北师大版必修五数学课件：3.4简单线性规划的应用-课件.ppt

1、 解线性规划应用问题的一般步骤解线性规划应用问题的一般步骤： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整） 1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格： 5)还原成实际问题还原成实际问题 ( (准确作图，准确计算准确作图，准确计算) 画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确； 法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利

2、用平移的：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法法2 2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。 应用应用1 1有关二元一次代数式取值范围有关二元一次代数式取值范围 解：由解：由、同向相加可得：、同向相加可得

3、： 531026xx即 求求2x+y的取值范围。的取值范围。 例例1.若实数若实数x,y满足满足 42 64 yx yx 由由得得 24xy 将上式与将上式与同向相加得同向相加得 20 y + +得得 1226yx 以上解法正确吗？为什么？以上解法正确吗？为什么？ 首先：我们画出首先：我们画出 42 64 yx yx 表示的平面区域表示的平面区域 当当x=3,y=0时时,得出得出2x+y的的 最小值为最小值为6,但此时但此时x+y=3,点点 (3,0)不在不等式组的所表不在不等式组的所表 示的平面区域内示的平面区域内,所以上述所以上述 解答明显错了解答明显错了 1 2 3 4 5 6 7 x

4、6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 -2 y -2 -3 -4 2 yx 4 yx 6 yx A D C B 4 yx 42 64 yx yx 但不等式但不等式 与不等式与不等式 20 53 y x 所表示的平面区域却不同？所表示的平面区域却不同？ （扩大了许多！）（扩大了许多！） 从图中我们可以看出从图中我们可以看出 35 02 x y 没错没错 解得解得 通过分析，我们知道上述解法中，通过分析，我们知道上述解法中， 是对的，但用是对的，但用x的最大的最大(小小)值及值及y的最大的最大(小小)值来值来 确定确定2x+y的最大的最大(小小)值却是不合理的。值却是不合理的。 2y01026及

5、x 怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就 是我们今天要学习的线性规划问题。是我们今天要学习的线性规划问题。 求求2x+y的取值范围。的取值范围。 例例1.若实数若实数x,y满足满足 42 64 yx yx y 1 2 3 4 5 6 7 x 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 -2 -2 -3 -4 2 yx 4 yx 4 yx A D C B 我们设我们设我们设我们设z=2x+y方程变形为方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为等式表示斜率为-2, 纵截距为纵截距为z的直线的直线,把把z看成参数看成参数,方程表示的是一组平行线方程表示的是一组平行线

6、 要求要求z的范围，现在就的范围，现在就 转化为求转化为求这一组平行线这一组平行线 中中,与阴影区域有交点与阴影区域有交点, 且在且在y轴上的截距达到轴上的截距达到 最大和最小的直线最大和最小的直线. 6 yx 2 l 0 l 1 l l 由图，我们不难看出，这由图，我们不难看出，这 种直线的纵截距的最小值为种直线的纵截距的最小值为 过过A(3,1)的直线，纵截距最的直线，纵截距最 大为过大为过C(5,1)的直线。的直线。 所以所以 11152 max z 7132 min z 过过A(3,1)时，因为时，因为z=2x+y，所，所 以以 7132z 同理，过同理，过B(5,1)时，因为时，因为

7、 z=2x+y，所以，所以 11152z y 1 2 3 4 5 6 7 x 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 -2 4 yx -2 -3 -4 2 yx 4 yx 6 yx A D C B 0 l 1 l 2 l 解：作线形约束条件所表解：作线形约束条件所表 示的平面区域，即如图所示的平面区域，即如图所 示四边形示四边形ABCD。 作直线 ，：02 0 yxl 所以， 11152 7132 max min z z 求得求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2) 可使 达到最小值， 将直线 0 l 平移，平移到过A点 0 l 1 l的平行线 与 yxz 2 重合时， 达

8、到最大值。 可使 yxz 2 当 0 l平移过C点时，与 0 l 2 l的平行线 重合时， 例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围 42 64 yx yx 解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y m+n=2，m-n=1 m=3/2 ，n=1/2 2x+y=3/2(x+y)+ 1/2 (x-y) 4x+y6，2x-y4 72x+y11 例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围 42 64 yx yx 例例1:某工厂生产甲某工厂生产甲、乙两种产品乙两种产品.已知生产已知生产甲甲种产品种

9、产品1t需消需消 耗耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤煤4t；生产；生产乙乙种产品种产品1吨需消吨需消 耗耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤煤9t.每每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600 元元,每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是1000元元.工厂在生产这两种产品的工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗计划中要求消耗A种矿石不超过种矿石不超过300t、消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过 200t、消耗煤不超过消耗煤不超过360t.甲甲、乙两种产品应各生产多少乙两种产品应各生产多少(精精 确到确到0.1t),能使利润总额达到最大能使利润总额达到最大? 甲产品甲产

10、品 （1t） 乙产品乙产品 （1t） 资源限额资源限额 （t） A种矿石（种矿石（t） B种矿石（种矿石（t） 煤（煤（t） 利润（元）利润（元） 产品产品 消耗量消耗量 资源资源 列表列表： 5 10 4 600 4 4 9 1000 300 200 360 设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元 应用应用2有关利润最高、效益最大等问题有关利润最高、效益最大等问题 例题分析例题分析 甲产品甲产品 （1t） 乙产品乙产品 （1t） 资源限额资源限额 （t） A种矿石（种矿石（t） B种矿石（种矿石（t） 煤（煤（t） 利润（元）利润（元）

11、 产品产品 消耗量消耗量 资源资源 列表列表： 5 10 4 600 4 4 9 1000 300 200 360 把题中限制条件进行把题中限制条件进行转化：转化： 约束条件约束条件 10x+4y300 5x+4y200 4x+9y360 x0 y 0 z=600x+1000y. 目标函数：目标函数： 设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元 xt yt 例题分析 解解:设生产甲设生产甲、乙两种产品乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z=600x+1000y. 元元, 那么那么 10x+4y300 5x+4y200 4

12、x+9y360 x0 y 0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域作出以上不等式组所表示的可行域 作出一组平行直线作出一组平行直线 600x+1000y=t， 解得交点解得交点M的坐标为的坐标为(12.4,34.4) 5x+4y=200 4x+9y=360 由由 10x+4y=300 5x+4y=200 4x+9y=360 600x+1000y=0 M 答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨吨，乙产品乙产品34.4吨吨，能使利润总额达到最大能使利润总额达到最大。 (12.4,34.4) 经过可行域上的点经过可行域上的点M时时,目标函数目标函数 在在y轴上截距最大轴上

13、截距最大. 90 30 0 x y 10 20 10 75 40 50 40 此时此时z=600x+1000y取得最大值取得最大值. 【例例3 3】营养学家指出营养学家指出, ,成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物, ,0.06kg0.06kg的蛋白质的蛋白质, ,0.06kg0.06kg的脂肪的脂肪. .1kg1kg食食 物物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物, ,0.07kg0.07kg蛋白质蛋白质, ,0.14kg0.14kg脂肪脂肪, ,花费花费 2828元元; ;而而1kg1kg

14、食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物, ,0.14kg0.14kg蛋白蛋白 质质, ,0.07kg0.07kg脂肪脂肪, ,花费花费2121元元. .为了满足营养专家指出的日常饮食为了满足营养专家指出的日常饮食 要求要求, ,同时使花费最低同时使花费最低, ,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg？ 应用应用3有关成本最低、运费最少等问题有关成本最低、运费最少等问题 14 , 77 xy min 282116zxy 得点得点M的坐标为的坐标为 答：每天需要同时食用食物答：每天需要同时食用食物A约约0.143 kg， 食物食物B

15、约约0.571 kg，能够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求， 且花费最低且花费最低16元元. . 幻灯片幻灯片13 幻灯片幻灯片14 解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A, ykg食物食物B,总花费为总花费为z元元, , 则目标函数为则目标函数为z=28x+21y且且x、y满足约束条件满足约束条件 , ,整理为整理为 作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域， 如右图所示如右图所示 0 :28210lxy 0 l 目标函数可变形为目标函数可变形为 如图，作直线如图，作直线 , ,当直线当直线 平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在 y 21 z z 点点M处达到处

16、达到 轴上截距轴上截距 的最小值，即此时的最小值，即此时 有最小值有最小值. .解方程组解方程组 775 1476 xy xy ， 0 0y y0,0,x x 0.060.060.07y0.07y0.14x0.14x 0.060.060.14y0.14y0.07x0.07x 0.0750.0750.105y0.105y0.105x0.105x 0 0y y0,0,x x 6 67y7y14x14x 6 614y14y7x7x 5 57y7y7x7x 2121 z z x x 3 3 4 4 y y 返回幻灯片返回幻灯片12 线性规划的应用练习：线性规划的应用练习： 1、已知：、已知：-1a+b

17、1，1a-2b3，求，求a+3b的取的取 值范围。值范围。 解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)b m+n=1，m-2n=3 m=5/3 ，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b) -1a+b1，1a-2 b3 -11/3a+3 b1 解法2：-1a+b1，1a-2 b3 -22a+2 b2， -32 b-a-1 -1/3a5/3 -4/3b0 -13/3a+3 b5/3 已知：已知：-1a+b1，1a-2b3，求，求a+3b的取值的取值 范围。范围。 32 12 1 1 ba ba ba ba 解法2 约束条

18、件为： 目标函数为：z=a+3b a b C B A O P D 由图形知：-11/3z1 即 -11/3a+3 b1 x y 0 2x+y-600=0 300 600 x+2y-900=0 A(100,400) 2.某家具厂有方木材某家具厂有方木材90m3，木工板木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售准备加工成书桌和书橱出售，已已 知生产每张书桌需要方木料知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板木工板2m3；生产每个书橱需要方木料；生产每个书橱需要方木料 0.2m3，木工板木工板1m3，出售一张书桌可以获利出售一张书桌可以获利80元元，出售一张书橱可以获利出售一张书橱可以获利 120元

19、；元； （1）怎样安排生产可以获利最大怎样安排生产可以获利最大？ （2）若只生产书桌可以获利多少若只生产书桌可以获利多少？ （3）若只生产书橱可以获利多少若只生产书橱可以获利多少？ （1）设生产书桌设生产书桌x张张，书橱书橱y张张，利利 润为润为z元元， 则约束条件为则约束条件为 0 0. .1 1x+x+0 0. .2 2yy9090 2 2x+yx+y600600 x x，yNyN* * Z=Z=8080x+x+120120y y 作出不等式表示的平面区域作出不等式表示的平面区域， 当生产当生产100张书桌张书桌，400张书橱时利润最大为张书橱时利润最大为 z=80100+120400=5

20、6000元元 （2）若只生产书桌可以生产若只生产书桌可以生产300张张，用完木工板用完木工板，可获利可获利 24000元；元； （3）若只生产书橱可以生产若只生产书橱可以生产450张张，用完方木料用完方木料，可获利可获利54000元元。 将直线将直线z=80x+120y平移可知：平移可知： 900 450 求解：求解： 产品产品 资源资源 甲种棉纱甲种棉纱 （吨）（吨）x 乙种棉纱乙种棉纱 （吨）（吨）y 资源限额资源限额 （吨）（吨） 一级子棉（吨）一级子棉（吨） 2 1 300 二级子棉（吨）二级子棉（吨） 1 2 250 利润（元）利润（元） 600 900 3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉

21、纱，已知生产甲种棉某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉 纱纱1吨需耗一级子棉吨需耗一级子棉2吨、二级子棉吨、二级子棉1吨；生产乙吨；生产乙 种棉纱需耗一级子棉种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉吨、二级子棉2吨，每吨，每1吨吨 甲种棉纱的利润是甲种棉纱的利润是600元，每元，每1吨乙种棉纱的利润吨乙种棉纱的利润 是是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过吨、二级子棉不超过250 吨吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨精确到吨)，能，能 使利润总额最大使利润总额最

22、大? 解：设生产甲、乙两种解：设生产甲、乙两种 棉纱分别为棉纱分别为x吨、吨、y吨，吨， 利润总额为利润总额为z元，则元，则 0 0 2502 3002 y x yx yx Z=600x+900y 作出可行域，可知直作出可行域，可知直 线线Z=600x+900y通过通过 点点M时利润最大。时利润最大。 解方程组解方程组 2502 3002 yx yx 得点得点M的坐标的坐标 x=350/3117 y=200/367 答：应生产甲、答：应生产甲、 乙两种棉纱分别乙两种棉纱分别 为为117吨、吨、67吨，吨， 能使利润总额达能使利润总额达 到最大。到最大。 x+2y=250 M( 350 3 ,

23、200 3 ) 125 150250 300 2x+y=300 x O y 4、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡 4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g已知已知 每天原料的使用限额为奶粉每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡，咖啡2000g 糖糖3000g, 如果甲种饮料每杯能获利如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，元， 每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两 种饮料各多少

24、杯能获利最大种饮料各多少杯能获利最大？ 解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表： 消耗量消耗量 资源资源 甲产品甲产品 （1 杯）杯） 乙产品乙产品(1 杯杯) 资源限额（资源限额（g） 奶粉（奶粉（g g） 9 9 4 4 36003600 咖啡咖啡(g)(g) 4 4 5 5 20002000 糖糖(g)(g) 3 3 1010 30003000 利润（元）利润（元） 0.70.7 1.21.2 产品产品 设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯杯，乙种饮料乙种饮料y y杯杯，则则 0 0 3000103 200054 360049 y x yx yx yx 作出可行域：作

25、出可行域： 目标函数为：目标函数为：z z = =0 0. .7 7x x + +1 1. .2 2y y 作直线作直线l l: :0 0. .7 7x+x+1 1. .2 2y=y=0 0， 把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l l1 1的位置的位置 时时， 直线经过可行域上的点直线经过可行域上的点C C，且与原且与原 点距离最大点距离最大， 此时此时z z = =0 0. .7 7x x + +1 1. .2 2y y取最大值取最大值 解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为的坐标为（200200，240240） ,3000103 ,200054 yx yx _ 0 _ 9 x

26、 + 4 y = 3600 _ C ( 200 , 240 ) _ 4 x + 5 y = 2000 _ 3 x + 10 y = 3000 _ 7 x + 12 y = 0 _ 400 _ 400 _ 300 _ 500 _ 1000 _ 900 _ 0 _ x _ y 煤矿煤矿 车站车站 甲煤矿甲煤矿 （元（元/吨）吨） 乙煤矿乙煤矿 （元（元/吨）吨） 运量运量 （万吨）（万吨） 东车站东车站 1 0.8 280 西车站西车站 1.5 1.6 360 产量（万吨）产量（万吨） 200 300 例例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和万吨和300

27、万万 吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每东车站每 年最多能运年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，万吨煤， 甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元元/吨和吨和 1.5元元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8元元/吨和吨和1.6元元/吨吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运煤矿应怎样编制调运方案，能使总运 费最少费最少? 应用应用3有关成本最低、运费最少等问题有关成本最低、运费最少等问题 36

28、0)300()200( 280 0 0 yx yx y x 解：设甲煤矿运往东车站解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车万吨，乙煤矿运往东车 站站y万吨，则约束条件为：万吨，则约束条件为： 目标函数为目标函数为: z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y) =780-0.5x-0.8y (万元万元) 答案：当答案：当 x=0,y=280时，即时，即甲煤矿运往东车站甲煤矿运往东车站0 吨，西车站吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站吨；乙煤矿运往东车站280吨，西吨，西 车站车站20吨吨.总运费最少总运费最少 556万元。万元。 x y z=780-0.5xP-0.8yP = 556.00 P: (0.00， 280.00) 280 140 280 140 煤矿调运问题 O P 复习回顾：复习回顾： 二元一次不等式二元一次不等式 表示平面区域表示平面区域 直线定界，直线定界， 特殊点定域特殊点定域 简单的线性规划简单的线性规划 约束条件约束条件 目标函数目标函数 可行解可行解 可行域可行域 最优解最优解 应 用 应 用 求解方法：画、求解方法：画、 移、求、答移、求、答