北师大版必修四数学课件：1.4.1-1.4.2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-单位圆与周期性.ppt

1、第一章第一章 4 4.1 4 正弦函数和余弦函数的定义与正弦函数和余弦函数的定义与 诱导公式诱导公式 第一章第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦单位圆与任意角的正弦函数、余弦 函数的定义函数的定义 4.2 单位圆与周期性单位圆与周期性 第一章第一章 4 4.1 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 4 课前自主预习课前自主预习 1 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 第一章第一章 4 4.1 课前自主预习课前自主预习 第一章第一章 4 4.1 在初中，我们知道RtABC 中，C为直角时，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫作A的正弦，记 作sinA；锐角A的邻边与斜边的比叫 作

2、A的余弦，记作cosA，即sinA 对边BC 斜边AB，cosA 邻边AC 斜边AB.当把锐角放在直角坐标系中时，角的 终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标当所 求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦 函数的定义呢？这就是本节要研究的内容 第一章第一章 4 4.1 1任意角的正弦函数、余弦函数的定义 (1)单位圆 在直角坐标系中，以_为圆心，以_为半径 的圆，称为单位圆 原点 单位长 第一章第一章 4 4.1 (2)任意角的正弦、余弦函数的定义 定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任 意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终 边与单位圆交于点

3、P(u，v)，那么点P的_v叫作角的正 弦函数，记作_；点P的_u叫作角的余弦函 数，记作_ 通常，我们用x表示自变量，即x表示 角的大小，用y表示函数值，这样我们就 定义了任意角的三角形ysinx和ycosx， 它 们 的 定 义 域 为 _ ， 值 域 为 _ 纵坐标 vsin 横坐标 ucos 全体实数 1,1 第一章第一章 4 4.1 定义2：利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数如 下：如图所示，设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐 标是(x，y)，它与原点的距离是r(r x2y20)，那么： 比值_叫作的正弦，记作sin，即sin _. 比值_叫作的余弦，记作cos，即cos _

4、. y r y r x r x r 第一章第一章 4 4.1 (3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin _ _ _ _ cos _ _ _ _ 2.单位圆与周期性 (1)终边相同的角的正、余弦函数值_ sin(2kx)_，kZ. cos(2kx)_，kZ. 相等 sinx cosx 第一章第一章 4 4.1 (2)周期函数与周期 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内 的任意一个x值，都有_，我们就把f(x)称为周期函 数，T称为这个函数的_ f(xT)f(x) 周期 第一章第一章 4 4.1 1已知 sin1 2

5、，cos 3 2 ，则角 终边所在的象限是 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 sin1 20，在第一或第四象限 终边所在的象限是第四象限 第一章第一章 4 4.1 2.19 6 角的正弦值的符号为( ) A正 B负 C0 D不能确定 答案 B 解析 19 6 27 6，而 7 6 3 2， 19 6 是第三象限角，sin19 6 0)上，求角的 正弦函数值、余弦函数值 思路分析 可先设角终边上任一点的坐标，然后借助三 角函数定义加以解决 三角函数的定义 第一章第一章 4 4.1 规范解答 解法一：设的终边与单位圆的交点为P(x， y)，则y2x(x0) 又

6、因为x2y21， 所以 x 5 5 ， y2 5 5 . 于是siny2 5 5 ，cosx 5 5 . 第一章第一章 4 4.1 解法二：在角 终边上任取一点 P(x，y)(x0)，则 y2x， r|OP| x2y2 x24x2 5|x|. 又 x0， 所以|OP| 5x. 所以 siny r y 5x 2 5 5 ； cosx r x 5x 5 5 . 第一章第一章 4 4.1 规律总结 求角的正弦函数值与余弦函数值的方法 已知角的终边所在直线，求的正弦函数值及余弦函数 值时，常用的解题方法有以下两种： 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用 正、余弦函数的定义求出相应三角函数值

7、注意到角的终边为射线，所以可取射线上任意一点坐标 (a，b)，则对应角的正弦值sin b a2b2 ，余弦值cos a a2b2 .这里的(a，b)可以都是确定的常数，也可以是坐标中 含有参数的形式 第一章第一章 4 4.1 答案 B 解析 由正弦函数的定义知，正弦函数值等于角的终边 与单位圆交点的纵坐标，故选B 若角的终边与单位圆相交于点( 2 2 ， 2 2 )，则sin的值 为( ) A 2 2 B 2 2 C1 2 D1 2 第一章第一章 4 4.1 判断下列三角函数值的符号 (1)sin4cos4； (2)sin8cos8. 思路分析 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定 正弦

8、、余弦函数值符号的确定 规范解答 (1)0) 求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期 思路分析 只需找出一个常数T(T0)，满足f(xT)f(x) 即可 证明 f(x2a)f(xa)af(xa)f(x) f(x)， f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期 周期函数的理解与应用 第一章第一章 4 4.1 规律总结 (1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说 的如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，则不能说T是f(x)的 周期 (2)从等式f(xT)f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数 才是周期如f(2xT)f(x)的周期，不能说T是f(x)的周期 第一章第一章 4 4.1 以下几

9、个命题中正确的有( ) 若函数f(x)定义域中存在某个自变量x0，使f(x0T) f(x0)，则f(x)为周期函数；存在实数T，使得对f(x)定义域内的 任意一个x，都满足f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数；周期函 数的周期是唯一的 A0个 B1个 C2个 D3个 答案 A 第一章第一章 4 4.1 解析 由周期函数的定义可知，f(xT)f(x)对定义域 内的任意一个x都成立，且T0，故不正确； 由周期函数的定义可知T0，故不正确； 若T为周期，则f(x2T)f(xT)Tf(xT)f(x)， 故2T也是周期，故不正确 第一章第一章 4 4.1 易错疑难辨析易错疑难辨析 第一章第一章 4

10、4.1 已知角的终边落在直线y3x上，求2sin 3cos的值 错解 错解一：在y3x上取点(1，3)， 则sin3，cos1，所以2sin3cos2(3) 313. 错解二：在y3x上取点(1，3)，易得sin 3 10 10 ， cos 10 10 ，所以2sin3cos2 3 10 10 3 10 10 3 10 10 . 第一章第一章 4 4.1 辨析 错解一是对siny，cosx的理解有误，定义中 的(x，y)是终边与单位圆的交点坐标，不是任意点 错解二只考虑了y3x(x0)的情况，没考虑y3x(x0) 的情况 正解 直线过二、四象限， 当角的终边过第二象限时，在角的终边上任取一点，如 P(1,3)， 则|OP| 10，sin 3 10，cos 1 10 10 10 ， 2sin3cos6 10 10 (3 10 10 )3 10 10 ； 第一章第一章 4 4.1 当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点P(1， 3)，则|OP| 10，sin3 10 10 ，cos 10 10 ， 2sin3cos6 10 10 3 10 10 3 10 10 . 2sin3cos3 10 10. 规律总结 根据正弦、余弦函数定义，在角的终边上 任取一点P(x，y)，|OP| x2y2(0)，总有siny r，cos x r.