北师大版必修五数学课件：1.4.数列在日常经济生活中的应用.ppt

1、数数 列列 第一章第一章 4 数列在日常经济生活中的应用数列在日常经济生活中的应用 第一章第一章 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 5 课前自主预习课前自主预习 1 易混易错点睛易混易错点睛 3 本节思维导图本节思维导图 4 课前自主预习课前自主预习 一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇美国老太 太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还 清了银行的住房贷款而中国老太太却叹息地说，她三代同堂 一辈子，昨天刚把买房的钱攒足我国现代都市人的消费观念 正在变迁花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购 物，分期付款已深入我们生活但是面对商家和银行提供的各 种分期

2、付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ 1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本 金 所 产 生 的 利 息 _ ， 其 公 式 为 利 息 _.若以P代表本金，n代表存期，r代表利率， S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有_ (2)复利：把上期末的本利和作为下一期的_，在计 算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式是 _ 不再计算利息 本金利率存期 SP(1nr) 本金 SP(1r)n 2(1)数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比 数列例如银行中的利息计算，计算单利时用_数列， 计算复利时用_数列，分期付款要综合运用_、 _数列的知识 (2)解决数列应用题的基

3、本步骤为：仔细阅读题目，认真 审题，将实际问题转化为_；挖掘题目的条件，分析 该数列是_数列，还是_数列，分清所求的是 _的问题，还是_问题检验结果，写出答案 等差 等比 等差 等比 数列模型 等差 等比 项 求和 1.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为 p%， q%，则这两年的平均增长率是( ) Ap%q% 2 Bp% q% C 1p%1q% D 1p%1q%1 答案 D 解析 设该工厂最初的产值为 1， 经过两年的平均增长率 为 r，则(1p%)(1q%)(1r)2. 于是 r 1p%1q%1. 2预测人口的变化趋势有多种方法“直接推算法”使 用的公式是pnp0(1k)n(k1)，

4、其中pn为预测期人口数，p0 为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年 数如果在某一时期有1An. 则至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超 过不进行技术改造的累计纯利润. 等比数列模型应用问题 某国采用养老储备金制度 公民在就业的第一年 就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一 年增加 d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，是 一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政 策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定 年利率为 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金 就变为 a1(1r)n 1，

5、 第二年所交纳的储备就变为 a 2(1r) n2， ， 以 Tn表示到第 n 年末所累计的储备金总额 (1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式； (2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是 一个等差数列 分析 本题第一问的结果是一个递推关系式，因此该问 题可以归结为递推模型，利用递推公式解决第(2)问将更加明 朗 解析 (1)由题意，得TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，对 n2 反复使用上递推关系，得 TnTn1(1r)an Tn2(1r)2an1(1r)an a1(1r)n 1a 2(1r) n2a n1(1r)an， 在式两端同乘 1r，得 (1r)Tna1(

6、1r)na2(1r)n 1a n1(1r) 2a n(1 r)， 由，得 rTna1(1r)nd(1r)n 1(1r)n2(1r)a n d r(1r) n1ra 1(1r) na n， 即 Tna 1rd r2 (1r)nd rn a1rd r2 . 如果记 Ana 1rd r2 (1r)n，Bna 1rd r2 d rn， 那么，TnAnBn. 其中，An是以a 1rd r2 (1r)为首项，以 1r(r0)为公比的 等比数列；Bn是以a 1rd r2 d r 为首项，d r为公差的等差数 列 方法总结 1.实际生活中，工厂效益的增长率、银行的利 息计算等这类变化量重复增减且与正整数有关的

7、实际问题都可 建立等比数列模型求解解决这类问题首先要知道(求出)数列 的公比及数列的某一项(或两项)，然后利用等比数列的通项公 式 ana1qn 1a mq nm，前 n 项和公式 S na 1anq 1q a 11q n 1q (n N，mN)求解 2此类问题常涉及如下的公式： (1)复利公式 一种按复利计算的储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，存 期为 x，则本利和为 ya(1r)x. (2)产值模型 原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，对于时间 x 的 总产值 yN(1p)x. (1)2012 年初我国工农业总产值为 a 千亿元， 要实现到 2032 年底工农业总产值翻两番的战略

8、目标，年平均增长率至少应达 到( ) A4 1 201 B2 1 201 C4 1 211 D2 1 211 (2)水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题全国9 100万亩(1亩667m2)的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占 70%，国家确定2006年西部地区退耕土地面积515万亩，以后每 年退耕土地面积递增12%，那么从2006年起到2011年底，西部 地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到1万亩)? 解析 (1)A 已知 2012 年我国工农业总产值为 a，设平 均年增长率为 q，则自 2012 年起，每年的工农业总产值成等比 数列由题意 a214a，即 4aa(1q)20，解得 q4

9、 1 201. (2)解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百 分比相同， 从 2006 年起， 每年退耕还林的面积组成一个等比 数列an， a1515，q112%1.12，n6， S651511.12 6 11.12 4 179(万亩) 答：从 2006 年起到 2011 年底，西部地区退耕还林的面积 共有 4 179 万亩. 递推数列模型的应用问题 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定 每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积 为 b(单位：m2)的旧住房 (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积

10、的表达 式； (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房 面积增加了 30%， 则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？(计算时 取 1.151.6) 解析 (1)第 1 年末的住房面积 a 11 10b1.1ab(m 2) 第 2 年末的住房面积(a 11 10b) 11 10ba( 11 10) 2b(111 10) 1.21a2.1b(m2) (2)第 3 年末的住房面积 a11 10 2b111 10 11 10b a 11 10 3b 111 10 11 10 2 (m2) 第 4 年末的住房面积为： a(11 10) 4b 111 10 11 10 211 10 3 .(m2

11、) 第 5 年末的住房面积为： a (11 10) 5b 111 10 11 10 211 10 3 11 10 4 1.15a11.1 5 11.1 b1.6a6b(m2) 依题意可得，1.6a6b1.3a，解得 b a 20，所以每年拆除 的旧房面积为 a 20(m 2) 点评 已知前后两次或几次关系的正整数实际应用问 题，可以建立递推数列模型，然后转化为等差数列或等比数列 求解 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每周星期一有 A，B 两种菜谱可供选择(每人选择一种)，调查资料表明，凡是在星 期一选 A 菜谱的，下周星期一会有 20%的人改选 B 菜谱而选 B 菜谱的人，下周星期一会

12、有 30%的人改选 A 菜谱则不论原 来选 A 菜谱的人数有多少，随着时间的推移，选 A 菜谱的人数 是否能稳定下来？请说明你的理由 解析 设 An和 Bn分别表示第 n 周星期一选 A 菜谱和 B 菜谱的人数，且 A1a，则 AnBn1000，且 An14 5An 3 10Bn 4 5An 3 10(1000An) 1 2An300， An16001 2An300 1 2(An600) An600是一个等比数列，且公比为1 2，首项为 a600. An600(a600)(1 2) n1. 0a1000，600a600400， |a600|600. 又函数 f(n)|a600|(1 2) n1

13、 递减， 且 f(12)|a600| 211 600 211 75 256 1 2. 当 n12 时，|a600|(1 2) n11 2，而 AnN *， 第 12 周后选 A 菜谱的人数将稳定在 600 人 易混易错点睛易混易错点睛 某工厂去年的产值为 138 万元， 预计今后五年的 每年比上一年产值增长 10%，从今年起计算，第 5 年这个工厂 的产值是多少元？(精确到万元) 误解 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列 an 其中 a1138，q110%1.1，n5. a5a1q41381.14202(万元) 辨析 138万元是去年的产值，从今年算起，则a1 1381.1，由于首项弄错而造成错误 正解 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列 an其中a11381.1， a5a1q41381.11.14 1381.15222(万元) 本节思维导图本节思维导图 数列在日常经济 生活中的应用 等差数列模型 等比数列模型 递推数列模型