2022新人教版九年级上册《数学》第24章圆章节培优专题（附解题思路）.docx

1、圆的培优专题1与圆有关的角度计算圆的培优专题2与垂径定理有关的计算圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题圆的培优专题3圆与全等三角形圆的培优专题4圆与勾股定理圆的培优专题6圆与内角（外角）平分线圆的培优专题7与切线有关的角度计算圆的培优专题8与切线有关的长度计算圆的培优专题9圆的切线与垂径定理圆的培优专题10圆的切线与勾股定理圆的培优专题11圆的切线与全等三角形圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形圆的培优专题13圆与三角形的内心圆的培优专题14圆中动态问题圆的培优专题15聚焦圆中无图多解题圆的培优专题1与圆有关的角度计算一、核心：运用圆周角和圆心角相互转化求角度1、如图，AB为O的直径，C为AB的中

2、点，D为半圆AB上一点，则ADC .2、如图，AB为O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC .3、如图，AB为O的直径，BC=3AC，则ABC .解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！5、如图，AB为O的直径，点C、D在O上，BAC，则ADC .6、如图，O的半径为1，弦AB，弦AC，则BOC .7、如图，PAB、PCD是O的两条割线，PAB过圆心O，若AC=CD,P，则BDC . 解题策略：1.在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！2.圆的内接四边形的外角等于内对角，是一个非常好

3、用的一个重要性质！二、无圆则先添加辅助圆，再利用核心求角度1、如图，ABC内有一点D，DADBDC，若DAB，DAC， 则BDC . 2、如图，AEBEDEBCDC，若C，则BAD . 3、如图，四边形ABCD中，ABACAD，CBD，BDC，则 BAD . 4、如图，ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D， 则AEC . 5、如图，O是四边形ABCD内一点，OAOBOC，ABCADC， 则DAODCO . 6、如图，四边形ABCD中，ACBADB，ADC，则ABC .解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！圆的培优专题2与垂径定理有关的计

4、算1、如图，AB是O的弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上，若BED ，O的半径为4，则弦AB的长是 .2、如图，弦AB垂直于O的直径CD，OA5，AB6，则BC .3、如图，O的半径为，弦ABCD，垂足为P，AB8，CD6，则OP .4、如图，在O内，如果OA8，AB12，AB，则O的半径为 .5、如图，正ABC内接于O，D是O上一点，DCA，CD10，则BC 6、如图，O的直径AB4，C为AB的中点，E为OB上一点，AEC，CE的延 长线交O于点D，则CD 7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处， 并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移 动，距台风中心200千米

5、范围内是受台风影响的区域. 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？圆的培优专题3圆与全等三角形解题策略：已知一组边和角相等 截取、作垂线、倍长中线 构造全等 利用特殊三角形求线段长度1、如图，O的直径AB10，弦AC6，ACB的平分线交O于D，求CD的长.2、如图，AB是O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 MAMD，若CM，求BD的长. 3、如图，AB为O的直径，点N是半圆的中点，点C为AC上一点，NC. 求BCAC的值.4、如图，点A、B、C为O上三点，AC=BC，点M为BC上一点，CEAM于E， AE5，ME3，求BM的长.5、如图

6、，在O中，PB=PC，PDCD，CD交O于A，若AC3，AD1， 求AB的长.点拨： 1.过P点作PMAB,证PMB全等PDC2.再连接PA证PMAPDA6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB10，MN8. 求BFAE的值.点拨： 1.利用两直线平行，中间有圆心这个中点，构造8字模型证全等，把AE移到BF上2.再利用中位线性质和垂径定理求解圆的培优专题4圆与勾股定理1、如图，O是BCN的外接圆，弦ACBC，点N是AB的中点，BNC， 求 的值.点拨： 1.利用直径性质和垂径定理构造特殊直角三角形2.利用BN和BC都与直径AB有数量关系推导出结论2、如图，O的弦AC

7、BD，且ACBD，若AD，求O半径.点拨： 利用直径性质特殊直角三角形3、如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD， CEAB于点E，DFAB于点F.（1）求证：CEEF；（2）若DF2，EF4，求AC.点拨： 1.共斜边的两个直角三角形共圆（ACB和AFD）2.构造直角三角形利用勾股定理求解4、如图，AB为O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，AC=CE （1）求证：AFCF； （2）若O的半径为5，AE8，求EF的长点拨： 1.共顶点的边相等转化为求角相等（FAC=FCA）2.利用勾股定理和方程思想求解5、如图，在O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交C

8、D于N，连接AD. （1）求证：ADAN； （2）若AB，ON1，求O的半径.点拨： 1.共顶点的边相等转化为求角相等（AND=ADN）2.利用勾股定理和方程思想求解(RtAOE)圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O中，弦ABCD于E，求证：AODBOC.点拨：利用等弧所对圆周角和圆心角进行转换2、在O中，弦ABCD于点E，若O的半径为R，求证：AC2BD24R2.点拨：利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形3、在O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD.点拨：1.利用等弧或同弧所对圆周角相等2.利用直角三角形斜边上中线性质得到等腰三角形，进而得到等角4、在O中，弦ABC

9、D于点E，若ONBD于N，求证：ONAC.点拨： 利用直径与半径的关系构造中位线定理5、在O中，弦ABCD于点E，若ACBD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求证：MEON； （2）求证：四边形OMEN为菱形.点拨： 利用弦相等得到弦心距相等圆的培优专题6圆与内角（外角）平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关1、如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB. 求证：CACBCD.点拨：已知一组边，角相等，利用截取（旋转）构造全等(实质是旋转章节的对角互补模型)角相等：内接四边形的外角等于等对角2、如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB，求的值.点拨：已知一组边，角相

10、等，利用截取（旋转）构造全等(实质是旋转章节的对角互补模型)角相等：内接四边形的外角等于内对角3、如图，过O、M的动圆交轴、轴于点A、B，求OAOB的值.点拨：1、作垂线构造全等(实质是旋转章节的对角互补模型)2、内接四边形的对角互补二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求证：（1）PA=PB （2）ACBCPC.点拨：1、证明弧相等转化为证明角相等2、利用截取(旋转)构造全等，把短边BC转移到长边AC上5、如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角BCQ，ACB. 求的值.点拨：1.利用内接四边形的外角等于内对角证明P

11、A=PB2.利用截取构造全等，讲短边AC转移到长边BC上3.利用含120角的特殊三角形各边关系6、如图，A，B，经过A、B、O三点，点 这P为OA上动点（异于O、A）. 求的值.点拨：已知一组边，角相等，利用截取构造全等圆的培优专题7与切线有关的角度计算一 切线与一个圆 1、如图，AD切O于A，BC为直径，若ACB，则CAD .2、如图，AP切O于P，PB过圆心，B在O上，若ABP，则APB .3、如图，PA、PB为O的切线，C为ACB上一点，若BCA，则APB .4、如图，PA、PB为O的切线，C为AB上一点，若BCA，则APB .5、如图，点O是ABC的内切圆的的圆心，若BAC，则BOC

12、.6、如图，PA切O于A，若PAAB，PD平分APB交AB于D，则ADP . 二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC分别切小圆于D、E，小圆的DE的度数为，则大圆的BC的度数为 .8、如图，O1和O2交于A、B两点，且点O1在O2上，若D，则C 9、如图，O1和O2外切于D，AB过点D，若AO2D，C为优弧BC上任一点， 则DCB . 圆的培优专题8与切线有关的长度计算1、如图，在O的内接ACB中，ABC，AC的延长线与过点D的切线BD交于 点D，若O的半径为1，BDOC，则CD . 2、如图ABC内接于O，ABBC，过点A的切线与OC的延长线交于D，BAC， CD，

13、则AD . 3、如图，O为BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A，ACB， ABC，则 的值为 . 4、如图，AB为O的直径，弦DC交AB于E，过C作O的切线交DB的延长线于M， 若AB4，ADC，M，则CD . 5、如图，等边ABC内接于O，BD切O于B，ADBD于D，AD交O于E，O 的半径为1，则AE . 6、如图，ABC中，C，BC5，O与ABC的三边相切于D、E、F，若O的 半径为2，则ABC的周长为 . 7、如图，ABC中，C，AC12，BC16，点O在AB上，O与BC相切于D， 连接AD，则BD .E解题策略：1、连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.

14、 2、等腰，角平分线，平行经常结合出题圆的培优专题9圆的切线与垂径定理(基础题)1、如图，AB为O的直径，C为AE的中点，CDBE于D. （1）判断DC与O的位置关系，并说明理由； （2）若DC3，O的半径为5，求DE的长. 2.如图，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与BC相交于点P（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长点拨：面积法3、 如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD于E，DA平分BDE. （1）求证：AE是O的切线； （2）若AE2，DE1，求CD的长. 4、如图，AE是O的直径，DF切O于B，ADDF于D，EFDF于F.

15、（1）求证：EFADAE； （2）若EF1，DF4，求四边形ADFE的周长.圆的培优专题10圆的切线与勾股定理（简单）1、如图，已知点A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OCBC， ACOB.（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD，OC2，求弦CD的长.2、如图，PA、PB切O于A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP于N.（1）求证：OMAN；（2）若O的半径，PA9，求OM的长.3、如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线， E为切点，连接CE交AB于F. （1）求证：DEDF；（2）连接AE，若OF1，BF3，求DE的长.4、如图，

16、正方形ABCO的顶点分别在轴、轴上，以AB为弦的M与轴相切于F，已知A，求圆心M的坐标. 5.如图，已知AB为O的直径，AD、BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA、CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2） 若AE=1，ED=3，求O的半径6.如图，已知直线PA交O于A、B两点，CD是O的切线，切点且C，过点C作CDPA于D，若AD：DC=1：3，AB=8，求O的半径 圆的培优专题11圆的切线与全等三角形1、如图，BD为O的直径，A为的中点，AD交BC于E，过D作O的切线，交BC的延长线于F. （1）求证：DFEF；2、如图，AB为O的直径，C、D为O的一点，O

17、CAD，CFDB于F.（1）求证：CF为O的切线；（2）若BF1，DB3，求O的半径.点拨：作垂线构造中位线定理 3、如图，以O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OCOD；（2）过D作DM切O于M，若AB2，DM，求O的半径.点拨：1、证全等 2、等角-同角 (45特殊角) 4、如图，在ABC中，ACBC，ACB，以BC为直径的O交AB于D.（1）求证：ADBD；点拨：三线合一 （2）弦CE交BD于M，若SABC=3SBCM，求 .(不做)圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形1、如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于D，与边AC交于E， 过D作DFAC于F.（

18、1）求证：DF为O的切线；（2）若DE，AB5，求AE的长.点拨：1、三线合一 2、面积法求DF 2、如图，在ABC中，ABAC，以边AB为直径作O，交BC于D，过D作DEAE.（1）求证：DE是O的切线；（2）连接OC，若CAB，求 的值.点拨：1、三线合一，中位线定理 2、DE和OC都与OF建立数量关系 3、如图，ABAC，点O在AB上，O过点B，分别交BC于D、AB于E，DFAC.（1）证：DF为O的切线；（2）若AC切O于G，O的半径为3，CF1，求AC.4、如图，CD是O的弦，A为的中点，E为CD延长线上一点，EG切O于G. （1）求证：KGGE；（2）若ACEG， ，AK，求O的半

19、径.圆的培优专题13圆与三角形的内心1、如图，AB是O的直径，AC= CE,点M为BC上一点，且CMAC.（1）求证：M为ABE的内心；（2）若O的半径为5，AE8，求BEM的面积.点拨：1、证明EM和BM是角平分线2、利用RtAEB内接三角形半径公式求出BE边上的高 2、如图，O为ABC的外接圆，BC为直径，AD平分BAC点M是ABC的内心.（1）求证：BCDM；（2）若DM，AB8，求OM的长. 点拨：1、因为BC=2DC, 转化为求证DC=DM,再转化成求角相等即可2、利用内心性质得到相等的角3、利用RtAEB内接三角形半径公式求出MN,再利用切线长定理求出CQ=CN,进而求出ON的长，

20、最后利用勾股定理求出OM3、如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是BC的中点，DEAB于E，I是ABD的内心，DI的延长线交O于N.（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE4，CE2，求O的半径和IN的长.点拨：1、利用垂径定理和直径性质得直角，再利用矩形性质2、利用矩形性质和勾股定理3、利用内心的性质证明IN=AN 圆的培优专题14圆中动态问题1、 如图，点P是等边ABC外接圆BC上的一个动点，求证PAPBPC.点拨：利用截取（旋转）构造全等，将短边转移到长边上 2、已知弦ADBD，且AB2，点C在圆上，CD1，直线AD、BC交于点E. （1）如图1，若点E在O外，求AEB的度数； （2）

21、如图2，若C、D两点在O上运动，CD的 长度不变，点E在O内，求AEB的度数. 3、已知直线经过O的圆心O，且交O于A、B，点C在O上，且AOC，点 P是直线上一个动点（与O不重合），直线CP与O交于Q，且QPQO. （1）如图1，当点P在线段AO上时，求OCP的度数； （2）如图2，当点P在线段OA的延长线上时，求OCP的度数； （3）如图3，当点P在线段OB的延长上时，求OCP的度数.图2 图1 圆的培优专题15聚焦圆中无图多解题1、已知O的半径是6cm，O的弦AB6，则弦AB所对的圆周角是 .2、若AB是O的直径，AC、AD是弦，AB2，AC，AD1，则CAD .3、在直径为50cm的O

22、中，弦AB40cm，弦CD48cm，且ABCD，则AB与CD之 间的距离是 .4、已知P点到O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则O的半径为 .5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为3，5，则这两圆的圆心距等于 .6、点P是半径为5的O内的一点，且OP3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一 共有 条.7、已知O的半径为5cm，弦AB8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P 点有 个.8、O1和O2交于A、B两点，且O1经过点O2，若AO1B90那么AO2B的度数 是 .9、从不在O上的一点A，作O的割线交O于B、C，且AB AC64，OA10，则 O的半径等于 .1

23、0、已知O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA3cm，AB8cm，则tanOPB的值为 . 11、已知PA、PB是O的两条切线，点C是O上异于A、B的一点，过C点切线交PA、 PB于D、E两点，若APB400，则DOE .12、已知等腰ABC内接于O，底边BC8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长 AB .13、在ABC中，C90o，AC3，BC4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边只 有一个公共点，则R的取值范围 .14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .15、在RtABC中，AB6，BC8，则这个三角形的外接圆的直径是 .16、已知O1和O2仅有一条公切线，O1半径为3cm，且O1O25cm,则O2的半径等 于 .17、已知O上有A、B、C三点，若弦AC的长恰好等于O的半径，则ABC .18、已知O的半径是5cm，P是直线上的一点，且OP5cm，那么直线与O的位置关系是 .19、在ABC中，ABAC5cm，且ABC的面积为12cm2，则ABC外接圆的半径 为 .20、AB、AC是O的两条切线，B、C为切点，A50，点P是圆上异于A 、B的一动点，则BPC .