华东理工大学复变函数复习课件.ppt

1、1复习与回顾分式线性映射的性质分式线性映射的性质1.1.一一对应性一一对应性2.2.保角性保角性3.保圆性保圆性说明说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线那末它就映射成直线.如果如果 4.保对称性保对称性3(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时当二圆弧上没有点映射成无穷远点时,这二圆这二圆 弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时当二

2、圆弧交点中的一个映射成无穷远点时,这这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.4映射的角形区如图所示映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)w1 zRR0.zRwzR 0)(i 2C1C 0)(z1i izizi.0)(w 0 0 逆逆时时针针旋旋转转 0iew 因此所求映射为因此所求映射为:iziziewi0 izizei)2(0 7基本公式：基本公式：已知相异三点：已知相异三点：112233,zw zw zw已知条件已知条件分式线性映射公式分式线性映射公式323211231231.wwzzwwzzwwwwzzzzIm0Im

3、0zw)0,(bcadRdcbadczbazw，Im0|1zwe,(Im()0)izawRaza，|1|1zw e,(1)1izawR aaz，|1,Im0Re0,Im0zzww11zwz 20 0n角形域 0 0 n 角角形形域域.0 倍倍来来的的射射变变为为原原处处角角形形域域的的张张角角经经过过映映即即在在nz )0)0 n0)(w0)(z一、幂函数一、幂函数)2(为为自自然然数数 nzwn0)(z特殊地特殊地:20 n 角形域角形域 20 角形域角形域)n 2)(w0沿正实轴剪开的沿正实轴剪开的w平面平面0002:00()nnnnn根式函数z=w于是w=z 和z=w的映射特点是扩大与缩

4、小角形域。11 常常数数直直线线 x常数常数圆周圆周 0)(z0)(w1)常数常数直线直线 y 常数常数射线射线 0)(z0)(w2)12 0)(z0)(z)(w00)(w特殊地特殊地:az )Im(0)3 带形域带形域)20(aaw arg0 角形域角形域aii 213i ab.0)Im(的的一一个个映映射射 解解 0)(z0)(0)(w)(azabi ew?)(azabiew )Im(映射成上半平面映射成上半平面求把带形域求把带形域bza 例例14例例 求一函数求一函数,它把新月形域它把新月形域:|z|1/2保角映射成上保角映射成上半平面半平面.1110012zwziwziw ii2i()

5、z121()w1zwzi1zwzi11()2wi322ww2211iwe wiw12i2()wi3()w()w3wwe2ziz iwe12zzz 221()izz e旋转22ze22zize2zz 11z求将区域求将区域 映射为上半平面的一个共形映射映射为上半平面的一个共形映射.16分式线性：分式线性：1.1.有两个交点的弧段映射成角形区域有两个交点的弧段映射成角形区域2.2.半圆映射成某一个象限半圆映射成某一个象限3.将线段映射成射线将线段映射成射线4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。只有一个交点的弧段映射成带型区域。17初等函数映射：初等函数映射：1.1.角型区域对应角型区域（或有隔阂的

6、复平面）角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面）时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少）时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少）2.2.横向带型区域映射成角型区域（或上半横向带型区域映射成角型区域（或上半平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之利用对数函数利用对数函数因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩0,21210011111222222222vvuvvuuvuvyvuuxivuiyxwziyxzivuw19复复 习习20第一章：第一章：21利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的

7、关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示例例求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz;411)4(zz23.ArgArgArg1212zzzz .)(121212ierrzz)sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz .)sin(cos ,ni

8、nrznnn 有有对对于于任任何何正正整整数数积积商商幂幂 nkinkrzwnn2sin2cos1 )1,2,1,0(nk方根方根25复变函数的极限复变函数的极限和连续性和连续性一、函数的极限二、函数的连续性26定理三定理三.),(),(),(:),(),()(00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf ,)ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu ,),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv .),(处处连连续续在在

9、复复平平面面内内除除原原点点外外处处故故yxf例例1 1.0 )Re()(不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf28第二章第二章1.能够利用能够利用C-R条件判断函数解析性条件判断函数解析性2.知道对数函数，幂函数，三角函数的定义，知道对数函数，幂函数，三角函数的定义，导数，及相应运算导数，及相应运算3.能够利用已知函数求出相应调和函数能够利用已知函数求出相应调和函数29)(zf在一点解析在一点解析)(zf在一点可导在一点可导仅在此点满足导数定义仅在此点满足导数定义此点和其某领域内点点满足此点和其某领域内点点满足导数定义导数定义一点解析一点解析 一点可导，反之不对一点可导

10、，反之不对 30)(zf在区域内可导在区域内可导)(zf在区域内解析在区域内解析 因为区域为开集，故点点可导因为区域为开集，故点点可导 点点解析点点解析 反之显然反之显然31可导（解析）充要条件可导（解析）充要条件定理定理.,),(),(),(:()(,),(),()(xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf）满足柯西黎曼方程并且在该点（在区域内可微（在区域内可微）在点与条件是在区域内解析）的充要可导内一点在则内定义在区域设函数1().uvuvfzixxiyy且推论：,(,)u vx yCR若在处一阶偏导数连续且满足方程,()f zuivzxiy则在处可导.二、典型例

11、题二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx .)(,)(内为一常数区域在则内处处为零在区域例：如果DzfDzf 证证xvixuzf )(,0 yuiyv,0 xvyuyvxu故故 ,常数常数常数常数所以所以 vu .)(内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf35初等函数初等函数)exp(expexp2121zzzz ,2expikz 的周期是的周期是zzee)(一一 指数函数的定义指数函数的定义:iyxz)sin(cosyiyeewxz加法定理加法定理解析性解析性

12、周期性周期性36（主值）zizzarglnln且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴,)()3(,LnLn)(Ln)1(2121zzzz,LnLnLn)2(2121zzzz .1)Ln(,1)(lnzzzz (0)(),Ln,:LnlnArg.wez zwf zwzzziz满足方程的函数称为对数函数 记为易见二二.对数函数对数函数37注解注解;Ln1去原点上的多值函数是定义在整个复平面减、对数函数zw（运算性质）：、对数函数的代数性质2 LnLn)Ln(2121zzzz等式将不再成立：集合相等，并且下

13、面的的等式应该理解为和幅角的加法一样上面 LnLn)/Ln(2121zzzz ,Ln2Lnz2z LnzLn1nznikzizzikzizznn2arg|lnLn ,2arg2|ln2Ln11n2而应是：38,2cosizizeez.2sin izizeez.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sin)(cos,cos)(sinzzzz 注意：他们是无界函数注意：他们是无界函数四、三角函数四、三角函数奇偶性奇偶性周期性周期性解析性解析性39 ,时时为纯虚数为纯虚数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiiee

14、yiyy .cos ,sin ,yiyiy时时当当(注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的)404142.,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为和函数中和函数中的两个调的两个调内满足方程内满足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,.),(),(,),(的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域D D内的函数解析内的函数解析 虚部为实部的虚部为实部的共轭调和函数共轭调和函数.共轭调和函数共轭调和函数45第四章第四章.幂

15、级数幂级数1.1.能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；2.2.能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式；能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式；3.3.能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。46一、复数列的极限一、复数列的极限.lim,limbbaannnn )(11收敛级数nnnnniba.lim nn二、级数二、级数 .11都收敛和nnnnba0lim nn 必要条件必要条件收敛的必要条件是复数项级数1nn48绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn 定理三定理三.111绝对

16、收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(nienn三、典型例题三、典型例题例例1 1.cos)2(innn 例例2 2 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 nnni 21)1(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnnin例例4 450 00)(nnnzzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(11 nnnaznczf即即是收敛圆是收敛圆Raz 内的

17、解析函数内的解析函数.0)()(nnnazczf它的和函数它的和函数(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质51(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)(nnnzaazncf 或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即52例例4 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为.1 R所以所以利用

18、逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z53例例6 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 54定理（泰勒级数展开定理）定理（泰勒级数展开定理）000(),f zDzD RzDzzR设在区域内解析为到的边界上各点的最短距离，则当时级数的处在Taylorzzf0)(2.泰勒泰勒(TaylorTay

19、lor)级数展开定理级数展开定理00()0()()(1)1:()0,1,2,!nnnnnf zczzcfznn其中553.简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式0!)(nnznzei012)!12()1(sin)(nnnnzzii02)!2()1(cos)(nnnnzziii011nnzz 0)1(11nnnzz以上三个在复平面上收敛以上三个在复平面上收敛一下两个收敛域为单位圆盘内，圆周上发散一下两个收敛域为单位圆盘内，圆周上发散563.3.洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理定理定理1020100():,()()(5)1():(0,1,2,)(5)2().nnnnncf zD RzzR

20、f zczzf zcdz nizzcDz设在内解析 则其中系数是 内绕 的任何一条简单闭曲线级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(57nnnzzc)(0 考虑双边幂级数考虑双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01同时收敛同时收敛 Laurent级数级数 nnnzzc)(00 收敛收敛59第五章第五章:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点Laurent级数的特点级数的特点)(lim0z

21、fzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项 含有有限个负幂项含有有限个负幂项10)(zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为600Res(),.f z z 11()d2Ccf zzi 即即定义定义5.4 设设z0是是f(z)的孤立奇点的孤立奇点,C是在是在z0的充分的充分小邻域内包含小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向在其内部的分段光滑正向 Jordan曲曲线线,积分积分 1()d2Cf zzi 称为称为f(z)在在z0点的点的留数留数(Residue),记做记做 0Res(),.f z z函数函数 f(z)在孤立奇点

22、在孤立奇点z0点的留数即是其在以点的留数即是其在以 z0为中心的圆环域内为中心的圆环域内Laurent级数级数-1次幂项的系数次幂项的系数.61留数计算规则留数计算规则(1)如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点,则则0Res(),0.f z z 成成Laurent级数级数,求求.1 c(2)如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点,)(zf展开展开则需将则需将)(zf62如果如果 为为 的的1级极点级极点,那么那么0z)(zf法则法则5.1(3)如果如果0z为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf000Res(),lim()().zzf z zzzf z 法则法则5.2

23、设设,)()()(zQzPzf)(zP及及)(zQ在在0z都解析都解析.如果如果000()0,()0,()0,P zQ zQ z 那么那么0z为为f(z)的的1级极点级极点,并且并且.)()(),(Res000zQzPzzf 63010011dRes(),lim()().(1)!dnnnzzf z zzzf znz 如果如果 为为 的的 级极点级极点,取正整数取正整数 0z)(zfm法则法则5.3那么那么,nm 645.2.4函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数定义定义5.6 设设z=是是f(z)的孤立奇点的孤立奇点,即即 f(z)在在z=的去心邻域的去心邻域 内解析内解析,称积分称积分

24、Rz 1()d2Cf zzi 为为f(z)在在z=的留数的留数,并记做并记做 其中其中 Res(),f z C 表示圆周表示圆周 的负向的负向(即顺时针方向即顺时针方向).zrrR 1Res(),.f zc 易见易见f(z)在在Rz 内内Laurent展开式展开式 项的系数项的系数11c z 65法则法则5.5设设 是有理分式是有理分式,且多项式且多项式 ()()()P zf zQ z Q(z)的次数比的次数比P(z)的次数至少高的次数至少高2次，则次，则 Res(),0.f z 求无穷远点留数的方法求无穷远点留数的方法.法则法则5.4设设f(z)在在 内解析，则内解析，则 Rz 211Res

25、(),Res,0.f zfzz 66 34!311lim3440 zzeorzz?168 20,13121Re0,1Re,32Re2222zzzszfzszzsor?2?4iieezezedzzeizesorzzzzzzsin1sinh2)11(121-,1Re111|122积分计算总结积分计算总结70积分（已知曲线参数方程）积分（已知曲线参数方程）7172定理定理（当被积函数解析）（当被积函数解析）C0)(C .,)()(d)(,)()(,)(100110dzzfBzzzGzGzzfzfzGBzfzz为封闭曲线如果内的两点为域这里那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数积分类型（第一类

26、积分类型（第一类，被积函数解析），被积函数解析）73例例3 3.dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsinizzz0cossin .11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”74积分类型（第二类积分类型（第二类，被积函数有有限奇点），被积函数有有限奇点）对于封闭路径，如果被积函数不解析，有有限奇点，对于封闭路径，如果被积函数不解析，有有限奇点，则要判断函数奇点位置以及个数，而后利用复则要判断函数奇点位置以及个数，而后利用复闭合定理或留数定理。闭合定理或留数定理。定理定理(留数基本定理留数基本定理)设

27、函数设函数f(z)在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析外处处解析,C是是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan曲线曲线,则则 1()d2Res(),.nkkCf zzif z z 75那末那末,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理.0d)(

28、)2(zzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf76.d)()(2!)(100)(Cnnzzzzfinzf高阶导公式高阶导公式前提条件与柯西积分公式相同 Cauchy 积分公式积分公式 Cdzzzzfizf00)(21)(一一点点内内为为它它的的内内部部完完全全含含于于一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线内内是是内内处处处处解解析析在在设设CzDDCDzf0)3,)2,)()1被积函数在曲线被积函数在曲线C内只有一个奇点，分子完全解析内只有一个奇点，分子完全解析 如果要用复闭合定理，则需一下定理最终计算结果如果要用复闭合定理，则需一下定理最终

29、计算结果77三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 ,1 )1(cos)1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz ,cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式78 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i ,)1()2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi ,1CiC为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在

30、,2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 ,)1(2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 791C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1(iei801C2Cxyo iCi 2d)1(22Czzze同理可得同理可得,2)1(iei Czzzed)1(22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2

31、 i81定理定理5.10 (留数基本定理留数基本定理)设函数设函数f(z)在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析外处处解析,C是是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan曲线曲线,则则 1()d2Res(),.nkkCf zzif z z 根据留数基本定理根据留数基本定理,函数在闭曲线函数在闭曲线f(z)上的积上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题算问题.82例例5.12 求求 在在z=0处的留数，并求处的留数，并求 12()zf zz e()d,

32、Cf zz 其中其中C是是 的正向的正向.1z 解解 易见易见z=0是函数是函数f(z)的本性奇点，并且的本性奇点，并且 1221()0.2!3!4!zzf zzzz 因此因此 1Res(),0.3!f z 于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理()d.3Cf zzi 83定理定理5.11设函数设函数f(z)在扩充复平面内只有有限在扩充复平面内只有有限个孤立奇点个孤立奇点121,NNz zzz 则则f(z)在所有各孤在所有各孤立奇点留数的总和等于零，即立奇点留数的总和等于零，即 1Res(),0.Nkkf z z 84例例5.15计算积分计算积分 其中其中 51d,(1)(3)CIzzz

33、 C是是 的正向的正向.2z f(z)有有7个孤立奇点个孤立奇点,5个个1级极点在级极点在C内部内部,1个个1级级解设解设 在扩充复平面内在扩充复平面内51().(1)(3)f zzz 极点极点z=3和可去奇点和可去奇点z=在在C外部外部.由由 可知可知,85只需要计算只需要计算f(z)在在z=3和和z=的留数的留数.根据根据 ,而而 Res(),0.f z 5311Res(),3lim,1242zf zz 1Res(),3Res(),0,2If zf zi 所以根据所以根据 和和 ,2Res(),3Res(),.121iIif zf z 注注 本题采用这种方法要比直接应用留数基本定本题采用这

34、种方法要比直接应用留数基本定理简便一些理简便一些.86积分类型（第三类积分类型（第三类 实数积分）实数积分）22222d (0).()()xIx abxaxb 220sind (0).xxIxaxa 201d(0).cosabab 用实例说明类型种类，利用留数计算87第七章，第八章 1.知道知道Fourier变换存在定理，能够利用变换存在定理，能够利用Fourier变换算出某些特殊无穷限积分。变换算出某些特殊无穷限积分。2.dd函数性质。函数性质。3.熟悉熟悉Fourier变换与变换与Laplace变换性质，并利变换性质，并利用其计算相应变换。用其计算相应变换。4.卷积卷积5.利用留数计算利用

35、留数计算Laplace逆变换逆变换6.能够利用能够利用Laplace变换解含有初值的微积分变换解含有初值的微积分方程。方程。88 (Fourier)()Dirichlet1()2()(0)(0)2ii tf tfededf ttf tf tt 定理积分存在定理 若在任何有限区间定理积分存在定理 若在任何有限区间上满足条件，且在，绝对可积，则上满足条件，且在，绝对可积，则为连续点；为连续点；为间断点。为间断点。89Fourier变换的性质(1)线性性质线性性质 (2)位移性质位移性质 频移性质频移性质(3)原像微分性质原像微分性质 像函数微分性质像函数微分性质:(6)对称性质对称性质(7)相似性

36、质相似性质(5)积分性质积分性质（3）原像微分性质）原像微分性质 象函数的微分性质象函数的微分性质（1 1）线性性质）线性性质（5）相似性质）相似性质 Laplace变换的性质（4）象原函数的积分性质 象函数的积分性质 （2）位移性质）位移性质 延迟性质延迟性质 90ddd40220)(21)()(1)(1)(eeeietuitutttit12222!cossin1)(1mmsmtkssktkskktstu或Fourier变换Laplace变换91（1）Fourier卷积定理：卷积定理：11 ()()()()1 ()()2()()2fgfgFGFGfgfgfgFGFGfg 或：化简卷积运算或：

37、化简卷积运算或：化简傅氏变换或：化简傅氏变换FFFFFFFF(2)(2)拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理 则则若若 11()(),f tF s 22()(),ftF s 1212()()()()f tftF s F s 11212()()()()F s F sf tft 92定理定理8.3设设 12,nsss是是()F s的所有孤立的所有孤立奇点奇点(有限个有限个)，除这些点外除这些点外,()F s处处解析处处解析,且且利用留数求利用留数求Laplace逆变换的公式逆变换的公式且他们全部位于直线Re(s)=0的左侧，且当则有时，,0)(sFs0,e)(Re)(1tsFstfstnkssk 11()()Res(),.nstkkf tF sF s es L L因此