北师大版必修四数学课件：2.2 从位移的合成到向量的加法.ppt

1、第二章第二章 2 2 从位移的合成到向量的加法从位移的合成到向量的加法 第二章第二章 第二章第二章 2 课堂典例讲练课堂典例讲练 2 课课 时时 作作 业业 4 课前自主预习课前自主预习 1 易错疑难辨析易错疑难辨析 3 第二章第二章 2 课前自主预习课前自主预习 第二章第二章 2 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重 物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角 越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？当你学了向 量的加法后就容易解释了！ 第二章第二章 2 1向量的加法 (1)三角形法则： 已知向量a、b，在平面内任取一点A，作 AB a， BC b，再作向量AC

2、，则向量AC 叫作_记作ab 向量a与b的和 第二章第二章 2 (2)平行四边形法则 如下图，作AB a，ADb，再作平行AD 的向量BC b， 连接DC，则AC 叫作向量a与b的和，表示为：AC ab 第二章第二章 2 (3)运算律 交换律：ab_. 结合律：(ab)ca(_) 特别地：对于零向量与任一向量a的和有0a_. ba bc a 第二章第二章 2 2向量的减法 (1)相反向量 与a长度_、方向_的向量，叫作a的相反向 量，记作_，零向量的相反向量仍是_关于相反向 量有： (a)_； a(a)(a)a_； 若a，b互为相反向量，则a_，b_，a b_. 相等 相反 a 零向量 a 0

3、 b a 0 第二章第二章 2 (2)向量减法 定义：向量a加上b的_，叫作a与b的差，即ab a(b) 求两个向量_的运算，叫作向量的减法 几何意义：在平面内任取一点O，作OA a，OB b，则 BA ab，即ab表示从_指向_的向 量 相反向量 差 向量b的终点 向量a的终点 第二章第二章 2 1已知非零向量a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)， b(ca)，c(ba)，c(ab)中，与向量abc相等的个 数为( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由向量加法的交换律与结合律可知这5个式子都等 于abc，故选D 第二章第二章 2 2下列各式中不能化简为PQ 的是( ) AAB

4、(PA BQ ) B(AB PC )(BA QC ) CQC QP CQ DPA AB BQ 答案 D 第二章第二章 2 解析 对于选项A，原式(AB BQ )PA AQ PA PQ ； 对于选项B，原式( AB BA )( PC CQ )0 PQ PQ ； 对于选项C，原式(QC CQ )PQ 0PQ PQ ； 对于选项D，不能化简为PQ . 第二章第二章 2 3下列命题中正确的个数为( ) 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向 必与a、b之一的方向相同； 在ABC中，必有AB BC CA 0 若AB BC CA 0，则A、B、C为一个三角形的三个 顶点； 若a、b均为非零向量

5、，则|ab|与|a|b|一定相等 A0 B1 C2 D3 第二章第二章 2 答案 B 解析 当ab0时，不成立，说法正确；当A， B，C三点共线时，也可以有AB BC CA 0，不正确；当 a，b共线时，若a，b同向，则|ab|a|b|；若a，b反向， 则|ab|a|b|；当a，b不共线时，|ab|a|b|，说法不 正确 第二章第二章 2 4已知|AB |8，|AC |5，则|BC |的取值范围是_ 答案 3,13 解析 因为BC AC AB ，又|AB |AC |AC AB |AB |AC |，所以3|BC |13. 第二章第二章 2 5在ABC中，D是BC的中点，设AB c，AC b，BD

6、 a，AD d，则da_，da_. 答案 c b 解析 本题考查了向量的加法、减法等基本运算，以及 基本运算法则的应用daAD BD AD DB c，da AD BD AD DC AC B 第二章第二章 2 课堂典例讲练课堂典例讲练 第二章第二章 2 向量的加法 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E， F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列 各式正确的是( ) AE AH OC ； AH OF CG FB ； BE FC HD OH ； OG BE DO . A和 B和 C和 D和 第二章第二章 2 思路分析 由向量加法的三角形法则或平行四边形法则 逐一验证 答案 A 规

7、范解答 由向量加法的平行四边形法则知 AE AH AO .又因AO OC ，所以正确 因为OF HO ，所以AH OF AH HO AO . 又因为FB CF ，所以CG FB CG CF CO ， 而AO CO ，所以不正确 第二章第二章 2 因为FC BF ，所以BE FC BE BF BO . 又因为HD OG ，所以HD OH OG OH OD ， 而BO OD ，所以正确 因为BE OH ，所以OG BE OG OH OD ，而OD DO ，所以不正确故选A 第二章第二章 2 规律总结 作向量加法运算时，若两个向量起点相同， 则用平行四边形法则；若一个向量的终点连接另一个向量的起 点

8、，则用三角形法则；若起点和终点均不相连，则利用向量相 等的定义先对向量平移，后进行化简、运算 第二章第二章 2 (1)AO OB OC CA BO _. (2)如图，已知梯形ABCD，ADBC，则OA AB CD BC _. 答案 (1)0 (2)OD 解析 (1)原式(AO OC )CA (OB BO ) AC CA 00. (2)OA AB CD BC OA AB BC CD OD . 第二章第二章 2 向量的加减法运算 化简：(1)(AB MB )(OB MO )； (2)AB AD DC ； (3)(AB CD )(AC BD ) 思路分析 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加 法交

9、换律、结合律化简 第二章第二章 2 规范解答 (1)解法一：原式AB MB BO OM (AB BO )(OM MB )AO OB AB . 解法二：原式AB MB BO OM AB (MB BO )OM AB MO OM AB 0AB . 第二章第二章 2 (2)解法一：原式DB DC CB . 解法二：原式AB (AD DC )AB AC CB . (3)解法一：原式AB DC CA BD (AB BD )(DC CA )AD DA 0. 解法二：(AB CD )(AC BD )AB CD AC BD (AB AC )CD BD CB CD BD DB BD 0. 第二章第二章 2 规律总

10、结 满足下列两种形式时可以化简： (1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差 做题时要注意观察是否有这两种形式同时要注意逆向应 用，统一向量起点方法的应用 第二章第二章 2 已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且 OA a， OB b，则BC _.(用a，b表示) 分析 本题以平行四边形对角线中的向量为载体，考查 相反向量的概念、向量的减法运算以及用已知向量表示未知 向量的能力 答案 ab 第二章第二章 2 解析 如图BC OC OB CO OB OA OB ab 第二章第二章 2 在四川汶川“512”大地震后，一架救援直升 飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40km到达B地，再由B地沿

11、正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位 置 向量加法的实际应用 思路分析 利用向量加法的三角形法则，知 AC AB BC ，|AC |是线段AC的长度 第二章第二章 2 规范解答 如图所示，设 AB ， BC 分别是直升飞机的两 次位移，则AC 表示两次位移的合位移，即AC AB BC . 在RtABD中， |DB |20km，|AD |20 3km. 在RtACD中，|AC | |AD |2|DC |240 3km，CAD 60 ，即此时直升飞机位于A地北偏东30 方向，且距离A地 40 3km处 第二章第二章 2 规律总结 向量应用题要首先画出图形，解决的步骤 是：(1

12、)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进 行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题 第二章第二章 2 在长江某渡口上，江水以2km/h的速度向东流，长江南岸 的一艘渡船的速度为23km/h，要使渡船渡江的时间最短，求 渡船实际航行的速度的大小和方向 解析 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方 向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度 为v，则vv1v2. 依题意作出平行四边形，如图 第二章第二章 2 在RtABC中，|BC |v1|2 3， |AB |v2|2， |AC |v| |AB |2|BC |2 2 22 324， tan|BC | |AB |

13、2 3 2 3. 60 . 渡船实际航行的速度大小为4km/h，方向为东偏北60 . 第二章第二章 2 向量加减法的综合应用 已知非零向量a，b同时满足：|a|b|和|ab| |ab|，若作OA a，OB b，OC ab，试断定四边形OACB 的形状，并证明 思路分析 首先根据向量加法的平行四边形法则可知四 边形OACB是平行四边形，其次根据条件|a|b|可知四边形是 菱形，再由条件|ab|ab|进一步可知它是正方形 第二章第二章 2 规范解答 四边形OACB是正方形证明如下：作 OA a， OB b，并且以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则根 据向量加法的平行四边形法则可知： OC a

14、b， BA a B由条件|a|b|可知，四边形OACB是菱形，再由|ab|a b|可知，四边形OACB是矩形，所以四边形OACB是正方形 规律总结 明确向量加、减法的几何意义，用已知向量 表示未知向量，可以解决一些平面几何问题 第二章第二章 2 如图，在ABC中，D，E分别为AC，BC边上任意一点， O为AE，BD的交点，已知AB a，BD b，BE c，OE e， 求向量OD . 第二章第二章 2 解析 在OBE中，有OB OE EB ec； 在ABO中，OA OB BA eca； 在ABD中，AD AB BD ab 因此在OAD中，OD OA AD ecaabec b 第二章第二章 2 易

15、错疑难辨析易错疑难辨析 第二章第二章 2 化简：MP QM NQ PN . 错解1 MP QM NQ PN (QM MP )(PN NQ ) QP PQ 0. 错解2 MP QM NQ PN (MP PN )(NQ QM ) MN NM 0. 第二章第二章 2 辨析 平面向量的线性运算的结果还是一个向量，特别 对于线性运算的结果为零向量的运算，往往容易出现符号性的 错误，错误地以为结果为零上面的错解1和错解2当中，都是 错误地将0写成0，导致结果错误 正解1 MP QM NQ PN (QM MP )(PN NQ ) QP PQ 0. 正解2 MP QM NQ PN (MP PN )(NQ QM ) MN NM 0.