新课标人教A版选修11课件34生活中的优化问题举例.ppt

1、3.4 3.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例石碣中学石碣中学 郑其新郑其新2008年1月7日星期一 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等问题，这些问题等问题，这些问题通常称为通常称为优化问题优化问题，通过前面的学习，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。一些生活中的优化问题。问题问题1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计cmx128128)2128)(4()(xxxs 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报

2、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各上下边各空空2cm,左右空左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？能使四周空白面积最小？解：设版心的高为解：设版心的高为xcm,则宽为则宽为此时四周空白面积为此时四周空白面积为0,85122 xxx 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要

3、求版心面积为要求版心面积为128cm2,上下边各空上下边各空2cm,左右空左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？小？,128cmx128)2128)(4()(xxxs解：设版心的高为解：设版心的高为xcm,则宽为则宽为此时四周空白面积为：此时四周空白面积为：0,85122 xxx求导数，有求导数，有,5122)(2xxS ,05122)(2 xxs令令解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）816128128 x于是宽为于是宽为;0)(,)16,0(xsx时时当当;0)(,),16(xsx时时当当因此，因此，x=16是函数是函数

4、s(x)的极小值点，也的极小值点，也是最小值点。是最小值点。所以，当版心高为所以，当版心高为16cm,宽宽为为8cm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16cm,宽为宽为8cm时，海报时，海报四周空白面积最小。四周空白面积最小。练习练习1、一条长为、一条长为l的铁丝截成两段，分别的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为x,l

5、-x,其中0 x2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递单调递增，即半径越大，利润越高；增，即半径越大，利润越高；当当r2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递减，单调递减，即半径越大，利润越低。即半径越大，利润越低。（1）半径为）半径为2时，利润最小。这时时，利润最小。这时f(2)0,表示表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；利润是负值；（2）半径为）半径为6时，利润最大。时，利润最大。练习练习2、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做去相等的正方形，再

6、把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱子容积最大？最大容积是多少？60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm

7、时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义hr练习练习3、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底

8、面半径，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2(VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?

9、例2 磁盘的最大存储量问题:解解:存储量存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数.设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与R之间之间,由于磁道之间的宽由于磁道之间的宽度必须大于度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到特数可达到 ,nr 2nrmrRrf 2)(所以，磁道总存储量为：所以，磁道总存储量为：)(2rRrmn

10、 (1)它是一个关于它是一个关于r的二次函数，从函数的解的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越小，磁盘的存储量越大。越大。解：存储量=磁道数每磁道的比特数)(22)(rRrmnnrmrRrf(2)为求f(r)的最大值，先计算0)(rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRrrfRr时当时当0)(rf令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr 解得解得如何解决优化问题?优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题问题4:无盖方盒的最大容积问

11、题 一边长为一边长为a的正方形铁片的正方形铁片,铁片的四铁片的四角截去四个边长都是角截去四个边长都是x的小正方形的小正方形,然然后做成一个无盖方盒后做成一个无盖方盒,x 多大时多大时,方盒的方盒的容积容积V最大最大?作业:P114 4、7。问题1:汽油的使用效率何时最高?我们知道我们知道,汽油的消耗量汽油的消耗量w(单位单位:L)与汽车的与汽车的速度速度v(单位单位:km/h)之间有一定的关系之间有一定的关系,汽油汽油的消耗量的消耗量w是汽车的速度是汽车的速度v的函数的函数.根据生活根据生活经验经验,思考下列两个问题思考下列两个问题:(1)是不是汽车的速度越快是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大汽油的消耗量越大?(2)“汽油的使用效率最高汽油的使用效率最高”的含义是什么的含义是什么?汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行使路程s,即:G=w/s 求G的最小值问题.