也可以用“割减法割减法”。下面举例介绍下面举例介绍“割减法割减法”：比如：判断比如：判断6630能否被能否被 17 整除。整除。写出这个数：写出这个数：6 6 3 0从个位开始：从个位开始：割掉末位数字割掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一位减去割去数字的去数字的 5 倍：倍：06 6 3再割掉末位数字再割掉末位数字在它的前一位减去割在它的前一

29、位减去割去数字的去数字的 5 倍：倍：1 55 1到能够看出剩余数字能否被到能够看出剩余数字能否被 17 整除时为止。整除时为止。如果剩余数字能被如果剩余数字能被 17 整除，则原来的数字也能被整除，则原来的数字也能被 17 整除。整除。如果剩余数字不能被如果剩余数字不能被 17 整除，则原来的数字也不能被整除，则原来的数字也不能被 17 整除。整除。为什么？为什么？9、能够被、能够被 19 整除的数的特征：整除的数的特征：判断一个数能否被判断一个数能否被 19整除，可以用整除，可以用“割加法割加法”。下面举例介绍下面举例介绍“割加法割加法”：比如：判断比如：判断 12939 能否被能否被 1

30、9 整除。整除。写出这个数：写出这个数：1 2 9 3 9从个位开始：从个位开始：割掉末位数字割掉末位数字在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的 2 倍：倍：1 8+1 3 1 1再割掉末位数字再割掉末位数字2+1 3 3在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的 2 倍：倍：再割掉末位数字再割掉末位数字在它的前一位加上割在它的前一位加上割去数字的去数字的2倍：倍：6+1 9到能够看出剩余数字能否被到能够看出剩余数字能否被 19 整除时为止。整除时为止。如果剩余数字能被如果剩余数字能被 19 整除，则原来的数字也能被整除，则原来的数字也能被 19 整除。整除。如果剩余数

31、字不能被如果剩余数字不能被 19 整除，则原来的数字也不能被整除，则原来的数字也不能被 19 整除。整除。练习：判断下列各数能否被练习：判断下列各数能否被 19 整除整除16644 12046 12104 11172 为什么？为什么？“割尾法割尾法”判断数的整除性小结判断数的整除性小结 “割尾法割尾法”判断数的整除性，都是利用了数的整除性判断数的整除性，都是利用了数的整除性性性质质 1：“如果两个如果两个【或者多个或者多个】数，都能够被某个数数，都能够被某个数 a 整除整除那么，它们的和或者差，也一定能够被那么，它们的和或者差，也一定能够被 a 整除。整除。”具体方法是把原数加上或者减去一个已

32、知能够被该除数具体方法是把原数加上或者减去一个已知能够被该除数整除的一个数整除的一个数【是该除数的若干倍是该除数的若干倍】，由于过程中尾位的，由于过程中尾位的 0 不写出，所以数字会越来越简单，直到能够看出最后的数字不写出，所以数字会越来越简单，直到能够看出最后的数字能不能被该除数整除为止，得出结论。能不能被该除数整除为止，得出结论。其中，割减法是把该除数扩大若干倍，成为其中，割减法是把该除数扩大若干倍，成为 10a1 的的形式，方法就是去掉末位数，从剩下的数中再减去末位数的形式，方法就是去掉末位数，从剩下的数中再减去末位数的 a 倍倍【简称为割简称为割 1 减减 a】；如果遇到过程中出现减数

33、大于被；如果遇到过程中出现减数大于被减数时，可以倒过来减。也可以得出负数，考虑其绝对值。减数时，可以倒过来减。也可以得出负数，考虑其绝对值。其中，割加法是把该除数扩大若干倍，成为其中，割加法是把该除数扩大若干倍，成为 10a9 的的形式，方法就是去掉末位数，把剩下的数中再加上末位数的形式，方法就是去掉末位数，把剩下的数中再加上末位数的(a1)倍倍【简称为割简称为割 1 加加(a1)】；常用割加、割减法的小结常用割加、割减法的小结、7：割割 1 减减 2；【7321201】割割 1 加加 5；【7749501】、11：割：割 1 减减 1；【11111101】割割 1 加加 10；【119991

34、001】、13：割：割 1 加加 4；【13339401】割割 1 减减 5；【13751 501】、17：割：割 1 减减 5；【17351501】割割 1 加加 12；【1771191201】、19：割：割 1 加加 2；【19119201】割割 1 减减 17；【1991711701】割减是把除数扩大若干倍，变为割减是把除数扩大若干倍，变为几几十十 1，就减去，就减去几几；割加是把除数扩大若干倍，变为割加是把除数扩大若干倍，变为几几十十 9，就加上，就加上几几1；10、能够被、能够被 6 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数既能被如果一个数既能被2整除，又能被整除，又能被3整除，它

35、就能够被整除，它就能够被6整除。整除。11、能够被、能够被 15 整除的数的特征：整除的数的特征：如果一个数既能被如果一个数既能被3整除，又能被整除，又能被5整除，它就能够被整除，它就能够被15整除。整除。用上面的方法来判断：如果一个数既能被用上面的方法来判断：如果一个数既能被a整除，又能被整除，又能被b整整除，它就能够被除，它就能够被ab整除整除 的适用条件是的适用条件是a和和b必须是互素数必须是互素数。如。如 36 既能被既能被2整除，又能被整除，又能被4整除，但是它不能够被整除，但是它不能够被8整除。如整除。如 63 既能被既能被3整除，又能被整除，又能被7整除，它能就够被整除，它能就够

36、被21整除。整除。练习：练习：1、已知有一个五位数、已知有一个五位数 2x36y,能够被能够被 45 整除，这个数可能是整除，这个数可能是多少？多少？2、已知有一个七位数、已知有一个七位数 62xy427,能够被能够被 99 整除，这个数可能整除，这个数可能是多少？是多少？既能够被既能够被 5 整除整除又能够被又能够被 9 整除整除y=0或者或者52x360 或者或者 2x365x=7或者或者227360 或者或者 22365既能够被既能够被 11 整除整除又能够被又能够被 9 整除整除x+y=6或者或者156224427(7+4+x+6)(2+y+2)=0或者或者11y x=2无解无解x=2，y=4x、y 只能是一位数只能是一位数3、在、在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。整除。2321既能够被既能够被 8 整除整除又能够被又能够被 9 整除整除829232；81