三角形的证明优质复习课件.ppt

1、上册第一章复习 知识归纳知识归纳知识归纳1等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等相等.性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线平分线上的高互相重合2等腰三角形的判定(1)定义：有两条边相等相等的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角相等相等 的三角形是等腰三角形、底边上的 中线中线、底边上册第一章复习 知识归纳知识归纳3用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4 等边三角形的判定(1)有一个角等于60的等腰等腰 三角形是

2、等边三角形；上册第一章复习 知识归类知识归类(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形5直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直，那么它所对的直角边等于斜边的角边等于斜边的一半一半.6勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方平方.上册第一章复习 知识归类知识归类逆定理：如果三角形两边的平

3、方和等于第三边的平方，那逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是么这个三角形是直角直角三角形三角形7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离的距离 相等相等.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的垂直平分线垂直平分线上上点拨点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合等的所有点的集合上册第一章复习 知识归类知识归类8三线共点三角形三条边

4、的垂直平分线相交于 一点一点三角形三个顶点的距离相等相等.9角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等相等.，并且这一点到判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离距离点，在这个角的平分线上相等的上册第一章复习 知识归类知识归类注意注意 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上定理必须加上“在角的内部在角的内部”这个条件这个条件10三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离的距离相等相等.上册第一章复习 考点攻略

5、考点攻略考点攻略?考点一考点一线段垂直平分线的性质的应用线段垂直平分线的性质的应用例例1如图如图S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则，则BCE_.5050上册第一章复习 考点攻略考点攻略解析解析 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以EAEC，AACE30，又ACB 80，故BCE80 3050.上册第一章复习 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧 注意利用注意利用“线线若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等段垂直平分

6、线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问解决问题同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地题同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地同学们在学习同学们在学习可以大大简化解题过程，可以大大简化解题过程，运用线段垂直平分线性质，运用线段垂直平分线性质，中要注意到这一点！中要注意到这一点！上册第一章复习 考点攻略考点攻略?考点二考点二例例2全等三角形的证明全等三角形的证明如图如图S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个

7、正确的命题，并加以证明一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.上册第一章复习 考点攻略考点攻略解：解：答案不惟一，命题一：在 ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证：ABCDEF.命题二：在ABC 和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB DE，ABC DEF，BECF.求证：ACDF.下面证明命题一：已知：如题图，在ABC 和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB DE，AC DF，BECF.求证：ABC DEF.上册第一章复习 考点攻略考点攻略证明：在ABC 和DEF中，BECF，BCEF.

8、又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)ABC DEF.上册第一章复习 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，设计新颖，能培养能培养同学们的逆向思维能力、同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力创新能力和综合运用知识的能力解答条解答条件开放型试题，件开放型试题，需要执果索因，需要执果索因，逆向推理，逆向推理，逐步探求结论成立的条逐步探求结论成立的条件同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共件同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等，边等，然后合理选择全等三角形的知识解

9、决然后合理选择全等三角形的知识解决另外，另外，要注意这类题要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可的答案往往不唯一，只要合理即可 上册第一章复习 考点攻略考点攻略?考点三考点三勾股定理的应用勾股定理的应用2例例3 如图如图 S13，已知圆柱体底面圆的半径为，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，高为 2，AB，CD分别是两底面圆的直径，分别是两底面圆的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度点，求小虫爬行的最短路线的长度(结结果保留根号果保留根号)上册第一章复习 考点攻略考点攻略上册第一章复习 考点攻略考点攻

10、略解析解析 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从要从A开始并垂直于开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题能得到直角，再利用勾股定理解决此问题上册第一章复习 考点攻略考点攻略 解：将圆柱的侧面展开，如图解：将圆柱的侧面展开，如图S14，

11、圆柱的底面周长为，圆柱的底面周长为2r24，取其一半：，取其一半：42，圆柱的高为，圆柱的高为2，根据勾，根据勾股定理，得股定理，得AC222228，所以，所以AC2.图 S14 上册第一章复习 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题化为平面图形问题即即“展曲为平展曲为平”问题，问题，特别要注意圆柱、特别要注意圆柱、圆圆锥的侧面展开问题锥的侧面展开问题这种由三维

12、立体和二维平面的相互转化，这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能图形识别能力、力、理解能力的要求，理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型 上册第一章复习 考点攻略考点攻略?考点四考点四例例4中点中点(1)如图如图S14，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且BEAF，求证：求证：DEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；(2)若若E，F分别为分别为AB，CA延长线上的点，仍有延长线上的点，仍有BEAF，其，其他条件不变，

13、那么，他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论结论等腰三角形的判别等腰三角形的判别已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D为为BC的的上册第一章复习 考点攻略考点攻略图S15解析解析 要证明要证明DEF为等腰三角形，需要证为等腰三角形，需要证DEDF.连接连接AD，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的方法方法上册第一章复习 考点攻略考点攻略解：(1)证明：连接AD，如图S16：ABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDAD，BDAC45，又BEAF，BDEADF

14、(SAS)，EDFD，BDEADF，DEF为等腰直角三角形图图 S16 EDFEDAADFEDABDEBDA90，上册第一章复习 考点攻略考点攻略(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S17所示：连接AD，ABAC，BAC 90，D为BC的中点，ADBD，ADBC，DAC ABD 45，DAFDBE135.又AFBE，DAFDBE(SAS)，图S17上册第一章复习 考点攻略考点攻略FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90，DEF仍为等腰直角三角形上册第一章复习 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，等腰三角形的应

15、用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤尤其是其是“三线合一三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段更简捷地说明两线段或角相等在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强，或角相等在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强，多以证明或计算题出现多以证明或计算题出现 上册第一章复习 考点攻略考点攻略?考点五考点五角平分线与角平分线与“截长补短截长补短”例例5如图如图S18，ADBC，点，点CDE，DCEECB.求证：求证：CDADBC.E在

16、线段在线段AB上，上，ADE图S18上册第一章复习 考点攻略考点攻略解析解析 结论是CDADBC，可考虑用，可考虑用“截长补短法截长补短法”中的中的“截长截长”，即在，即在CD上截取CFCB，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的上册第一章复习 考点攻略考点攻略 证明：在证明：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCEBCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，图S19上册第一章复习 考点攻略考点攻略 DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDEADE(AS

17、A)，DFDA.CDDFCF，CDADBC.上册第一章复习 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧“截长补短法截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗掌握好种方法常可使思路豁然开朗掌握好“截长补短法截长补短法”对于更好的对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助理解数学中的化归思想有较大的帮助 上册第一章复习 习题讲析习题讲析1以下命题中，是真命题的是以下命题中，是真命题的是A两条直线只有相交和平行两种位置关系两条直线只有相交和平行两种位置关系B同位角相等同位角相等C两边和一角对应相等的两个三角形全等两边和一角对应相等的两个三角

18、形全等D等腰三角形底边中点到两腰的距离相等等腰三角形底边中点到两腰的距离相等(D D)上册第一章复习 习题讲析习题讲析2下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是(C C)A等腰三角形边上的中线也是高等腰三角形边上的中线也是高B等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C等边三角形每条角平分线都平分对边等边三角形每条角平分线都平分对边D直角三角形一边上的中线等于这边的一半直角三角形一边上的中线等于这边的一半上册第一章复习 习题讲析习题讲析3在直角三角形中，一条直角边长为在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为，另一条边长为那么它的三个内

19、角之比为那么它的三个内角之比为(D D)A123 B221C112 D以上都不对以上都不对2a，上册第一章复习 习题讲析习题讲析4如图如图S19，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分的垂直平分线交线交CB边于边于D，若，若AB10，AC5，则图中等于，则图中等于 60的角的个的角的个数为数为(D D)A2 B3 C4 D5图S110上册第一章复习 习题讲析习题讲析5如图如图S111，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂线，垂足为的中垂线，垂足为D，交，交BC于点于点E，若，若BE4，则，则AC_.2 2 图S111上册第一章复习 习题讲析习题讲析6若点若点P是是ABC

20、内一点，内一点，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且，且PDPEPF，则点，则点P是是ABC的的(C)A三条高的交点三条高的交点B三条中线的交点三条中线的交点C三条角平分线的交点三条角平分线的交点D三条中垂线的交点三条中垂线的交点上册第一章复习 习题讲析习题讲析7在平面内，到在平面内，到A只有一个只有一个C有三个或三个以上有三个或三个以上A，B，三点距离相等的点有三点距离相等的点有(D)B有两个有两个D有一个或没有有一个或没有C上册第一章复习 习题讲析习题讲析8小明家有一块ABC的土地，如图S112所示，其三边长AB70米，BC90米，AC50米，现要把ABC分成面积比为为579

21、的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案图S112上册第一章复习 习题讲析习题讲析解：解：如图S113所示，分别作ACB 和ABC 的平分线，相交于点D，连接AD，则SADCSADBSBDC5图S11379.上册第一章复习 习题讲析习题讲析9.如图如图S114，在四边形，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中的中点，连结点，连结AE，BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.上册第一章复习 习题讲析习题讲析证明：证明：(1)因为E是CD的中点，所以DECE.因

22、为ADBC，所以ADEFCE，DAECFE.所以ADEFCE.所以FCAD.(2)因为ADEFCE，所以AEFE.又因为BEAE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以 ABFB.因为FBBCFCBCAD.所以ABBCAD.上册第一章复习 习题讲析习题讲析10.如图如图S115，点，点C为线段为线段AB上一点，上一点，ACM，CBN是等边三角形，直线是等边三角形，直线AN，MC交于点交于点E，直线，直线BM，CN交于交于F点点(1)求证：求证：ANBM；(2)求证：求证：CEF为等边三角形；为等边三角形；(3)将将ACM绕点绕点C按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转90，其他条件不变，其他条件不变，在图中补出符合要求的图形，并判断第在图中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论是两小题的结论是否仍然成立否仍然成立(不要求证明不要求证明)上册第一章复习 习题讲析习题讲析上册第一章复习 习题讲析习题讲析解：解：(1)证明：易证CMBCAN，则ANBM.(2)证 明：CMBCAN，ANC MBC.又MCNFCB60，BCCN，ECNFCB，CECF.又ECF60，ECF是等边三角形(3)如图所示，(1)小题的结论仍然成立，(2)小题不成立