人教B版高中选修2-2数学课件：2.3.1+2数学归纳法、应用.ppt

1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 23 数学归纳法 23.1 数学归纳法 23.2 数学归纳法应用举例 三维目标 1知识与技能 (1)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数 有关的数学命题； (2)进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程，体会 类比的数学思想 2过程与方法 (1)通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法； (2)努力创设积极思

2、考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课 堂效率 3情感、态度与价值观 通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨 的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯 重点难点 重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌 握 难点：数学归纳法中递推思想的理解 【问题导思】 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如 果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒 下 1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 【提示】 (1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆 倒下一定导致后一辆倒下 2利用这种思想方法能解决哪类数学

3、问题？ 【提示】 一些与正整数n有关的问题 数学归纳法的定义 一个与 相关的命题，如果 (1) ； (2)在假设当 时命题也成立的前提下，推 出当nk1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值 后面的所有正整数成立 自然数自然数 当当n取第一个值取第一个值n0时命题成立时命题成立 nk(kN 且 且kn0) 数学归纳法证明步骤的框图展示 (1)用数学归纳法证明(n1)(n2) (nn)2n 13(2n 1)(nN)，“从k到k1”左端增加的代数式为( ) A2k1 B2(2k1) C.2k 1 k1 【思路探究】 (1)写出nk与nk1时左端的式子，比较两式可 求(2)验证n1时等式

4、成立，证明当nk成立时，nk1等式也成 立 D.2k 3 k1 (2)用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：135(2n3)(2n 1)(2n3)5312n22n1(nN ) 【答案】 B (2)当n1时，左边1，右边1，等式成立 假设当nk(kN)时等式成立 【自主解答】【自主解答】 (1)令令 f(n)(n1)(n2)(nn)， 则则 f(k)(k1)(k2)(kk)， f(k1)(k2)(k3)(k k)(2k1)(2k2)， f（ （k1） f（k） （ （2k1）（）（2k2） k1 2(2k1)， 故选， 故选 B. 即135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k 1. 则当

5、nk1时，左边135(2k3)(2k1)(2k1) (2k1)(2k3)5312k22k1(2k1)(2k1)2k2 2k12(k1)22(k1)1. 当nk1时，等式成立 由和知，等式对任何nN都成立 数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础： 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键： 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确 分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk 到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项 (3)利用假设是核心： 在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳 假设“nk

6、时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1) 时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是 数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成立 【证明】 (1)n1时，左边112，右边21(211)2， 等式成立 (2)假设nk时，等式成立 即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1) 2k13(2k1)(2k1)2 2k113(2k1)2(k1)1， 即nk1时等式成立 由(1)和(2)可知，对所有nN等式成立. 当当 nk1 时时 (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) （k1）（）（k2）

7、（）（k3）（kk）（）（2k1）（）（2k2） k1 【思路探究】 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构 特征，在第二步证明当nk1时如何进行不等式的变换是关键 【自主解答】 (1)当n1时，左边1，右边2.左边g(k 1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合 法)具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结 论 用数学归纳法证明：对一切大于用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数的自然数 n，不，不 等式等式 11 3 11 5 1 1 2n1 2n1 2 成立成立 【证明】【证

8、明】 (1)当当 n2 时， 左边时， 左边11 3 4 3， 右边 ， 右边 5 2 ， 4 3 2 16 9 5 4 5 2 2， ， 左边左边右边，原不等式成立右边，原不等式成立 (2)假设当假设当 nk(k2 且且 kN )时不等式成立，即时不等式成立，即 11 3 11 5 1 1 2k1 2k1 2 ， 则当则当 nk1 时，左边时，左边 11 3 11 5 1 1 2k1 1 1 2（k1）1 2k1 2 2k2 2k1 2k2 2 2k1 4k28k4 2 2k1 4k28k3 2 2k1 2k3 2k1 2 2k1 2（k1）1 2 ， 所以，当nk1时不等式也成立 由(1)

9、和(2)可知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立. 【思路探究】 (1)令n2，3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值， 找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明 已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， 其中， 其中 an Sn n（2n1） 且且 a11 3. (1)求求 a2，a3； (2)猜想数列猜想数列an的通项公式，并证明的通项公式，并证明 【自主解答】【自主解答】 (1)a2 S2 2（221） a 1 a2 6 ， a11 3， ， 则则 a2 1 15，类似地求得 ，类似地求得 a3 1 35. (2)由由 a1 1 13， ，a2 1 35， ，

10、a3 1 57 猜得：猜得： an 1 （2n1）（）（2n1）. 证明：证明：当当 n1 时，由时，由(1)可知可知等式成立；等式成立； 假 设 当假 设 当n k时 猜 想 成 立 ， 即时 猜 想 成 立 ， 即ak 1 （2k1）（）（2k1），那么，当 ，那么，当 nk1 时，由题设时，由题设 an Sn n（2n1） 得得 ak Sk k（2k1）， ，ak 1 Sk 1 （k1）（）（2k1）， ， 所以所以 Skk(2k1)ak k(2k1) 1 （2k1）（）（2k1） k 2k1， ， Sk 1(k1)(2k1)ak1， ak 1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1 k 2k

11、1. 因此，因此，k(2k3)ak 1 k 2k1， ， 所以所以 ak 1 1 （2k1）（）（2k3） 1 2（k1）12（k1）1. 这就证明了当这就证明了当 nk1 时命题成立时命题成立 由由可知命题对任何可知命题对任何 nN 都成立都成立 1“归纳猜想证明”的一般环节： 2“归纳猜想证明”的主要题型： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和 (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参 数值是否存在 (3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题 数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项

12、， 再猜想an，并证明 【解】【解】 由由 a12a1，得，得 a11； 由由 a1a222a2，得，得 a23 2； ； 由由 a1a2a323a3，得，得 a37 4； ； 由由 a1a2a3a424a4，得，得 a415 8 . 猜想猜想 an2 n 1 2n 1. 下面证明猜想正确：下面证明猜想正确： (1)当当 n1 时，由上面的计算可知猜想成立时，由上面的计算可知猜想成立 (2)假设当假设当 nk 时猜想成立，则有时猜想成立，则有 ak2 k 1 2k 1，当，当 n k1 时，时，Skak 12(k1)ak1， ak 11 22(k 1)Sk k11 2 2k2 k 1 2k 1

13、 2k 1 1 2 （k1）1， 所以，当所以，当 nk1 时，等式也成立时，等式也成立 由由(1)和和(2)可知，可知，an2 n 1 2n 1对任意正整数对任意正整数 n 都成立都成立 未应用归纳假设而致误未应用归纳假设而致误 证明：证明：1 2 1 22 1 23 1 2n 1 1 2n 1 1 2n(n N ) 【错解】【错解】 (1)当当 n1 时， 左边时， 左边1 2， 右边 ， 右边11 2 1 2， ， 等式成立等式成立 (2)假设当假设当 nk(kN ，且，且 k1)时，等式成立，即时，等式成立，即1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k 1 1 2k， ， 那么

14、当那么当 nk1 时，左边时，左边1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2 1 1 2 k1 11 2 1 1 2k 1. 这就是说，当这就是说，当 nk1 时，等式也成立时，等式也成立 根据根据(1)和和(2)，可知等式对任意，可知等式对任意 nN 都成立都成立 【防范措施】 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系，即当n k时成立，nk1也成立，因此在证明nk1成立时，要用上归 纳假设才能说明“nk成立则有nk1也成立” 【错因分析】【错因分析】 错误的原因在第错误的原因在第二步，它是直接利二步，它是直接利 用了等比数列的求用了等比数列的求和公式求出了当和公

15、式求出了当 nk1 时，式子时，式子1 2 1 22 1 2k 1 1 2k 1 2k 1的和，而没有利用的和，而没有利用“归纳假设归纳假设”， 这是在用数学归纳法证题时极易犯的错误这是在用数学归纳法证题时极易犯的错误 【正解】【正解】 (1)当当 n1 时， 左边时， 左边1 2， 右边 ， 右边11 2 1 2， ， 等式成立，等式成立， (2)假设当假设当 nk(kN ，且，且 k1)时，等式成立，有时，等式成立，有 1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k 1 1 2k. 那么当那么当 nk1 时，时， 左边左边1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k 1 2k 1

16、1 1 2k 1 2k 1 12 1 2k 11 1 2k 1右边右边 这就是说，当nk1时，等式也成立 根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立 1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证( ) An1 Bn2 Cn3 Dn4 【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立 【答案】 C 【解析】 当n1时，左边1aa111aa2，故C正确 【答案】 C 2用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1aa2an 1 1 an 2 1a (a1，nN )，在验证，在验证 n1 成立时，左边计算所得的项成立时，左边计算所得的项 是是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2

17、a3 3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当 第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时， 命题亦真 【解析】 当n为正整数时，由假设n2k1命题为真，下一步需证n 2k1命题亦为真 【答案】 2k1 4 已知已知 nN ， 证明：， 证明： 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n. 【证明】【证明】 (1)当当 n1 时，左边时，左边11 2 1 2，右边 ，右边1 2，等 ，等 式成立；式成立； (2)假设当假设当 nk(k1，且，且 kN )时等式成立，即：时等式成立，即： 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1

18、2k 1 k1 1 k2 1 2k. 则当则当 nk1 时，时， 左边左边11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2（k1）1 1 2（k1） 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2（k1） 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 k1 1 2（k1） 1 （k1）1 1 （k1）2 1 （k1）k 1 2（k1）右边 右边 所以当所以当 nk1 时等式也成立时等式也成立 由由(1)(2)知对一切知对一切 nN 等式都成立等式都成立 平面上有平面上有 n 条直线，它们之间任何两条不平行，任何三条直线，它们之间任何两条不平行，任何三 条不共点，求证这条不共点，求证这

19、n 条直线将平面分成条直线将平面分成n（ （n1） 2 1 部分部分 【思路探究】【思路探究】 解答此题可先验证当平面内只有一解答此题可先验证当平面内只有一 条直线时，这条直线将平面分成两部分，满足式子条直线时，这条直线将平面分成两部分，满足式子 n（n1） 2 1，再假设当平面内有，再假设当平面内有 k 条直线时结论成条直线时结论成立，立， 然后从假设出发证明平面内有然后从假设出发证明平面内有 k1 条直线时， 结论成立条直线时， 结论成立 【自主解答】【自主解答】 当当 n1 时，一条直线把平面分成两部分，时，一条直线把平面分成两部分， 1（11） 2 12，所以当，所以当 n1 时，命题

20、成立假设当时，命题成立假设当 nk 时，命题成立，即时，命题成立，即 k 条直线把平面分成条直线把平面分成k（ （k1） 2 1 部分当部分当 nk1时， 这时， 这k1条直线中的条直线中的k条直线把平面分成条直线把平面分成k（ （k1） 2 1 部分，第部分，第 k1 条直线与前条直线与前 k 条直线共有条直线共有 k 个交点，将第个交点，将第 k 1 条直线分成条直线分成 k1 部分，这时将平面多分成了部分，这时将平面多分成了 k1 部分，部分， 即即 k1 条直线条直线把平面分成把平面分成k（ （k1） 2 1(k1) （k1）（）（k2） 2 1 部分，所以当部分，所以当 nk1 时，

21、命题也时，命题也 成立，故原命题成立成立，故原命题成立 用数学归纳法证明几何问题的三个关注点： (1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题，常见的形式有 交点的个数问题，直线的条数问题，划分区域问题，以及构成的角的 个数问题 (2)证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素由k个变成k1个， 所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助几何图形分 析 (3)几何问题的证明既要注意数形结合，又要注意有必要的文字证明 用数学归纳法证明凸用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线有边形的对角线有1 2n(n 3)条条 【解】【解】 当当 n3 时，时，1 2n(n 3)0， 这就说明三角形没有对

22、角线，故结论正确这就说明三角形没有对角线，故结论正确 假设当假设当 nk(k3，kN )时结论正确，即凸时结论正确，即凸 k 边形的对角边形的对角 线有线有1 2k(k 3)条， 则当条， 则当 nk1 时， 凸时， 凸(k1)边形边形 A1A2A3AkAk 1的对角线条数有以下三部分的条数相加而得：由归纳假设的对角线条数有以下三部分的条数相加而得：由归纳假设 知，凸知，凸 k 边形边形 A1A2A3Ak的对角线条数为的对角线条数为1 2k(k 3)； 对角线对角线 A1Ak是一条；而顶点是一条；而顶点 Ak 1与另外与另外(k2)个顶个顶 点点 A2，A3Ak 1可画出可画出(k2)条对角线所以凸条对角线所以凸(k1)边边 形的对角线的条数是形的对角线的条数是1 2k(k 3)1(k2)1 2(k 2 3k2k 2)1 2(k 2 k2)1 2(k 1)(k2)1 2(k 1)(k1)3， 所以当所以当 nk1 时结论也正确，由时结论也正确，由和和知，结论对从知，结论对从 n 3 起的所有自然数都正确起的所有自然数都正确